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2014-2015学年人教a版数学选修2-2第2章《推理与证明》综合检测(含答案)



第二章综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,?的特点,按此规律,则第 100 项为( A.10 C.13 [答案] B [解析] 设 n∈N*,则数字 n 共有 n 个, n?n+1?

所以 ≤100 即 n(n+1)≤200, 2 13×14 又因为 n∈N*,所以 n=13,到第 13 个 13 时共有 =91 项,从第 92 项开始为 14, 2 故第 100 项为 14. 2. 有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数, 整数是有理数, 则整数是真分数”, 结论显然是错误的,因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 [答案] C [解析] 大小前提都正确,其推理形式错误.故应选 C. ?n+3??n+4? 3.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= (n∈N*)时,验证 n=1, 2 左边应取的项是( A.1 C.1+2+3 [答案] D [解析] 当 n=1 时,左=1+2+?+(1+3)=1+2+3+4,故应选 D. 4.(2012· 福建南安高二期末)下列说法正确的是( A.“a<b”是“am2<bm2”的充要条件 B.命题“?x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“?x∈R,x3-x2-1≤0” C.“若 a、b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“若 a+b 不是偶数,则 a、b 不都是奇数” D.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 [答案] C ) ) B.1+2 D.1+2+3+4 ) B.小前提错误 D.不是以上错误 B.14 D.100 )

[解析] A 中“a<b”是“am2<bm2”的必要不充分条件,故 A 错; B 中“?x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“?x∈R,x3-x2-1>0”,故 B 错; C 正确; D 中 p∧q 为假命题,则 p、q 中至少有一个为假命题,故 D 错. 5.(2014· 东北三校模拟) 下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是( A.6+6· 7
k k+1

)

B.2+7 )

k -1

C.2(2+7 [答案] D

D.3(2+7k)

[解析] 特值法:当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除,故选 D. 证明如下: 当 k=1 时,已验证结论成立, 假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除,那么 3(2+7n 1)=21(2+7n)


-36. ∵3(2+7n)能被 9 整除,36 能被 9 整除, ∴21(2+7n)-36 能被 9 整除, 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 故命题对任何 k∈N*都成立. 1 1 1 1 6.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 [答案] D [解析] 项数为 n2-(n-1)=n2-n+1,故应选 D. 7.已知 a+b+c=0,则 ab+bc+ca 的值( A.大于 0 C.不小于 0 [答案] D [解析] 解法 1:∵a+b+c=0, ∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0, ) B.小于 0 D.不大于 0 )

a2+b2+c2 ∴ab+ac+bc=- ≤0. 2 解法 2:令 c=0,若 b=0,则 ab+bc+ac=0,否则 a、b 异号,∴ab+bc+ac=ab<0, 排除 A、B、C,选 D. 8.已知 c>1,a= c+1- c,b= c- c-1,则正确的结论是( A.a>b C.a=b [答案] B [解析] a= c+1- c= b= c- c-1= 1 c+ c-1 1 , c+1+ c , B.a<b D.a、b 大小不定 )

因为 c+1> c>0, c> c-1>0, 所以 c+1+ c> c+ c-1>0,所以 a<b. 9.定义一种运算“*”;对于自然数 n 满足以下运算性质:( (i)1]B.n+1 C.n-1 [答案] A [解析] 令 an=n*1,则由(ii)得,an+1=an+1,由(i)得,a1=1, ∴{an}是首项 a1=1,公差为 1 的等差数列,∴an=n,即 n*1=n,故选 A. 10.(2013· 济宁梁山一中高二期中)已知函数 f(x)满足 f(0)=0,导函数 f ′(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象与 x 轴围成的封闭图形的面积为 ( ) 1 A. 3 C.2 [答案] B [解析] 由 f ′(x)的图象知,f ′(x)=2x+2, 设 f(x)=x2+2x+c,由 f(0)=0 知,c=0,∴f(x)=x2+2x, 由 x2+2x=0 得 x=0 或-2. 1 3 2 0 4 故所求面积 S=-?0-2(x2+2x)dx= -?3x +x ?? ?-2=3. ? 11.已知 1+2×3+3×32+4×32+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,


)

D.n2

4 B. 3 8 D. 3

那么 a、b、c 的值为(

)

1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 C.a=0,b=c= 4 [答案] A

1 B.a=b=c= 4 D.不存在这样的 a、b、c

3?a-b?+c=1, ? ? [解析] 令 n=1、2、3,得?9?2a-b?+c=7, ? ?27?3a-b?+c=34. 1 1 所以 a= ,b=c= . 2 4 12.设函数 f(x)定义如下表,数列{xn}满足 x0=5,且对任意的自然数均有 xn+1=f(xn), 则 x2011=( ) x f(x) A.1 C.4 [答案] C [解析] x1=f(x0)=f(5)=2, x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,?,数列{xn}是周期为 4 的数列, 所以 x2011=x3=4,故应选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) → 1 → → 13.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,则AD= (AB+AC).将上述命题类比到四面体中 2 去,得到一个类比命题: _____________________________________________________. → 1 → → → [答案] 在四面体 A-BCD 中,G 为△BCD 的重心,则AG= (AB+AC+AD) 3 x x 14.(2013· 安阳中学高二期末)设函数 f(x)= (x>0),观察:f1(x)=f(x)= ,f (x)= x+2 x+2 2 f(f1(x))= x x x ,f (x)=f(f2(x))= ,f (x)=f(f3(x))= ,??根据以上事实,由归纳 3x+4 3 7x+8 4 15x+16 1 4 2 1 3 3 B.2 D.5 4 5 5 2

推理可得:当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. [答案] x ?2n-1?x+2n

[解析] 观察 f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见,fn(x)的分子为 x,分母中 x 的系数 比常数项小 1,常数项依次为 2,4,8,16??2n.故 fn(x)= x . ?2n-1?x+2n

14.(2014· 厦门六中高二期中)在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下 的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有 c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把

截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1、 S2、S3 表示三个侧面面积,S 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

2 2 [答案] S2=S2 1+S2+S3

[解析] 类比如下: 正方形?正方体; 截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥; 直角三角形斜边平 方?三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和,
2 2 结论 S2=S2 1+S2+S3.

证明如下:如图,作 OE⊥平面 LMN,垂足为 E,连接 LE 并延长交 MN 于 F,

∵LO⊥OM,LO⊥ON,∴LO⊥平面 MON, ∵MN?平面 MON,∴LO⊥MN, 1 1 1 ∵OE⊥MN, ∴MN⊥平面 OFL, ∴S△OMN= MN· OF, S△MNE= MN· FE, S△MNL= MN· LF, 2 2 2 1 1 1 OF2=FE· FL,∴S2 OF)2=( MN· FE)· ( MN· FL)=S△MNE· S△MNL,同理 S2 △OMN = ( MN· △OML = S △ 2 2 2
2 2 S△MNL,S2 S△MNL,∴S2 S△MNL= △ONL= S△ NLE· △OMN + S△OML + S△ONL = (S △ MNE + S △MLE + S △ NLE)· MLE· 2 2 2 2 S2 △MNL,即 S1+S2+S3=S .

3 1 1 3 1 4 16. (2014· 洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式: × =1- 2, × + 2 1×2 2 2×3 1×2 2 1 1 3 1 4 1 5 1 1 × 2=1- , × + × 2+ × 3=1- ,??,由以上等式推测到一个 2 3×22 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×23 一般的结论:对于 n∈N*, 1 [答案] 1- ?n+1?· 2n 3 1 1 [解析] 由已知中的等式: × =1- 2 2 1×2 2 3 1 4 1 1 × + × 2=1- , 1×2 2 2×3 2 3×22 n+2 3 1 4 1 1 × + × 2+?+ × n=________. 1×2 2 2×3 2 n?n+1? 2

3 1 4 1 5 1 1 × + × 2+ × 3=1- ,?, 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×23 n+2 3 1 4 1 1 1 所以对于 n∈N*, × + × 2+?+ × n=1- . 1×2 2 2×3 2 n?n+1? 2 ?n+1?2n 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)已知:a、b、c∈R,且 a+b+c=1. 1 求证:a2+b2+c2≥ . 3 [证明] 由 a2+b2≥2ab,及 b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. 三式相加得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2. 由 a+b+c=1,得 3(a2+b2+c2)≥1, 1 即 a2+b2+c2≥ . 3 18.(本题满分 12 分)设 n∈N+,用归纳推理猜想 [解析] 记 f(n)= 111? 1 -222? 个 2 , 个
2n 1 n 2

111? 1 -222? 2 的值. 个 个
2n 1 n 2

则 f(1)= 11-2=3,f(2)= 1111-22= 1089=33,f(3)= 111111-222= 110889= 333. 猜想 f(n)=333? 3 . 个
n

[点评] f(n)=333? 3 可证明如下: 个
n

1 ∵111? 1个= (102n-1), 9 2n 2 222? 个 2 = (10n-1), n 2 9 令 10n=x>1,则 f(n)= 即 f(n)=33? 3 . 个
n

1 2 2 ?x -1?- ?x-1?= 9 9

1 2 1 1 ?x -2x+1?= (x-1)= (10n-1), 9 3 3

19.(本题满分 12 分)(2013· 华池一中高二期中)在圆 x2+y2=r2(r>0)中,AB 为直径,C x2 y2 为圆上异于 A、 B 的任意一点, 则有 kAC· kBC=-1.你能用类比的方法得出椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b 中有什么样的结论?并加以证明. x2 y2 [解析] 类比得到的结论是:在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,A、B 分别是椭圆长轴的左右 a b b2 端点,点 C(x,y)是椭圆上不同于 A、B 的任意一点,则 kAC· kBC=- 2 a 证明如下:设 A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则 A 关于中心的对称点 B 的坐标为 B(-

x0,-y0),点 P(x,y)为椭圆上异于 A,B 两点的任意一点,则 kAP· kBP=

y-y0 y+y0 y2-y2 0 · = 2. x-x0 x+x0 x2-x0

由于 A、B、P 三点在椭圆上,∴

? ?x y ?a +b =1.
2 0 2 2 0 2

x2 y2 + =1, a2 b2

x2-x2 y2-y2 0 0 两式相减得, 2 + 2 =0, a b ∴ y2-y2 b2 b2 0 kBP=- 2. 2 2=- 2,即 kAP· a a x -x0

x2 y2 故在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,长轴两个端点为 A、B、P 为异于 A、B 的椭圆上的任意 a b b2 一点,则有 kAB· kBP=- 2. a x-2 20.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+ (a>1). x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. [解析] (1)证法 1:任取 x1、x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-x1>1 且 ax1>0, ∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0, 又∵x1+1>0,x2+1>0, ∴ = x2-2 x1-2 ?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? - = x2+1 x1+1 ?x1+1??x2+1? 3?x2-x1? >0, ?x1+1??x2+1? x2-2 x1-2 - >0, x2+1 x1+1

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x+1-?x-2? x 3 证法 2:f ′(x)=axlna+ =a lna+ ?x+1?2 ?x+1?2 ∵a>1,∴lna>0,∴axlna+ 3 >0, ?x+1?2

f ′(x)>0 在(-1,+∞)上恒成立, 即 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)解法 1:设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0, x0-2 则 ax0=- ,且 0<ax0<1. x0+1

x0-2 1 ∴0<- <1,即 <x0<2,与假设 x0<0 矛盾. 2 x0+1 故方程 f(x)=0 没有负数根. 解法 2:设 x0<0(x0≠-1), x0-2 ①若-1<x0<0,则 <-2,ax0<1,∴f(x0)<-1. x0+1 x0-2 ②若 x0<-1 则 >0,ax0>0,∴f(x0)>0. x0+1 综上,x<0(x≠-1)时,f(x)<-1 或 f(x)>0,即方程 f(x)=0 无负数根. 1 21.(本题满分 12 分)(2014· 哈六中期中)已知函数 f(x)=(x-2)ex- x2+x+2. 2 (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; 1 1 (2)证明:当 x≥1 时,f(x)> x3- x. 6 2 [解析] (1)f ′(x)=(x-1)(ex-1), 当 x<0 或 x>1 时,f ′(x)>0,当 0<x<1 时,f ′(x)<0, ∴f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, 5 当 x=0 时,f(x)有极大值 f(0)=0,当 x=1 时,f(x)有极小值 f(1)= -e. 2 1 1 x 3 (2)设 g(x)=f(x)- x3+ x,则 g′(x)=(x-1)(ex- - ), 6 2 2 2 x 3 1 令 u(x)=ex- - ,则 u′(x)=ex- , 2 2 2 1 当 x≥1 时,u′(x)=ex- >0,u(x)在[1,+∞)上单调递增,u(x)≥u(1)=e-2>0, 2 x 3 1 1 所以 g′(x)=(x-1)(ex- - )≥0,g(x)=f(x)- x3+ x 在[1,+∞)上单调递增. 2 2 6 2 1 1 17 g(x)=f(x)- x3+ x≥g(1)= -e>0, 6 2 6 1 1 所以 f(x)> x3- x. 6 2 22.(本题满分 14 分)设数列 a1,a2,?an,?中的每一项都不为 0.证明{an}为等差数列 的充分必要条件是:对任何 n∈N+,都有 1 1 1 n + +?+ = . a1a2 a2a3 anan+1 a1an+1

[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算 求解能力. 解题思路是利用裂项求和法证必要性,再用数学归纳法或综合法证明充分性. [证明] 先证必要性. 设数列{an}的公差为 d.若 d=0,则所述等式显然成立.

1 1 1 若 d≠0,则 + +?+ a1a2 a2a3 anan+1 an+1-an? 1?a2-a1 a3-a2 = ? a a + a a +?+ d? 1 2 anan+1 ? 2 3 ? 1 1 ?? 1 1 1? ?1 1? - + - +?+?a - = ?? a d??a1 a2? ?a2 a3? ? n n+1?? 1 1 1 1an+1-a1 n = ?a -a ?= = . d? 1 n+1? d a1an+1 a1an+1 再证充分性. 证法 1: (数学归纳法)设所述的等式对一切 n∈N+都成立. 首先, 在等式 1 1 2 + = a1a2 a2a3 a1a3

两端同乘 a1a2a3,即得 a1+a3=2a2,所以 a1,a2,a3 成等差数列,记公差为 d,则 a2=a1+ d. 假设 ak=a1+(k-1)d,当 n=k+1 时,观察如下两个等式 k-1 1 1 1 + +?+ = , a1a2 a2a3 ak-1ak a1ak 1 1 1 1 k + +?+ + = a1a2 a2a3 ak-1ak akak+1 a1ak+1 k-1 1 k 将①代入②,得 + = , a1ak akak+1 a1ak+1 在该式两端同乘 a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak. 将 ak=a1+(k-1)d 代入其中,整理后,得 ak+1=a1+kd. 由数学归纳法原理知,对一切 n∈N,都有 an=a1+(n-1)d,所以{an}是公差为 d 的等 差数列. 证法 2:(直接证法)依题意有 1 1 1 n + +?+ = , a1a2 a2a3 anan+1 a1an+1 n+1 1 1 1 1 + +?+ + = . a1a2 a2a3 anan+1 an+1an+2 a1an+2 n+1 1 n ②-①得 = - , an+1an+2 a1an+2 a1an+1 在上式两端同乘 a1an+1an+2,得 a1=(n+1)an+1-nan+2. 同理可得 a1=nan-(n-1)an+1(n≥2) ③-④得 2nan+1=n(an+2+an) 即 an+2-an+1=an+1-an, 由证法 1 知 a3-a2=a2-a1,故上式对任意 n∈N*均成立.所以{an}是等差数列. ③ ④ ① ② ① ②

1.已知数列 2, 5,2 2, 11,?,则 2 5是这个数列的( A.第 6 项 C.第 19 项 [答案] B [解析] B.第 7 项 D.第 11 项

)

2, 5, 8, 11,?,而 2 5= 20,可见各根号内被开方数构成首项为 2,

公差为 3 的等差数列, 由 20=2+(n-1)×3 得 n=7. 2.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手, 甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是 乙获奖.”四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是__________________. [答案] 丙 [解析] 若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情 况,最后可知获奖的歌手是丙. 3.(1)由“若 a、b、c∈R,则(ab)c=a(bc)”类比“若 a、b、c 为三个向量,则(a· b)c= a(b· c)”; (2)在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,猜想 an=2n-2; (3)“在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中,四面体的任意三个 面的面积之和大于第四个面的面积”; 上述三个推理中结论正确的序号为________. [答案] ②③ [解析] (a· b)c=a(b· c)不一定成立,其左边为平行于 c 的向量,右边为平行于 a 的向量, 即命题(1)不正确; 由 a1=0,an+1=2an+2 可得 an+1+2=2(an+2),则数列{an+2}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,an+2=2n,即 an=2n-2,命题(2)正确; (3)正确,可结合三个侧面在底面上的射影去证明; 综上可得正确的结论为(2)(3). 1 1 4.若 x>0,y>0,用分析法证明:(x2+y2) >(x3+y3) . 2 3 1 1 [证明] 要证(x2+y2) >(x3+y3) , 2 3 只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2, 即证 x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6, 即证 3x4y2+3y4x2>2x3y3. 又因为 x>0,y>0,所以 x2y2>0, 故只需证 3x2+3y2>2xy.

而 3x2+3y2>x2+y2≥2xy 成立, 1 1 所以(x2+y2) >(x3+y3) 成立. 2 3 5.已知 a 是正整数,且 a3 是偶数,求证:a 也是偶数. [分析] 已知 a3 的奇偶性研究 a 的奇偶性,不易直接证明,但如果已知 a 的奇偶性研究 a3 的奇偶性则较容易证明,故可用反证法. [证明] 假设 a 不是偶数,则 a 必为奇数, 设 a=2k+1(k∈N), 则 a3=(2k+1)3=8k3+12k2+6k+1 =2(4k3+6k2+3k)+1, 由于 k∈N,所以 4k2+6k2+3k∈N, 故 2(4k3+6k2+3k)是偶数,2(4k3+6k2+3k)+1 为奇数,即 a3 为奇数,这与 a3 是偶数相 矛盾. 故假设不正确,即 a 也是偶数. 6.我们知道,在△ABC 中,若 c2=a2+b2,则△ABC 是直角三角形.现在请你研究: 若 cn=an+bn(n>2),问△ABC 为何种三角形?为什么? [解析] 锐角三角形 ∵cn=an+bn (n>2),∴c>a, c>b,由 c 是△ABC 的最大边,所 以要证△ABC 是锐角三角形,只需证角 C 为锐角,即证 cosC>0. a2+b2-c2 ∵cosC= , 2ab ∴要证 cosC>0,只要证 a2+b2>c2, 注意到条件:an+bn=cn, 于是将①等价变形为:(a2+b2)cn 2>cn.





- -

∵c>a,c>b,n>2,∴cn 2>an 2,cn 2>bn 2,
- -

即 cn 2-an 2>0,cn 2-bn 2>0,
- - - -

从而(a2+b2)cn 2-cn=(a2+b2)cn 2-an-bn
- -

=a2(cn 2-an 2)+b2(cn 2-bn 2)>0,
- - - -

这说明②式成立,从而①式也成立. 故 cosC>0,C 是锐角,△ABC 为锐角三角形.



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