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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】第一章 章末复习课



章末复习课

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画一画·知识网络、结构更完善

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题型一 问题
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等价转化思想 当一个命题的真假不易判断或证明较困难时,怎么

办?并说明理由.

答案

可以转化为它的逆否命题来判断或证明.互为逆否的

两个命题同真假.

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例 1 下列各题中,p 是 q 的什么条件? 1 (1)在△ABC 中,p:∠A≠30° ,q:sin A≠ ; 2 (2)p:x+y≠-2,q:x,y 不都是-1.
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分析

所给命题均含不等关系,判断起来与习惯不符,因此

考虑先进行命题的等价转化,将不等关系化为相等关系再进 行判断. 1 解 (1)在△ABC 中,綈 q:sin A= ,綈 p:∠A=30° . 2 1 ∵在△ABC 中,sin A= ,则∠A=30° 或∠A=150° , 2 ∴綈 q? 綈 p,而綈 p?綈 q,∴綈 q 是綈 p 的必要不充分
条件,从而,p 是 q 的必要不充分条件.

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(2)綈 q:x=-1 且 y=-1,綈 p:x+y=-2.

∵綈 q?綈 p,而綈 p?綈 q,∴綈 q 是綈 p 的充分不必要条
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件,从而,p 是 q 的充分不必要条件.

小结

对于含有逻辑联结词“非”的充分、必要条件的判

断,往往利用“原命题与逆否命题是等价命题”进行转化.

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跟踪训练 1 判断下列命题的真假. (1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形; (2)若 x?A∩B,则 x?A 且 x?B;
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(3)若 x≠y 或 x≠-y,则|x|≠|y|.
解 (1)该命题的逆否命题:“若一个四边形是等腰梯形,则 它的对角线相等”,它为真命题,故原命题为真.

(2)该命题的逆否命题:“若 x∈A 或 x∈B,则 x∈A∩B”, 它为假命题,故原命题为假. (3)该命题的逆否命题:“若|x|=|y|,则 x=y 且 x=-y”, 它为假命题,故原命题为假.

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?x2-4x+3<0, ? 2 p:2x -9x+a<0,q:? 2 ?x -6x+8<0, ?

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例 2 已知

且綈 p

是綈 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.
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?x2-4x+3<0, ? 由? 2 ?x -6x+8<0, ?

?1<x<3, ? 得? ?2<x<4, ?

即 2<x<3.

∴q:2<x<3.

设 A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3},
∵綈 p?綈 q,∴q?p.∴B?A.

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∴2<x<3 包含于集合 A,

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即 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0.

设 f(x)=2x2-9x+a,

要使 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0,
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?f?2?≤0, ? 须? ?f?3?≤0, ? ?8-18+a≤0, ? 即? ?18-27+a≤0. ?

∴a≤9.

故所求实数 a 的取值范围是 a≤9. 小结 本题主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间
关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等, 即以充要条件为基础,把同一种数学意义的内容从一种数学 语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题 简单化、具体化.

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跟踪训练 2 取值范围. 已知

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(m>0),且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,求实数 m 的

? x-1? ? ? p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 3 ? ? ?

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解 方法一 由 q:x2-2x+1-m2≤0, 得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}, ? x-1? ? ? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ?
∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件.

?m>0, ? ∴A ? B,∴?1-m<-2, ?1+m≥10, ? 即 m≥9 或 m>9.∴m≥9.

?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?

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方法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,

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∴p 是 q 的充分而不必要条件,
由 q:x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m,

∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},
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? x-1? ? ? 由?1- ≤2,解得-2≤x≤10, 3 ? ? ?

∴p:P={x|-2≤x≤10}.
`

∵p 是 q 的充分而不必要条件,

?m>0, ? ∴P ? Q,∴?1-m<-2, ?1+m≥10, ?
`

?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?

即 m≥9 或 m>9.∴m≥9.
`

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题型二 例3

分类讨论思想

已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命

题 q:关于 x 的函数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函
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数.若“p 或 q”是真命题,“p 且 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 解 p 真:Δ=a2-4×4≥0,∴a≤-4 或 a≥4. a q 真:- ≤3,∴a≥-12. 4 由“p 或 q”是真命题,“p 且 q”是假命题得:p、q 两命题

一真一假. 当 p 真 q 假时,a<-12;当 p 假 q 真时,-4<a<4. 综上,a 的取值范围为(-∞,-12)∪(-4,4).

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小结

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若命题“p 或 q”“p 且 q”中含有参数,求解时,可

以先等价转化命题 p,q,直至求出这两个命题为真时参数的 取值范围,再依据“p 或 q”“p 且 q”的真假情况分类讨论 参数的取值范围.
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跟踪训练 3

已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上

有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x2+2ax0+ 0 2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.

解 由 2x2+ax-a2=0 得(2x-a)(x+a)=0, a ∴x= 或 x=-a, 2 ?a? ∴当命题 p 为真命题时? ?≤1 或|-a|≤1, ?2? ? ? ∴|a|≤2.

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又“只有一个实数 x0 满足 x2+2ax0+2a≤0”, 0

即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点,
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∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p 或 q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2 或 a<-2}.

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1.已知 a, c∈R, b, 命题“若 a+b+c=3, a2+b2+c2≥3” 则 的否命题是
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( A )

A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3
解析 由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论,因此 原命题的否命题为“若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3”.

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2.已知命题 p:?n∈N,2n>1 000,则綈 p 为
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( A )

A.?n∈N,2n≤1 000 C.?n∈N,2n≤1 000

B.?n∈N,2n>1 000 D.?n∈N,2n<1 000

解析 由于特称命题的否定是全称命题,因而綈 p: ?n∈N,2n≤1 000.

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3.下列命题为假命题的是 差数列的充要条件 (

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)

A.在△ABC 中,B=60° 是△ABC 的三内角 A、B、C 成等 B.设 a,b∈R,则 ab≤0 是|a-b|≤|a|+|b|中等号成立的充
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要条件 C.在△ABC 中,∠A=∠B 是 sin A=sin B 的充要条件 D.lg x>lg y 是 x> y的充要条件
解析 选项 A 中,由 B=60° ?A+C=120° ?A+C=2B?角 A、B、C 成等差数列;而角 A、B、C 成等差数列?A+C= 2B,又 A+B+C=180° ,所以 3B=180° ,所以 B=60° ,故 命题为真.

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选项 B 中,ab≤0?a=0 或 b=0 或 a、b 异号或 a=0 且 b =0?|a-b|=|a|+|b|,故命题为真.

选项 C 中,在△ABC 中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,
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若 sin A=sin B,因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三个内 角和为 180° ),所以只有 A=B,故∠A=∠B 是 sin A=sin B 的充要条件.

选项 D 中,取 x=2,y=0,有 x> y,但 lg y 却无意义,所 以是假命题.

答案

D

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4.设命题 p:|4x-3|≤1,命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, 若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 1 解 p:|4x-3|≤1,解之得 ≤x≤1. 2 2 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,
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解之得(x-a)[x-(a+1)]≤0,即 a≤x≤a+1.
又綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,由命题的等价性知,q 是 p 的必要不充分条件,即 p?q,q?p.
?1 ? ?a≤ ? ? 故?2,1??[a,a+1],所以? 2 ? ? ?

?

1

?a+1>1

? 1 ?a< 或? 2 ?a+1≥1 ?



1 1 1 解得 0<a≤ 或 0≤a< ,所以 0≤a≤ . 2 2 2

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1.等价转化使复杂的语言简单化,隐含的条件明显化,在一
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些含否定词语的命题中尤其常用. 2.分类讨论思想使复杂的问题化整为零,要注意讨论中的不 重不漏. 3.集合思想解题贯穿于本章的始终.



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