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龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(22)



龙泉中学 2015 届高三周练理科数学试卷(22)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 ? 2i 1.设复数 z 满足 ? i ,则 z =( ) z A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i

(4) 在空间与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条; (5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40°并且与平面 BEF 所成角为 50°的直线有 2 条. A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知椭圆 C1 :

x2 a12

?

y2 b12

? 1(a1 ? b1 ? 0) 与双曲线 C2 :

x2 a2 2

?

y2 b2 2

? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 有相同的焦

D. 2 ? i

[来源:学科网 ZXXK]

点 F1,F2,点 P 是两曲线的一个公共点,e1,e2 又分别是两曲线的离心率,若 PF1 ? PF2, ) 则 4e1 ? e2 的最小值为( ) 5 9 A. B.4 C. D.9 2 2 1 ? ln x k 10.已知 f ( x) ? , g ( x) ? (k ? N *) ,对任意的 c>1,存在实数 a , b 满足 x ?1 x 0 ? a ? b ? c ,使得 f (c) ? f (a) ? g (b) ,则 k 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 Ⅰ 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色, 要求有公共边的 Ⅲ 两块不能用同一种颜色,不同的着色方法有 . Ⅱ 4 5 12.已知 tan β= , sin(α+β)= , 且 α, β∈(0, π ), 则 sin α 的值为 . Ⅳ 3 13 1 4 9 36 2b ? 3c ? 13.设正数 a , b, c 满足 ? ? ? ,则 . a b c a?b?c a?b?c 14.已知两个正数 a , b ,可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c,在 a , b, c 三个数中取两个较大的数, 按上述规则扩充得到一个新数, 依次下去, 将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. 若 p ? q ? 0, 经过 6 次操作后扩充所得的数为 (q ? 1) ( p ? 1) ?1 (m,n 为正整数),则 m ? n 的值为 . (15,16 为选做题,二选一即可) 15. 如右图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆的切线 l ,过A作直线 l 的垂线AD,D为 垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为 .
m n

x 2.设集合 P={x| ò (3t 2 - 10t + 6) dt = 0, x > 0 },则集合 P 的非空子集个数是( 0
A.2 3.下列结论正确的是(

2

2

? ? ? ? ? ? ? ? ? B.已知向量 a, b 为非零向量,则“ a, b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a ? b <0”
A.若向量 a // b ,则存在唯一的实数 λ 使得 a ? λb

?

B.3 )

C.7

D.8

C.命题:若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 的逆否命题为:若 x ? 1 且 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若命题 P : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? P : ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 4.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形, 则该几何体外接球的体积是( ) A. 36? B. 9?
2

C. 9 ?
2

D. 27 ?

5.等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , S2n ? 4(a1 ? a3 ? ... ? a2n ?1 ), a1a2a3 ? 27 ,则 a 6 =( A.27 B.81 C.243 D.729 6. 设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,? ( )

? ?

8



?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 对称 , 它的周期是 ? ,则 3

A. f ( x) 的图象过点 ( 0, ) C. f ( x) 在 [

? 2?
12 , 3

1 2

B. f ( x) 的一个对称中心是 (

5? ,0) 12

] 上是减函数

D.将 f ( x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象

16.直线 l 的参数方程是 ?

? x ? y ? 1, ? 7.已知函数若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实数 a ? 2 x ? y ? 2, ?
的取值范围是( A. (?4, 2) C. (??, ?4) ? (2, ??) ) B. ( ?4,1) D. (??, ?4) ? (1, ??)

? 2 t ?x ? (其中 t 为参数),圆 c 的极坐标方程为 2 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?

? ? 2 cos(? ?

?
4

) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 17.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 对应边分别是 a, b, c, c ? 2, (1)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求△ABC 面积 ; (2)求 AB 边上的中线长的取值范围.

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A sin B .

2 8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= ,则下列结论 2
中错误 的个数是 ( .. (1) AC⊥BE; )

(2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为 (3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值;

2 ; 2

18.(12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

21.(13 分)如图,已知点 A ? ?2,0 ? 和圆 O : x 2 ? y 2 ? 4, AB 是圆 O 的直经,从左到右 M、O 和 N 依次是 AB 的四等分点,P(异于 A、B)是圆 O 上的动点, PD ? AB, 交 AB 于 D, PE ? ? ED ,直线 PA 与 BE 交于 C,|CM|+|CN| 为定值. (1)求 ? 的值及点 C 的轨迹曲线 E 的方程; (2)一直线 L 过定点 S(4,0)与点 C 的轨迹相交于 Q,R 两点,点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q1, 连接 Q1 与 R 两点连线交 x 轴于 T 点, 试问△TRQ 的面积 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

??? ?

??? ?

1 的前 项和最大? n } an

19.(12分) PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物, 也称为可吸入肺颗粒物.我国PM2.5标准采 用世界卫生组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下,空气质量为一级;在35微克/ 立方米 ~ 75微克/立方米之间,空气质量为二级;在75微克/立方米以上,空气质量为超标.某试点城市 环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如右 下图茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)在这15天的PM2.5日均监测数据中,求其中位数; (2)从这15天的数据中任取2天数据,记 ? 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求 ? 的分布列及数学 期望; (3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的 空气质量达到一级或二级.

22.(14 分)已知函数 f(x)=ax+

a ?1 +(1-2a)(a>0) x

(1)若 f(x)≥㏑ x 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (2)证明:1+

n 1 1 1 + +?+ >㏑(n+1)+ (n≥1) ; 2 3 n 2 ? n ? 1?
1 1 1 ,求 S 的整数部分.( ln 2014 ? 7.6079 , ln 2015 ? 7.6084 ) ? ? ??? ? 2 3 2014

(3)已知 S ? 1 ?

20.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥ 底面 ABCD, Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA=PD=2, BC= CD= 3 . (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设

1 AD=1, 2

=t

,试确定 t 的值.

龙泉中学 2015 届高三周练理科数学参考答案(22)
一、选择题:

由 p(? ? k ) ?

2? k 2 C5k ? C10 C50 ? C10 3 ,得 p ( ? ? 0) ? ? , 2 2 C15 C15 7

题号 答案

1 C

2 B
12.

3 C
63 65

4 C
13.

5 C
13 6
14.

6 B

7 A
15. 4

8 A
16. 2 6

9 C

10 B

p(? ? 1) ?

二、填空题:11.180

21

所以 ? 的分布列为:

1 1 0 C5 ? C10 C52 ? C10 10 2 , ? p ( ? ? 2) ? ? ,?????????????????7 分 2 2 C15 21 C15 21

?

0
3 7

1
10 21

2
2 21

1 ? 三、解答题:17. 解:(1)由题意知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab????cos C ? ?????C ? 2 3 由 sin C ? sin( B ? A) ? sin 2 A ? sin B cos A ? 2sin A cos A

P

2? ? 1 ? ? ? 2 A) ? sin 2 A ? sin(2 A ? ) ? ? A ? 或 ) (或 sin ? sin( 3 3 6 2 6 2 ? 2
①若 cosA=0

?

A?

2

?????S ?ABC ?

3

3

②若 cosA≠0

b ? 2a

S ?ABC ?

? 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? CA ? CB ??? ? 2 a ? b ? 2ab cos 3 a 2 ? b2 ? ab (2)设 AB 的中点为 D , CD ? ,故 CD ? ? 2 4 4

2 3 ????????????????6 分 3

3 10 2 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? ?????????????????????????8 分 7 21 21 3 10 2 ? (3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 p ? ???????9 分 15 3 2 2 ? E? ? 360 ? ? 240 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B (360, ) 3 3 240 一年中平均有 天的空气质量达到一级或二级 ????????????????? 12 分 ? 1 20. 解:(Ⅰ)∵AD // BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . 2
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平 面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ????????????????????6 分 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . 2

????????????????????12 分 18. 解:(1)令 n=1,得 ?a1 ? 2S1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0
2

?a n ? ( 0 n ?1 ) 若 a1 ? 0则S n ? 0,当n ? 2时,a n ? S n ? S n-1 ? 0,
若 a1 ? 0, 则a1 ? 两式相减得 2a n - 2a n-1 所以 an ? a1 ? 2
n ?1

2

n -1 ? ? ? ? a n, ? a n ? 2a n( ) 从而数列 ?a n ?为等比数列 -1 n ? 2

,当 n ? 2 时, 2a n ?

2

? S n , 2a n -1 ?

2

?S

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q , ∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.???????????????????6 分 (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;

?

?

22

?
2n

综上:当 a 1 ? 0时,a n ? 0 ,当 a1 ? 0时,a n ? (2)当 a 1 ? 0,? ? 100 时,令b n ? lg

?

???????????6 分

100 1 ,由( 1 )知 bn ? lg n ? 2 ? n lg 2 2 an 所以数列 ?b n ? 是单调递减的等差数列(公差为 ? lg 2 2) 100 100 100 ? lg1 ? 0 ,当 n ? 7时b n ? b 7 ? lg 7 ? lg 1 ? 0 所以 b1 ? b2 ? ???b6 ? lg 6 ? lg 2 64 2 ? 1? 所以数列 ?lg ? 的前 6 项和最大。????????????????????12 分 ? an ?
19. (1)由茎叶图可得中位数是 45 ????????????????????3 分 (2) 依据条件, ? 的可能值为 0,1, 2 ??????????????????4 分

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) . ???? ? 设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , ???? ? MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) , ???? ? ???? ? ∵ PM ? tMC , t ? x ? ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ∴ ?y ? ?????????????????9 分 1 ? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z) ? 3 ?z ? ? 1? t ???? ? ??? ? t 3t 3 在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? , , ), 1? t 1? t 1? t

∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .

??

? ?? n?m t 3 ? ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴ cos 30 ? ? ?? ? , ? 2 2 n m 3? 0?t
∴ t ? 3 .??????????????????????????????12 分 21、解:(1)易得 B ? 2,0? , M ? ?1,0? , N ?1,0 ? ,设 P ? x0 , y0 ? , C ? x, y ? , 则 E ? x0 , 直线 PA 与 BE 交于 C, 故 x ? ?2 ,

? ?

y0 ? ?, 1? ? ?

y0 y ? ,① x ? 2 x0 ? 2
2 0

y0 y ? 1 ? ? ,② ????????????2 分 且 x ? 2 x0 ? 2

a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x, x ? ?1, ?? ? , x 1? a a( x ? 1)( x ? ) 2 a ? 1 1 ax ? x ? (a ? 1) a 则 g (1) ? 0, g '( x) ? a ? 2 ? ? ? , x x x2 x2 1 1? a 1? a ? 1. 若 1 ? x ? , 则g ' ( x) ? 0, g ( x) 是减函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0, (i)当 0 ? a ? 时, 2 a a 1,??? 上不恒成立. 即 f ( x) ? ln x, 故f ( x) ? ln x在? 1 1? a ? 1. 若 x ? 1, 则g ' ( x) ? 0, g ( x) 是增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0, (ii)当 a ? 时, 2 a 即 f ( x) ? ln x, 故当x ? 1 时, f ( x) ? ln x.
22、解: (Ⅰ)令 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ? 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? ,?? ?. ???????????????????4 分

y y2 ? 12? ? , 又因为点 P (异于 A,B)是圆 O 上的动点,故 ①②相乘得 2 x ? 4 x0 ? 4


y2 1 ?? , 2 x ?4 1? ?

?1 ?2

? ?

x2 y2 x2 y 2 1 4 ? ? 1 , 要使 CM ? CN 为定值,则 4 ? ? 1, 解得 ? ? 此时 ? ? 1( x ? ?2) , 4 3 1? ? 4 4 3 1? ? x2 y 2 1 ? ? 1( x ? ?2) ???????????6 分 即 ? ? 时,点 C 的轨迹曲线 E 的方程为 3 4 3 ? x ? my ? 4 ? (2)联立 ? x 2 y 2 消 x 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4 ? ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 144(m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4 ??????????8 分 设 Q( x1 , y1 ), R( x2 , y2 ) ,则 Q1 ( x1 , ? y1 )
由韦达定理有 直线 的方程为

1 时,有 f ( x) ? ln x( x ? 1) 2 1 1 1 1 1 (x ? ) ? ln x 令 a ? , 有 f ( x) ? ( x ? ) ? ln x( x ? 1) 且当 x ? 1时, 2 2 x 2 x k ?1 k ?1 1 ?k ?1 k ? 1? 1 1 ? 令x? , 有ln ? ? ? ? ?(1 ? ) ? (1 ? ) , k k 2? k k ? 1? k k ?1 ? ? 2? ? 1 1 1 ), k ? 1,2,3,...n 即 ln( k ? 1) ? ln k ? ( ? 2 k k ?1 1 1 1 1 1 将上述 n 个不等式依次相加得 ln(n ? 1) ? ? ( ? ? ??? ? ) ? 2 2 3 n 2(n ? 1) 1 1 1 n . ??????????????????9 分 整理得 1 ? ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1) x 1 1 ? ln(1 ? x) ,令 x ? (Ⅲ)由重要不等式 ,得 ? ln n ? ln(n ? 1) , 1? x n ?1 n n 1 1 1 1 1 1 通过累加可得 1+ + +?+ ? ln n ? 1 , 所以 ln n ? 1 >1+ + +?+ >㏑(n+1)+ 2 ? n ? 1? 2 3 n 2 3 n
(II)由(I)可知:当 a ? 令 n ? 2014 ,得 8.6079 ? ln 2014 ? 1 ? S ? ln 2015 ?

x1 y2 ? x2 y1 (my1 ? 4) y2 ? y1 (my2 ? 4) 2my1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 将①②代人上式得 x = 1 ,?????????????????????????10 分
令 y = 0 ,得 x ? 又 S?TRQ ?

1007 ? 8.1 2015

所以 S 的整数部分为 8 ??????????????????????????????14 分 附:8.在 B1C1 上任取一点 E ,过 E 作 BC 的垂线,交 BC 于 F ,连 DF 交 AC 于 M ,则 EM 为满足要求 的直线。所以(4)正确。 又平面 BEF 的法向量为 AC ,则问题转化为任一点与直线 AC1 与直

3 ?24m 2 4 ? 36 1 3 | ST || y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 = ( 2 ) ? 2 2 2 2 3m ? 4 3m ? 4 m2 ? 4 1 m2 ? 4 =18 =18 2 2 3m ? 4 3(m ? 4) ? 16 3 m2 ? 4 ?
16 m2 ? 4

??? ?

= 18 ?

?

3 3 4

线 AC 均成 40°的直线问题, 而直线 AC1 与直线 AC 所成角的正切值为 所以(5)正确。 10. f ( x ) 在 (0,1), (1, ??) 均递减,?当x ? (0,1) 时, f ( x) ? g ( x) ;

2 即所成角小于 45°。 ? 1, 2

当m =
2

28 时取得。?????????????????????????13 分 3

x ? (1, ??) 时, f ( x) ? g ( x) ;满足题意。



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