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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第二章 圆的一般方程



2.3.2
一、基础过关

圆的一般方程

1. 方程 x2+y2-x+y+m=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是 A.m≤2 C.m<2 1 B.m< 2 1 D.m≤ 2

(

)

2.设 A,B 为直线 y=x 与圆 x2+y2=1 的两个交点,则|AB|等于

A.1 B. 2 C. 3 D.2

(

)

3. M(3,0)是圆 x2+y2-8x-2y+10=0 内一点,过 M 点最长的弦所在的直线方程是( A.x+y-3=0 C.2x-y-6=0 B.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 ( )

)

4. 已知圆 x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(0<a<1),则原点 O 在 A.圆内 C.圆上 B.圆外 D.圆上或圆外

5. 如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为________. 6. 已知圆 C:x2+y2+2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2=0 的对称 点都在圆 C 上,则 a=________. 7. 已知圆的方程为 x2+y2-6x-6y+14=0,求过点 A(-3,-5)的直线交圆的弦 PQ 的中 点 M 的轨迹方程. 8. 求经过两点 A(4,2)、B(-1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 的圆的方程. 二、能力提升 9. 若圆 M 在 x 轴与 y 轴上截得的弦长总相等,则圆心 M 的轨迹方程是 A.x-y=0 C.x +y =0
2 2

(

)

B.x+y=0 D.x2-y2=0

10.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之 差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 C.x-y=0 B.y-1=0 D.x+3y-4=0 ( )

11.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为________. 12.求一个动点 P 在圆 x2+y2=1 上移动时,它与定点 A(3,0)连线的中点 M 的轨迹方程. 三、探究与拓展

13.已知一圆过 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3,求圆的方程.

答案
1.B 2.D 3.B 4.B 5.(0,-1) 6.-2 7.解 设所求轨迹上任一点 M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-3)2 =4.圆心 C(3,3). ∵CM⊥AM, ∴kCM·AM=-1, k y-3 y+5 即 · =-1, x-3 x+3 即 x2+(y+1)2=25. ∴所求轨迹方程为 x2+(y+1)2=25(已知圆内的部分). 8.解 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令 y=0,得 x2+Dx+F=0, 所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1+x2=-D; 令 x=0,得 y2+Ey+F=0, 所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1+y2=-E; 由题设,得 x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, 所以 D+E=-2. 又 A(4,2)、B(-1,3)两点在圆上, 所以 16+4+4D+2E+F=0, 1+9-D+3E+F=0, 由①②③可得 D=-2,E=0,F=-12, 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 9.D 10.A ② ③ ①

11.20 6 12.解 设点 M 的坐标是(x,y),点 P 的坐标是(x0,y0). 由于点 A 的坐标为(3,0)且 M 是线段 AP 的中点, x0+3 y0 所以 x= ,y= , 2 2 于是有 x0=2x-3,y0=2y. 因为点 P 在圆 x2+y2=1 上移动, 所以点 P 的坐标满足方程 x20+y20=1,

3 1 则(2x-3)2+4y2=1,整理得?x-2?2+y2= . ? ? 4 3 1 所以点 M 的轨迹方程为?x-2?2+y2= . ? ? 4 13.解 方法一 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
? ?4D-2E+F=-20 将 P、Q 的坐标分别代入①,得? ?D-3E-F=10 ③ ?

① ②

令 x=0,由①得 y2+Ey+F=0, 由已知|y1-y2|=4 3,其中 y1,y2 是方程④的两根. ∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48. 解②③⑤联立成的方程组,





?D=-2 ?D=-10 ? ? 得?E=0 或?E=-8 ?F=-12 ?F=4 ? ?

.

故所求方程为 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0. 方法二 求得 PQ 的中垂线方程为 x-y-1=0. ∵所求圆的圆心 C 在直线①上,故设其坐标为(a,a-1), 又圆 C 的半径 r=|CP|= ?a-4?2+?a+1?2 . 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3,而圆 C 到 y 轴的距离为|a|. r2=a2+? 4 3?2 , ? 2 ? ② ①

代入②并将两端平方, 得 a2-6a+5=0,解得 a1=1,a2=5. ∴r1= 13,r2= 37. 故所求的圆的方程为(x-1)2+y2=13 或(x-5)2+(y-4)2=37.



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