9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及详解



2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及详解
2016 年 6 月 5 日上午 8 : 30 ? ?11: 00 一、填空题(每小题 7 分,共 56 分)
1 、 若 y ? log 2016 x 2 ? ax ? 65 的 值 域 为 R ? , 那 么 a 的 取 值 范 围
是 .

?

?

/>
A
2 、四面体 ABCD 中, ?ABC 是一个正三角形, AD ? BD ? 2 , AD ? BD , AD ? CD ,则 D 到面 ABC 的距离为 .

C

D
3 、若对于所有的正数 x, y ,均有 x ? y ? a x ? y ,则实数 a 的最小值
是 .

B

4 、已知 P 是正方形 ABCD 内切圆上的一点,记 ?APC ? ? , ?BPD ? ? ,
则 tan 2 ? ? tan 2 ? ? .

5 、等差数列 2,5,8,?, 2015 与 4,9,14,?, 2014 的公共项(具有相同数值
的项)的个数是 . .

6 、设 x 为锐角,则函数 y ? sin x sin 2 x 的最大值是

7 、若将前九个正整数 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 分别填写于一张 3 ? 3 方格表的九
个格子中,使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是

8 、把从 1 到 n (n ? 1) 这 n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数
列中每相邻两项的和为平方数,则正整数 n 的最小值是 .

1

二、解答题(共 64 分)

9、 ( 14 分)如图, CD 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一条直径, a 2 b2

Y

过椭圆长轴的左顶点 A 作 CD 的平行线,交椭圆于 另一点 N ,交椭圆短轴所在直线于 M , 证明: AM ? AN ? CO ? CD . A

N M O D B
X

C

D 是 ?ABC 的旁心, 10 、 ( 15 分) 如图, 点 A 关于直线 DC 的对称点为 E . 证
明:

(1) 、 B, C , E 三点共线;
(2) 、 A, B, D, E 四点共圆.
B

A

C

E

D

11 、 ( 15 分)设 x, y, z 为正数,满足: xy ? yz ? zx ? 1 ,证明:

xyz( x ? y)( y ? z)( x ? z) ? (1 ? x2 )(1 ? y 2 )(1-z2 )

12 、 ( 20 分) 设集合 A ? ?1,2,?,2016? , 对于 A 的任一个 1008 元子集 X ,
若存在 x, y ? X ,满足 x ? y, x y ,则称 X 为“好集” ,求最大的正整数 a ,

2

2016 年全国高中数学联赛江西省预赛详解
一、填空题(每小题 7 分,共 56 分)

1 、 若 y ? log 2016 x 2 ? ax ? 65 的 值 域 为 R ? , 那 么 a 的 取 值 范 围
是 .答案: ?16 ? a ? 16 .
2 2

?

?

解:由值域 y ? R ? ,? x ? ax ? 65 ? 1 , ? x ? ax ? 64 ? 0

?? ? a 2 ? 4 ? 64 ? 0 ,? ?16 ? a ? 16 .
2、 ?ABC 是一个正三角形,AD ? BD ? 2 ,AD ? BD , 四面体 ABCD 中,

AD ? CD ,则 D 到面 ABC 的距离为
解:如图,据题意得, AB ?

.答案:

2 3 . 3

AD2 ? BD2 ? 2 2 ,

A

C

于是 BC ? CA ? AB ? 2 2 , CD ?
2 2 2

AC2 ? AD2 ? 2 ,

因 BC ? BD ? CD ,得 BD ? CD ,从而以 D 为顶点的三面角是三直三面角, 四面体体积 V ?

D

B

1 4 3 AD ? S ?BCD ? ,而 S?ABC ? ? AB 2 ? 2 3 , 3 3 4

若设 D 到面 ABC 的距离为 h , 则V ?

1 23 2 3 4 h ? S?ABC ? h, h? , 由 3 3 3 3

得到 h ?

2 3 . 3

3 、若对于所有的正数 x, y ,均有 x ? y ? a x ? y ,则实数 a 的最小值
是 .答案: 2 .
2 2

? y y ? x x ? ? ? ? 2, 解:由 ? ?? ? 1 ,得 ? ? ? x? y ? ? x? y ? x ? y x ? y ? ? ? ? 当 x ? y 时取等号.
3

4 、已知 P 是正方形 ABCD 内切圆上的一点,记 ?APC ? ? , ?BPD ? ? ,
则 tan 2 ? ? tan 2 ? ? .答案: 8 .
Y

D
P O

C

解:如图建立直角坐标系,设圆方程为 x2 ? y 2 ? r 2 , 则正方形顶点坐标为 A(?r , ?r ), B(r , ?r ), C (r , r ), D(?r , r ) , A 若点 P 的坐标为 P(r cos ? , r sin ? ) ,于是直线

X

B

PA, PB, PC , PD 的斜率分别为
k PA ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? , k PB ? ? , k PD ? ? , k PC ? , 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?
2 2

? k ? k PA ? 2 所以 tan ? ? ? PC ? ? 4(cos ? ? sin ? ) , 1 ? k k PA PC ? ? ? k ? k PB ? 2 tan ? ? ? PD ? ? 4(cos ? ? sin ? ) , ? 1 ? k PB k PD ?
2 2

由此立得 tan 2 ? ? tan 2 ? ? 8 . 解 2:取特例, P 在坐标轴上,则 ? ? ? , 这时, tan ? ? cot ? ?

2 ? 2 ? tan ? ,? tan 2 ? ? tan 2 ? ? 22 ? 22 ? 8 1

5 、等差数列 2,5,8,?, 2015 与 4,9,14,?, 2014 的公共项(具有相同数值
的项)的个数是 .答案: 134 .

解:将两个数列中的各项都加 1 ,则问题等价于求等差数列 3,6,9,?, 2016 与等差数列 5,10,15,?, 2015 的公共项个数; 前者是 M ? ?1, 2,3,?, 2016? 中的全体能被 3 整除的数,后者是 M 中的全体能被 5 整除的数,故公共项 是 M 中的全体能被 15 整除的数,这种数有 ?

? 2016 ? ? 134 个. ? 15 ? ?

4

6、 设 x 为锐角, 则函数 y ? sin x sin 2 x 的最大值是
解:由 y ? 2sin 2 x cos x , 得 y 2 ? 4sin 4 x cos2 x ? 2(1 ? cos2 x)(1 ? cos2 x) ? 2cos2 x

. 答案:

4 3 . 9

? (1 ? cos 2 x) ? (1 ? cos 2 x) ? 2 cos 2 x ? ? 2 ? 16 ? 2? , ? ? 2?? ? ? 3 ? 3 ? 27 ? ?
所以 y ?

3

3

1 4 3 2 .当 cos x ? 时取得等号. 3 9

7 、若将前九个正整数 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 分别填写于一张 3 ? 3 方格表的九
个格子中,使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是 解答: (答案有多种) 1 7 9

2 8

6 4

3 5

8 、把从 1 到 n (n ? 1) 这 n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数
列中每相邻两项的和为平方数, 则正整数 n 的最小值是 例如,排出的一个数列为

15 . . 答案:

( 8,1,15,10,6,3,13,12, 4,5,11,14, 2,7,9 ) .
解:这是一个操作问题,若用文字表达较为繁琐,故适宜作为填空题直接操 作. 记这 n 个连续正整数的集合为 M ? ?1, 2,?, n? ,由于 n ? 1 , 则 M 中必有 2 ,而 2 ? 7 ? 9 ,所以 n ? 7 ,当 n ? 7 时,从 1 到 7 这 7 个数 可以搭配成满足条件的三个数段:

(1,3,6),(2,7),(4,5) ,但它们不能连接成一个 7 项的数列,故应增加后续的
数,增加 8 可使得第一段扩充成 (8,1,3, 6) ,增加 9 可使得第二段扩充成

(2,7,9) ,但新的三段也不能连接,还需增加新数,即 n ? 10 ,而之前的数
5

若与 8,9,10 邻接,只有 8 ? 1 ? 9,9 ? 7 ? 16, 10 ? 6 ? 16 ,这三段扩充为

(8,1,3, 6,10) , (2,7,9) ,(4,5) ,仍旧不能连接,应当借助新的平方数 25 ,
从 1 到 10 这 10 个数能搭配成和为 25 的最小数是 15 ,则 n ? 15 ,而当

M ? ?1,2,?,15? 时,可排出上面的情形:
( 8,1,15,10,6,3,13,12, 4,5,11,14, 2,7,9 ) .
二、解答题(共 64 分)

9、 ( 14 分)如图, CD 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一条直径, a 2 b2

Y

过椭圆长轴的左顶点 A 作 CD 的平行线,交椭圆于 另一点 N ,交椭圆短轴所在直线于 M , 证明: AM ? AN ? CO ? CD . A 证 1:椭圆方程为 x ? a cos ? , y ? b sin ? ,

N M O D B
X

C

点 A, N 的坐标为 A(?a,0), N (a cos ? , b sin ? ) ,则直线 AN 方程为

? x ? ?a ? t cos ? , ?? 3 ' ? ? y ? t sin ?
代入椭圆方程得到 (b cos
2 2

? ? a2 sin 2 ? )t 2 ? 2ab2t cos? ? 0 ,

AN ? t ?

a ? 2ab2 cos ? (? ? ) ,?? 6' , AM ? 2 2 2 2 cos ? 2 b cos ? ? a sin ?

2a 2 b 2 因此 AM ? AN ? 2 ,?? 9' b cos 2 ? ? a 2 sin 2 ?
又据 AN ∥ CD ,则点 C , D 坐标为: C(? OD cos? , ? OD sin ? ) ,

D( OD cos? , OD sin ? ) ,?? 12 '
因为 C , D 在椭圆上,则 CO ?
2

a 2b 2 ,而, b 2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ?
6

CO ? CD ? 2 CO ?

2

2a 2 b 2 , b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ?

因此 AM ? AN ? CO ? CD .?? 14 ' 证 2: 易知 CD 的斜率 k 存在,不妨令 CD : y ? kx ,与椭圆方程联系, 解得

? ab kab C?? , b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2 ?
? CO ?

? ? ? ab kab , ? 、D ? 2 ? ?? 3 ' 2 2 2 2 2 b ? a k b ? a k ? ? ?
4 ?1 ? k 2 ? a 2b 2 b2 ? a 2k 2
,

?1 ? k ? a b
2

2 2

b2 ? a 2 k 2

, CD ?

? CO ? CD ?

2 ?1 ? k 2 ? a 2b2 b2 ? a 2 k 2

?? 6 '

AN 方程为: y ? k ? x ? a ? ,?M ? 0, ka ? .
2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 将 AN 方程与椭圆方程联立,得 b ? a k x ? 2a k x ? k a ? a b ? 0

?

?

? x A ? xN ? ?

2a 3 k 2 ab 2 ? a3k 2 , ? x ? N b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2k 2

?? 9'

yN ?

2kab2 ,? AM ? a 1 ? k 2 b2 ? a 2 k 2
2

?? 12 '

? ab 2 ? a 3k 2 ? 4k 2 a 2 b 4 2ab 2 1 ? k 2 AN ? ? 2 ? a ? ? , ? 2 2 2 b2 ? a 2k 2 ? b ?a k ? ? b2 ? a 2 k 2 ?

? AM ? AN ?

2a 2b2 ?1 ? k 2 ? b2 ? a 2 k 2

? CO ? CD

? 14 '

7

D 是 ?ABC 的旁心, 10 、 ( 15 分) 如图, 点 A 关于直线 DC 的对称点为 E . 证
明:

(1) 、 B, C , E 三点共线; (2) 、 A, B, D, E 四点共圆.
A

B

C

E

D

证:1、延长 DC 到 M ,延长 AC 到 N ,连 CE ,? D 为旁心,

? CD 平分 ?BCN ,?? 2 '
又 A、E 关于 DC 对称,

? CM 平分 ?ACE ??DCN ? ?ACM , ? ?BCD ? ?MCE

??BCN ? ?ACE ,? B 、 C 、 E 三点共线。?? 5 '
2、过 C 作 CI // AE 交 AD 于 I ,则 IC ? DC ?? 7 '

? I 为 ? ABC 内心。连 BI ,则 BI 平分 ?ABC ,?? 10 '

? ?IBD ? 90? ,? B 、 D 、 C 、 I 四点共圆,?? 12 '
??CBD ? ?CID ? ?EAD ,
? A 、 B 、 D 、 E 四点共圆。?? 15 ' 11 、 ( 15 分)设 x, y, z 为正数,满足: xy ? yz ? zx ? 1 ,证明:

xyz( x ? y)( y ? z)( x ? z) ? (1 ? x2 )(1 ? y 2 )(1-z2 )
证:据条件,即要证

xyz(x+y+z-xyz)? (1 ? x2 )(1 ? y 2 )(1-z2 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2



也即 xyz(x+y+z)? 1-(x ? y ? z ) ? ( x y ? y z ? x z ) ② ?? 3 ' 将此式各项齐次化,因为

1 ? ( xy ? yz ? xz)2 ? x2 y2 ? y2 z 2 ? x2 z 2 ? 2xyz( x ? y ? z) ?? 6' x2 ? y2 ? z 2 ? ( x2 ? y 2 ? z 2 )( xy ? yz ? xz) ?
8

x3 ( y ? z) ? y3 ( x ? z) ? z 3 ( x ? y) ? xyz( x ? y ? z) 代入②,
只要证 xyz ( x ? y ? z ) ?

2( x2 y 2 ? y 2 z 2 ? x2 z 2 ) ? x3 ( y ? z) ? y3 ( x ? z) ? z3 ( x ? y) ? xyz( x ? y ? z)
即 x3 ( y ? z) ? y3 ( x ? z) ? z 3 ( x ? y) ? 2( x2 y 2 ? y 2 z 2 ? x 2 z 2 ) ? 0 ?? 12 ' 也即 xy( x ? y)2 ? yz( y ? z)2 ? xz( x ? z)2 ? 0 。 此为显然,故命题得证.? 15 ' 证 2:由题设得:

y ? x ? z ? ? 1? zx, x ? y ? z ? ? 1 ? yz, z ? x ? y ? ? 1 ? xy ,
三式相乘,故原不等式等价于证明:

?1 ? zx ??1 ? yz ??1 ? xy ? ? ?1 ? x 2 ??1 ? y 2 ??1 ? z 2 ? ?? 3 '
上式两边展开并化简得:

x2 ? y2 ? z 2 ? ? xy ? yz ? zx ? ?
x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? ? x 2 yz ? xy 2 z ? xyz 2 ?
配方得: ?? 6'

? x ? y?

2

? ? y ? z ? ? ? z ? x ? ? ? xy ? xz ? ? ? yz ? xy ? ? ? yz ? zx ?
2 2 2 2 2 2 2

2

? x2 ? y ? z ? ? y 2 ? z ? x ? ? z 2 ? x ? y ?
即 1? z

?? 9 '
2 2

?

2

? ? x ? y ? ? ?1 ? x ? ? y ? z ? ? ?1 ? y ? ? z ? x ?
2 2 2

? 0 ? ?? ??12 '

?0 ? x, y, z ? 1,?1 ? x2 ? 0,1 ? y 2 ? 0,1 ? z 2 ? 0,

? ??? 显然成立.

?? 15 '

12 、 ( 20 分) 设集合 A ? ?1,2,?,2016? , 对于 A 的任一个 1008 元子集 X ,
若存在 x, y ? X ,满足 x ? y, x y ,则称 X 为“好集” ,求最大的正整数 a , (a? A ) ,使得任一个含 a 的 1008 元子集皆为“好集” .
9

解:因任何正整数 n 可以表为 n ? 2 t 形式,其中 ? ? N , t 为正奇数,于 是集合 A 可划分为以下 1008 个子集:

?

Aj ? m m ? 2? (2 j ? 1), ? ? N ,1 ? m ? 2016 , j ? 1, 2,?,1008 ?? 4 '
对于集合 A 的任一个 1008 元子集 X ,只要集 X 中含有某一个 Aj 中的至少 两个元素 x, y,( x ? y) , 因 x ? 2 1 (2 j ?1), y ? 2 2 (2 j ?1) , 则x y; k1 ? k2 ,
k k

?

?

此时 X 为好集; 以下证明正整数 a 的最大值为 671 :

?? 8 '

若 a ? 671 时,对于 A 的任一个 1008 元子集 X ,如果 X 中含有某个 Aj 中 的至少两个元素,则 X 便是好集;如果 A j 中的 1008 个集合,每个集合 中恰有一个元素在 X 中,那么 A1007 也有一个元素在 X 中, 但 A ? 为 单 元 素 集 , 于 是 2013 ? X , 而 a 2013 , 1007 ? ?2013

? ?

( 2013 ? 671? 3 ? 3a ) ,这说明 X 仍是好集,
因此 a ? 671 合于要求. ?? 12 ' 下面说明当 a ? 672 时,存在含 a 的集 X 不是好集;分两种情况:

(1) 、 若 a ? 1009 , 取 1008 元 集 X 0 ? ?1009, 1010, ?

, 2016 ? ,则

a ? X0 ,
因 X 0 中任两个不同元素 x ? y ,均有 x ?y ,故 X 0 不为好集,这种 a 不合 要求.?? 15 '

(2) 、若 672 ? a ? 1008 ,记 X 1 ? ?672 ? j j ? 0,1,? ,336? ,
X 2 ? X 0 \ ?2(672 ? j ) j ? 0,1,? ,336? , 令 X ? X1 ? X 2 , 则 X ? 1008 ,
且 a ? X1 , 若 X 中存在 x ? y, x y ,因 x ? 672 , y ? 2016 ,则 y ? 3x ;
10

若 x ? 672 ,如果 x y , x ? y ,只有 y ? 2 x 或者 y ? 3x ,此时 y 的取 值 只 能 是 : y ? 2 ? 672 ? 1344 , 或 者 y ? 3 ? 672 ? 2016 ; 由 于

1344 ? 2(672 ? 0), 2016 ? 2(672 ? 336) ,这说明,这两个数已被挖去,不
在集合 X 中; ?? 18 '

若 x ? 672 ,假若 x y ,只有 y ? 2 x ,这种数 y 也已悉数被挖去,即

y ? X ,因此 X 不是好集,这种 a 也不合要求.
综上所述, a 的最大值为 671 . ?? 20 '

11



更多相关文章:
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答 2016 年 6 月 5 日上午 8 : 30 ? ?...
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 2016 年 6 月 5 日上午 8 : 30 ? ?...
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016,高中数学,竞赛 2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答 2016 年 6 月 5 日...
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(6 月 14 日上午 8 : 30 ? ?11: 30 )...
2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题
2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试卷 第1面 共 6面 二、解答题(共 4 题,共计 64 分) 9、(14 分)如图,CD 是椭圆 2 + 2 = 1的一条直径,过椭圆...
2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案
2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2009 年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题( 每小题 10 分,共 80 分) ...
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(6 月 14 日上午 8 : 30 ? ?11: 30 )...
2016全国数学联赛江西省初赛试题及答案
2016全国数学联赛江西省初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 990334643 贡献于2016-08-13 1/2 相关文档推荐 ...
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其参考答案
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其参考解答 (6月14日上午 )2015...
更多相关标签:
2016高中数学联赛预赛    yy2016年度盛典预选赛    yy2016年度预选赛网站    2016世界杯预选赛    yy2016年度预选赛    yy2016年度预选赛官网    2016世预赛    2016国足世预赛直播    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图