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高一数学苏教版第一章 三角函数基础知识点与注意点



1

一.常规知识点 1.常见三角不等式 (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
2.同角三角函数的基本关系式

?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? . cos ?

3.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
n ? 2 ( ? 1) sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数)
n ? n? ?( ?1) 2 co s ? , co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) 3.三角函数的周期公式

函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

2?

y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

?

;函数

二.注意点 1..在解三角问题时,注意正切函数的定义域
2 2 2.在三角中, 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用. ( 1 ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? tan

?
4

? sin

?
2

? cos 0 ? ?? 这

些统称为 1 的代换) 3. 三角化简题的要求:项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子,一定要算出值来) 4. 在弧度制下弧长公式和扇形面积公式:( l ? ? r , S 扇形 ? 5. 三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

1 lr ) 2

sin ? ? MP, cos ? ? OM, tan ? ? AT
y B P α O M A x S T

?? ? 又如:求函数y ? 1 ? 2 cos? ? x? 的定义域和值域。 ?2 ?

1

2

?? ? (∵1 ? 2 cos? ? x? ) ? 1 ? 2 sin x ? 0 ?2 ? ∴ sin x ? 2 ,如图: 2

∴ 2 k? ?

5? ? ? x ? 2 k? ? ? k ? Z?, 0 ? y ? 1 ? 2 4 4

6. 正 弦 、 余 弦 、 正 切 函 数 的 图 象 , 及 其 单 调 区 间 、 对 称 点 、 对 称 轴 的 表 示 :

sin x ? 1, cos x ? 1
y

y ? tg x

? ? 2

O

? 2

?

x

? ? ? 对称点为 ? k , 0? ,k ? Z ? 2 ?

? ?? ? y ? sin x的增区间为 ?2 k? ? , 2 k? ? ? ? k ? Z? 2 2? ? ? 3? ? ? 减区间为 ?2 k? ? , 2 k? ? ? ? k ? Z? 2 2? ?

图象的对称点为? k?, 0?,对称轴为 x ? k? ?

? ? k ? Z? 2
2

3

y ? cos x的增区间为?2 k?, 2 k? ? ?? ? k ? Z? 减区间为?2 k? ? ?, 2 k? ? 2 ?? ? k ? Z?

? ? ? 图象的对称点为 ? k? ? , 0? ,对称轴为 x ? k? ? k ? Z? ? ? 2
? ? y ? tan x的增区间为 ? k? ? ,k? ? ? 2 ?? ? k ?Z 2?

?或y ? A c o ?s 8.正弦型函数 y = A s i?n ?x + ? ?的图象和性质要熟记。 ?x ? ? ??
(1)振幅| A| ,周期T ? 2? | ?|

若f ? x 0 ? ? ? A,则x ? x 0 为对称轴。

若f ? x 0 ? ? 0,则? x 0 , 0?为对称点,反之也对。
( 2 )五点作图:令 ?x ? ? 依次为 0,
(x,y)作图象。

? 3? ,?, , 2 ? ,求出x与y,依点 2 2

( 3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)

?? ( x 1 ) ? ? ? 0 ? ? 如图列出 ? ? 解条件组求?、?值 ?正切型函数 y ? A tan??x ? ? ?,T ? | ?| ?( x 2 ) ? ? ? ? 2 ?
9. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

? 如: cos? x ? ?
(∵? ? x ?

?? 2 3? ? ? ,x ? ??, ? ,求x值。 ??? ? 6 2 2? ?
3? 7? ? 5? ? 5? 13 ,∴ ? x? ? ,∴x ? ? ,∴x ? ?) 2 6 6 3 6 4 12

10. 在解含有正、余弦函数的问题时,注意(到)运用函数的有界性:

如:函数y ? sin x ? sin| x| 的值域是 (x ? 0时,y ? 2 sin x ?? ?2 , 2?,x ? 0时,y ? 0,∴y ?? ?2 , 2?)

3



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