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双曲线的简单几何性质教案





题:

2.3 双曲线的简单几何性质
王新敞
奎屯 新疆

教学目的: 1.使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义

3.并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的 草图以及解决简单的实际问题 教学重

点:双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点:渐近线几何意义的证明 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 名 称 双 曲 线
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平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1 F2 )的动 定 义 点的轨迹叫双曲线。即 MF1 ? MF2 ? 2a 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在
x2 y2 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b y2 x2 焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b
y

标 准 方 程

O

x

注:是根据项的正负来判断焦点所在的位置 常 数
a, b, c c 2 ? a 2 ? b 2 (符合勾股定理的结构) c ? a ? 0

的 关 系
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c 最大,可以 a ? b, a ? b, a ? b

二、讲解新课: 1.范围、对称性 由标准方程
x2 y2 ? 2 ? 1 可得 x 2 ? a 2 ,当 x ? a 时,y 才有实数值; 2 a b
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对于 y 的任何值,x 都有实数值 这说明从横的方向来看,直线 x=-a,x=a 之间没有图象,从纵的方向来看,随着 x 的增大,y 的绝对 值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封 闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心 2.顶点
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顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? 实轴: A1 A2 长为 2a, 虚半轴长
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特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b ?
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a 叫做半实轴长

虚轴: B1 B2 长为 2b,b 叫做

讲述:结合图形,讲解顶点和轴的概念,在双曲线方程 令 y=0 得 x ? ?a , 故它与 x 轴 有 两 个 交 点
A1 (a,0), A2 ?? a,0? , 且 x

x2 y2 ? ? 1 中, a 2 b2

y Q B2 A1 O B1

N M A2 x

x y 轴为双曲线 2 ? 2 ?1 a b

2

2

的 对 称 轴 , 所 以
A1 (a,0), A2 ?? a,0? 与 其 对

称轴的交点,称为双曲线的顶点(一般而言,曲线的顶点均指与其对 称轴的交点),而对称轴上位于两顶点间的线段 A1 A2 叫做双曲线
x2 y2 ? ? 1 的实轴长,它的长是 2a. a 2 b2

在方程

x2 y2 ? ? 1 中令 x=0 得 y 2 ? ?b 2 ,这个方程没有实数根, a 2 b2

说明双曲线和 Y 轴没有交点。 Y 轴上的两个特殊点 B1 (0, b), B2 ?0,?b ?, 但 这两个点在双曲线中也有非常重要的作用
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把线段 B1 B2 叫做双曲线
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的虚轴,它的长是 2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆 双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 3.渐近线 过双曲线
x2 y2 ? ? 1 的两顶点 A1 , A2 ,作 Y 轴的平行线 x ? ?a ,经 a 2 b2
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过 B1 , B2 作 X 轴的平行线 y ? ?b ,四条直线围成一个矩形 条对角线所在直线方程是 y ? ? 曲线的渐近线
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矩形的两

b x y ,这两条直线就是双 x( ? ?0) a a b

分析:要证明直线 y ? ?

x2 y2 b x y x ( ? ? 0 )是双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐 a b a a b
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近线,即要证明随着 X 的增大,直线和曲线越来越靠拢 也即要证曲 线上的点到直线的距离|MQ|越来越短,因此把问题转化为计算| MQ| 但因|MQ|不好直接求得,因此又把问题转化为求|MN| 最 后强调,对圆锥曲线而言,渐近线是双曲线具有的性质 b b | MQ |?| MN |? x ? x2 ? a2 a a b = (x ? x 2 ? a 2 ) a
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?

ab x ? x2 ? a2
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? ? ( | MQ | ?x?? ? 0 )

4.离心率 概念:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 范围: e ? 1 双曲线形状与 e 的关系:
k? b ? a c2 ? a2 ? a c2 ?1 ? e2 ?1 , a2

2c c ? ,叫做双曲线的离心率 2a a

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因此 e 越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状 就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口 就越阔 (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约 利用计算机动画先演示出 “e 的大小” “开口的阔窄” 与 的关系, 能让学生对此变化规律先形成直观理解;然后再用代数方法边板书边 推导,这样就可化难为易,使学生对此规律有更深刻清晰的理解 这 样做将有助于实在本节的这个难点 三、讲解范例: 2 x y2 ? ? 1 的实轴长、 例 1: 求双曲线 4 虚轴长、 焦点坐标、 顶点坐标、 3 离心率、渐近线方程。
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解:由题意可得 a=4
实轴长: 虚轴长: 焦点坐标: 顶点坐标: 离心率: 渐近线方程:

b? 3 c? 7

2a=4 2b ? 2 3
(? 7, 0), ( 7,0)

(-2,0),(2,0)
e? c 7 ? a 2
3 x 2

y??

变式:求双曲线 9 x 2 ? 16 y 2 ? 144 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、定 点坐标、离心率、渐近线方程。 解: 把方程化为标准方程得, c 5 ? 可得:实半轴长: a=4 e ? 2 24 a c 虚半轴长: b=3 半焦距:? 4 ? 3 ? 5
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

焦点坐标: (0,-5),(0,5) 离心率:
x2 y2 x2 y2 ? ? ?1 ? ?1 重回例 1:将双曲线方程 4 改为 4 。 3 3

求改后双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、 渐进线方程。 四、课堂练习:
1.(2013 年高考陕西卷(文))双曲线
2 2 2.双曲线 mx ? y ? 1

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=________.

x2 y2 ) ? ? 1 的渐近线方程为( 4 9 2 4 3 9 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 3 9 2 4 x2 y 2 4. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的离 ) a b
3.双曲线

心率为 A. y ? ?

5 ,则 C 的渐近线方程为 2
B. y ? ?



1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

5. (2013 年高考湖南(文) 设 F1,F2 是双曲线 C, )

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦 a 2 b2

点.若在 C 上存在一点 P.使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30° C 的离心率为 ,则 ___________.

6.求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率 (1) x 2 ? 8 y 2 ? 32 (2) x 2 ? y 2 ? ?4 (3)
x2 y2 ? ? ?1 49 25

※课堂小结:双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线. ※ 课后作业

1.双曲线

x2 y 2 . ? ? 1 实轴和虚轴长分别是( ) 16 8 A. 8 、 4 2 B. 8 、 2 2

C.4、 4 2 D.4、 2 2 2 2 2.曲线 x ? y ? ?4 的顶点坐标是( ) . A. (0, ?1) B. (0, ?2) C. (?1,0) D. ?0 ( 2 ,
2 2



x y . ? ? 1 的离心率为( ) 4 8 A.1 B. 2 C. 3 D.2 2 2 4.双曲线 x ? 4 y ? 1 的渐近线方程是 . 5 . 经 过 点 A( 3 ? 1) 并 且 对 称 轴 都 在 坐 标 轴 上 的 等 轴 双 曲 线 的 方 程 , , 是 . 2 2 x y 5 6.求与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线的方程. 49 24 4

3 双曲线

六、课后作业:? 七、板书设计(略)
王新敞
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王新敞
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八、课后记:

王新敞
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王新敞
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