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高一数学1完成



C.函数的减区间是 ?? ?,1? ? ?1,?? ?

D.函数的减区间是 ?? ?,1?, ?1,?? ? )

调兵山市第一高中
6.若函数 f ( x) ?

2011—2012 学年度高一第二次月考 数 学 试 题
考试时间:120 分钟 满分 150 分 注:将答案按要求写在答题纸相应的指定位置上,否则视为不作答。 一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分,在每题给出的四个选项中, 只有一个是正确的,把答案序号填在答题纸对应表格内)

A. 2

? 3x ? 1 ( x ? 2) 的值域为集合 P ,则下列元素中不属于 P 的是 ( x?2 B. ? 2 C. ? 3 D. ? 1
( D. ? ( C. ?0,??? ) D. ?2,???

?0,x ? 0, ? 7.已知函数 f ? x ? ? ??,x ? 0, ,则 f ? f ? f ??1??? ? ? x ? 1,x ? 0, ?
A. 0 8.函数 f ? x ? ? ) A. ?0,2? B.1 C. ? ? 1



3 ? 2 x ? x 2 的值域为
B. ?0,4?



1 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5} , A ? ? ,3,5?, B ? {2,3,4}, 则 ?CU A? ? B ?
A. ?2? B. ?4? C. ?2,4? D. ? ( B. f ( x) ? x , g ( x ) ?



9 图(1)是由哪个平面图形旋转得到的( )

2.下列四组函数,表示同一函数的是 A. f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? x

x2 x
A B
2

C

D

C. f ( x) ? ln x , g ( x) ? 2 ln x
2

D. f ( x) ? log a a x ( a > 0 , a ? 1) , g ( x) ?

3

x3

10 . 函 数 f ?x ? ? ax ? ?a ? 2b ?x ? a ? 1 是 定 义 在 ?? a,0? ? ?0,2a ? 2? 上 的 偶 函 数 , 则

3.M= {正四棱柱},N= {长方体},P= {直四棱柱},Q={正方体},下列关系中 正确的是( ) A.Q ? M ? N ? P B.Q ? M ? N ? P C.Q ? N ? M ? P D.Q ? N ? M ? P 4.已知 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 A ? B ? A ,则实数 a 的值为(
2

? a2 ? b2 f? ? 5 ?
A.1 ) 11. 已知函数

? ?? ? ?
B. 3 C.





?

?

?

?

5 2

D.不存在

A. 1,2

1 B. 1, 2

C. 0,1,2

1 D. 0,1, 2
( )

f ( x) 是 R 上的增函数,A(0,?1) ,B(3,1) 是其图象上的两点, 记不等式 f ( x ? 1)
?
( ) D. (??, ?1) ? [4, ??)

x 5.对于函数 f ?x ? ? ,下列描述正确的是 1? x
A.函数的增区间是 ?? ?,1? ? ?1,?? ? B.函数的增区间是 ?? ?,1?, ?1,?? ?

< 1 的解集 M ,则 C R M A. (?1,2)

B. (1, 4)

C. (??, ?1] ? [2, ??)

12.已知 F ?x ? ? mf ?x ? ? ng?x ? ? x ? 2 对任意 x ? ?0,??? 都有 F ?x ? ? F ?2? ? 8 ,且 f ? x ? 与

值域,并写出函数的单调递减区间. 20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

g ? x ? 都是奇函数,则在 ?? ?,0 ? 上 F ? x ? 有





A.最大值 8 B.最小值-8 C.最大值-10 D.最小值-4 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸对应横线上) 13.函数 f ? x ? ? ?

x . 1? x2

(1)证明函数具有奇偶性; (2)证明函数在 ?0,1? 上是单调函数; (3)求函数在 ?? 1,1? 上的最值.

1 1? x2

的单调递增区间为



1 14.已知 A ? ? ,2,3,4?,且 A 中至少有一个偶数,则这样的 A 有
2

个. .

21. (本题满分 12 分) 已知 a ? 0, 且a ? 1 , f ? x ? ?

15.不等式 ax ? 2 x ? a ? 0 对一切实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是

a ? x 1 ? ?a ? x ? a ?1 ? a ?
2



16.若函数 f ? x ? ? a x ? b ? c 满足① f ? x ? 1? 为偶函数;②在 R 上有大于零的最大值;③函数

(1)判断 f ( x) 的奇偶性并加以证明; (2)判断 f ( x) 的单调性并用定义加以证明; (3)当 f ( x) 的定义域为 (?1,1) 时,解关于 m 的不等式 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 .
2

f ? x ? 的图象过坐标原点;④ a, b, c ? Z ,试写出一组符合要求的 a, b, c 的值
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应有文字说明、过程或步骤) 17. (本题满分 10 分) 集合 A ? ? x



? x?3 ? ? 0? , B ? x 12 x ? 20 ? x 2 ? 0 ,求 A ? B , ? x?7 ?

?

?

22. (本题满分 12 分)
1 已知函数 f ( x) ? ( ) x , 函数 g ( x) ? log 1 x 3 3
2

?C R A? ? B , C R ? A ? B ? .
18. (本题满分 12 分)



(1)若 g (mx ? 2 x ? m) 的值域为 R ,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? ? ?1, 1? 时,求函数 y ? ? f ( x)? ? 2af ( x) ? 3 的最小值 h(a ) ;
2

?1 ? 2 2 已知函数 f ( x) ? 2 ? log 3 x ,定义域为 ? ,81? ,求函数 g ( x) ? ? f ( x)? ? f ( x ) 的最值,并 81 ? ?
指出 g (x) 取得最值时相应自变量 x 的取值。

(3)是否存在非负实数 m、n,使得函数 y ? log 1 f ( x 2 ) 的定义域为 ? n, m ? ,值域为 ? 2n, 2m ? ,
3

若存在,求出 m 、 n 的值;若不存在,则说明理由.

19. (本题满分 12 分) 已知 f ? x ? 是二次函数, 满足 f ?x ? 1? ? f ?2 x ? 1? ? ?5 x ? x , 求函数 f ? x ? 的解析式、
2

参考答案
CDBBB CCA AB C D 13. (-1,0) 14.12 15. [1, ??) 16.a=-1,b=1,c=1(a+c=0,a<0, b=1) 17.解: A ? {x | 3 ? x ? 7} ………………………………………2 分 ……………………………4 分 …………………………………6 分 ……………………………………8 分 ……………………………………10 分

? 5 a ? ?5 ? a ? ?1 ? ? ? ?3b ? 2a ? ?1 ,解得? ?b ? ?1 ? 2( a ? c) ? 0 ? c ?1 ? ?
? f ( x) ? ? x 2 ? x ? 1,
值域为 ( ??, ] , 单调递减区间为 [? , ??) 20.证明: (1)由题意,对任意设 x ? R 都有

……………………………………7 分

……………………………………8 分 ……………………………………10 分

5 4

1 2

……………………………………12 分

B ? {x | 2 ? x ? 10} ? A ? B ? {x | 3 ? x ? 7}

f (? x) ?

?x x ?? ? ? f ( x), 2 1 ? ( ? x) 1 ? x2
……………………………………4 分

(CR A) ? B ? {x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10} ? CR ( A ? B) ? {x | x ? 2或x ? 10}

故 f(x)在 R 上为奇函数; (2)任取 x1 , x2 ? [0,1]且x1 ? x2 , 则

1 1 18. 要使函数有意义,必须 ≤ x ≤ 81 且 ≤ x 2 ≤ 81 , 81 81 1 解得 ≤ x ≤ 9 --------------------------------------------------4 分 9
又 y ? (2 ? log 3 x) 2 ? (2 ? log 3 x 2 )
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) , (1 ? x12 )(1 ? x2 2 )

? x1 , x2 ? [0,1]且x1 ? x2 ,

? (log 3 x) 2 ? 2 log 3 x ? 2 ----------6 分
2

? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1,1 ? x12 ? 0,1 ? x2 2 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 )
故 f(x)在[0,1]上为增函数; …………………………………8 分 (3)由(1) (2)可知 f(x)在[-1,1]上为增函数, 故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f (1) ? 最小值为 f (?1) ? ? 。

令 t ? log 3 x , y ? t ? 2t ? 2 ? (t ? 1) ? 1 ,由 当 t ? ?1 时,即 x ?

1 ≤ x ≤ 9 得 ? 2 ≤ t ≤ 2 ,----10 分 9

1 时, y min ? 1 ,当 t ? 2 时,即 x ? 9 时, y max ? 10 ,------12 分 3
2

19.解:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0),

……………………………………1 分 ………………5 分

1 , 2

f ( x ? 1) ? f (2 x ? 1) ? 5ax 2 ? (3b ? 2a) x ? 2(a ? c) ? ?5 x 2 ? x,

1 …………………12 分 2 21. (本题满分 12 分) 解:(1) 定义域 R, a (a ? x ? a x ) , ? f ( ? x) ? 2 a ?1

∴ f ( ? x) ? ? f ( x) , ∴ f (x)是奇函数 .---------------------------------4 分 (2)设 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 1 a 1 (a x1 ? x1 ) ? 2 ( a x2 ? x2 ) a ?1 a ?1 a a a 1 1 ? 2 (a x1 ? x1 ? a x2 ? x2 ) a ?1 a a
2

? f ( x)的定义域为(-1,1) ,且 f (x) 为增函数,
?? 1 ? 1 ? m ? 1 ? ∴ ?? 1 ? m 2 ? 1 ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

解得 1 ? m ? 2

∴不等式的解集为 m 1 ? m ? 2 22.(本题满分 12 分) 解:(1)? g ( x) ? log 1 x ,
3

?

?------------------12 分

?

a 1 (a x1 ? a x2 )(1 ? x x ) 1 (a ? 1)( a ? 1) a a2

∴ y ? g (mx 2 ? 2 x ? m) ? log 1 (mx 2 ? 2 x ? m)
3

a 1 当 0 ? a ? 1 时, ? 0 , a x1 ? a x2 , 1 ? x x ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , (a ? 1)( a ? 1) a 1a 2

令 u ? mx 2 ? 2 x ? m ,则 y ? log 1 u
3

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。 当 a ? 1 时,
a 1 ? 0 , a x1 ? a x2 , 1 ? x x ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 1 (a ? 1)( a ? 1) a a 2

当 m ? 0时 , u ? 2x , y ? log 1 2 x 的值域为 R
3

当 m ? 0时 ,? y ? log 1 u 的值域为 R,
3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。
∴ f ( x) ?
a (a x ? a ? x ) 在 0<a<1 时和 a>1 时均为 R 上的增函数-------8 分 a ?1
2

?m ? 0 ∴? ,解得 0 ? m ? 1 2 ?? ? 4 ? 4 m ? 0

综上所述, 0 ? m ? 1 -----------------------4 分
1 1 (2) y ? [ f ( x)] 2 ? 2af ( x) ? 3 ? ( ) 2 x ? 2a( ) x ? 3 3 3
1 1 ? [( ) x ]2 ? 2a( ) x ? 3 3 3 1 1 令 t ? ( ) x ,则 t ? [ ,3] 3 3 1 y ? t 2 ? 2at ? 3 , t ? [ ,3] 3

(3)? f (1 ? m) ? f (1 ? m 2 ) ? 0, ∴ f (1 ? m) ? ? f (1 ? m 2 )
? f (x)是奇函数

, x ? [?1,1]

∴ ? f (1 ? m ) ? f (m ? 1)
2 2

即 f (1 ? m) ? f (m 2 ? 1)

1 1 28 ? 6a 对称轴为 t ? a ,当 a ? 时, (a) ? y( ) ? ; h 3 3 9 1 当 ? a ? 3时, (a) ? y (a) ? 3 ? a 2 ; h 3

当 a ? 3时, (a) ? y(3) ? 12 ? 6a 。 h
1 ? 28 ? 6a , a? , ? 9 3 ? 1 ? 2 综上所述, h(a) ? ? ? a ? 3, 3 ? a ? 3, ? a ? 3. ? ?6a ? 12, ? ?

-----------------8 分

1 2 (3) y ? log 1 f ( x 2 ) ? log 1 ( ) x ? x 2 , 3 3 3
?n 2 ? 2 n ? 假设存在,由题意,知 ? 2 ?m ? 2 m ?

?n ? 0 解得 ? ?m ? 2

∴存在 n=0,m=2,使得函数 y ? log 1 f ( x 2 ) 的定义域为 [0,2] ,值域为 [0,4] 。-----12 分
3



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