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第三章 直线与方程 3.1.1



第三章 §3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率

学习 目标

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.掌握求直线斜率的两种方法. 3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.

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知识梳理

自主学习

知识点一

直线的倾斜角

1.直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时,我们取 x轴 作为基准,x轴 正向 与直线l 向上 方向 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 2.直线倾斜角的取值范围 直线的倾斜角α的取值范围是 0°≤α<180° ,并规定与x轴平行或重合的 直线的倾斜角为 0°. 思考 答 当一条直线的倾斜角为0°时,此时这条直线一定与x轴平行吗? 不一定.也可能与x轴重合.
答案

知识点二

直线的斜率

1.直线斜率的定义

一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k
表示,即k= tan α .

思考

所有直线都有斜率吗?若直线没有斜率,那么这条直线的倾斜角

为多少?

答 不是.若直线没有斜率,那么这条直线的倾斜角应为90°.

答案

2.倾斜角α与斜率k的关系
直线情况 α的大小 k的范围 k的增减性 平行于x轴 0° 0 由左向右上升 0°<α<90° k>0 随α增大而增大 垂直于x轴 90° 不存在 由左向右下降 90°<α<180° k<0 随α增大而增大

知识点三 思考


y2-y1 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k= x2-x1 .
在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率
都相等吗? 相等.对于一条直线来说其斜率是一个定值,与所选择点的位置无关, 所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等.

直线斜率的坐标公式

答案

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题型探究

重点突破

题型一

直线的倾斜角 )

例1

设直线l过坐标原点,它的倾斜角为 α,如果将l绕坐标原点按逆时

针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(

A.α+45°
B.α-135°

C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角

为α-135°

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1

给出下列命题:

①任何一条直线都有惟一的倾斜角;

②一条直线的倾斜角可以为-30°;
③倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴;

④按照倾斜角的概念,直线的倾斜角 α的集合{α|0°≤α<180°}与直线
集合建立了一一映射.

其中正确命题的个数是(
A.1 B.2 C.3

)
D.4

解析答案

题型二 直线的斜率
例2 已知直线l过P(-2,-1),且与以A( -4,2),B(1,3)为端点的线

段相交,求直线l的斜率的取值范围.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).

(1)求直线AB和AC的斜率;

2-3 1 解 由斜率公式,得直线 AB 的斜率 kAB= = 7; -4-3 -2-3 5 直线 AC 的斜率 kAC= =3. 0-3
1 5 故直线 AB 的斜率为7,直线 AC 的斜率为3.

解析答案

(2)当点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围.
解 如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,
?1 5? ? 的斜率的变化范围是?7,3? ?. ? ?

所以直线 AD

解析答案

题型三

斜率公式的应用

y 例 3 已知实数 x, y 满足 y=-2x+8, 且 2≤x≤3, 求x的最大值和最小值.
解 如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x+y =8,且2≤x≤3, 可知点 P(x , y) 在线段 AB 上移动,并且 A , B 两 点的坐标可分别求得为(2,4),(3,2). y 由于x的几何意义是直线 OP 的斜率, 2 且 kOA=2,kOB=3, 2 y 所以可求得x的最大值为 2,最小值为3.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练 3

y+3 已知实数 x,y 满足 y=x -x+2(-1≤x≤1),试求 的最 x+2
2

大值和最小值.



y+3 由 的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与曲线段 AB x+2

上任一点(x,y)的直线的斜率 k,
由图可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1, 2),B(-1, 4).

2-?-3? 5 4-?-3? 则 kPA= =3,kPB= =7. 1-?-2? -1-?-2?

y+3 5 5 ∴3≤k≤7,∴ 的最大值为 7,最小值为3. x+2
解析答案

数学思想

分类讨论思想

例4

设直线l过点A(6,12),B(m,13),求直线l的斜率k及倾斜角α的取

值范围.

解后反思

解析答案

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当堂检测

1

2

3

4

5

1.下列命题正确的是( A )

A.两条不重合的直线,如果它们的倾斜角相等,那么这两条直线平行
B.若一条直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1)

C.若α,2α,3α分别为三条直线的倾斜角,则α的度数可以大于60°
2 D.若α是直线l的倾斜角,且tan α= ,则α=45° 2

解析

∵α∈[0,180°),∴sin α∈[0,1],B错;

当α=60°时,3α=180°,∴C错; tan 45°=1,∴D错.
解析答案

1

2

3

4

5

2.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( D ) A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 解析 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

由图可知,直线 l2 , l3 的倾斜角为锐角,
? π? ? ? l3 的倾斜角,由正切函数在?0,2?内单调递增, ? ?

直线l1的倾斜角为钝角,故k1最小.

直线 l2 的倾斜角大于直线 得 k2>k3.
故k1<k3<k2.

解析答案

1

2

3

4

5

π 3.若-2<α<0,则经过 P1(0,cos α),P2(sin α,0)两点的直线的倾斜 角为( C ) A.α
解析

B.-α

π C.2+α

D.π+α

?π ? 0-cos α ? ? 由斜率的计算公式,得 k= =-cot α=tan?2+α?,而 ? ? sin α-0

? π? π ? ? 0,2?. 2+α∈? ? ?

解析答案

1

2

3

4

5

4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是( C ) A.0°≤α<90° C.90°<α<180° 解析 B.90°≤α<180° D.0°<α<180°

直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,

又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.

解析答案

1

2

3

4

5

5.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°, 则点P的坐标为 (3,0)或(0,3) .

解析

0-2 由题意知 kPA=-1,若 P 点在 x 轴上,则设 P(m,0),则 m-1

=-1,解得 m=3;

n-2 若 P 在 y 轴上,则设 P(0,n),则 =-1,解得 n=3; 0-1
故P点的坐标为(3,0)或(0,3).

解析答案

课堂小结 1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的

倾斜程度.
2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连,如下表:

直线情况

α的大小



0°<α<90°

90°

90°<α<180°

k的范围 k的增减情况

0

k>0 k随α的增大而增大

不存在

k<0 k随α的增大而增大

y2-y1 3.运用两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)求直线斜率 k= 应注意的问题: x2-x1
(1)斜率公式与P1,P2两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序
有关(即x2-x1,y2-y1中x2与y2对应,x1与y1对应).

(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与x轴垂直,而
当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在.

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