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# 数列通项公式的几种推导方法

10722

0906014235 公 开

2013 届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

I

Methods of deriving the number listed genera term formula
Wu Nini
(School of Mathematics and Information Science, Xianyang Normal University, Xianyang Shanxi, 712000)

Abstract
Explore with formula exploration and solving typical problems in the series,is very easy to test out in the clooege entrance

examination,sometimes a small problem (fill in the blank or select)the form,but the vast majority of cases is in the big issue or set up a asked for solving series, are presented in Tables the general term of. In fact,in general,all series of problems in most cases,it is equivalent to find its general term formula,especially those that difficulty factor

series,series general term formula of the quest is often the key to the stops out. This article is mainly from the general recursive series, the first order recursive series, the second order linear recurrence sequence, the second order nonlinear recursive series, k order recursive series of these aspects to explore,study the derivation of the general term formulamethods. The final results of the thesis is the master formula sequence with several general derivation method and understanding of the first order, second order,k order linear recurrence series of general term formula commonly used derivation method, by reference to the large number of documents,the following “seriesthe derivation of the general term formula”makes an elaboration.

Keywords:
Geometric sequence.

Series;General

term

formula;Arithmetic

series;

II

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III

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1 引言

2 数列及其通项公式的概念
·定义 2.1[12] (数列) 按一定次序排成的一列数叫做数列. 数列的一般形式可以写成 a1 ， a2 ， a3 ，?， an ，?. 其中 an 是数列的第 n 项. ·定义 2.2[12] (通项公式) 如果数列｛ an ｝的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用 一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ·定义 2.3[12] (等差数列) 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差 数列的公差，公差通常用字母 d 表示. ·定义 2.4[12] (等比数列) 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的
1

3 一般数列通项公式的几种推导方法 ·3.1 观察法

13 17 21 3 5 5 ，? ， ，? ， ， ? ，? . 写出此数列的一个 8 16 32 4 64 2

n?1

4n ? 1 乘积构成的。 2n

an ? ? ?1?

n ?1

?

4n ? 1 . 2n

1 4 3 16 例 2.已知数列 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ? .写出此数列的一个通项公式。 7 4 19 4

dn ?

n2 的和构成的。 n2 ? 3

an ? n+

n2 . n2 ? 3

2

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·3.2.定义法

1 1 1 , , 成等比数列，求数列｛ an ｝的通项公式。 a1 a2 a4 1 1 1 , , 成等比数列得 a1 a2 a4

?1? 1 1 2 ? ?a ? ? ? a ? a ，即 ?a1 ? d ? ? a1 ? ?a1 ? 3d ? ， 1 4 ? 2?
2

b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 ，若 a ? 1 ，求数列 ?an ? 的通项公式.

?2 ? q?

2

? 2? 3 ? q2 ?

q 2 ? 4q ? 2? 0 ，

q1 ? 2 ? 2, q2 ? 2 ? 2,

an ? (2 ? 2)n?1 或 an ? (2 ? 2) .

3

n?1

·3.3.公式法

?s1 (n ? 1) an ? ? 通项公式 an 与 sn 有如下关系： ?sn ? sn ?1 (n ? 2) .

a1 ? 2 ? 2 ? 31?1

( sn ?1)

? n ，求此数列的通项公式。

an ? 2 ? 3n ?1

4sn ? 2sn ? 2sn ?1 ?
2 2

n ，求数列 ?an ?的通项公式。 an

n ， sn ? sn ?1

2 sn ? sn?1 ? n ，即

?

?

sn ? sn?1 ?

2

2

n 2

2 3 n 2 2 sn ? s1 ? ? ? ? ? ， 2 2 2

n ? 1 时， s1 ? a1
2 n ? 2 时， sn ?

a1 ?

2 2 1 , s1 ? 2 2，

n?n ? 1? n?n ? 1? ，又 an ? 0 ， sn ? ， 4 2

an ?

n?n ? 1? ? n?n ? 1? . 2

4

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·3.4 累加求和法

2 4n ? 1
2

，求 ?an ?的通项公式。

1 ? ? 1 解：由已知得， an?1 ? an ? ? ? ?， ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 1 1 1 1 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 1 ? an ? a1 ? 1 ? 2n ? 1 4n ? 3 ? an ? 2n ? 1

an?1 ? an ? 3n ，

(a2 ? ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ? 3 ? [1 ? 2 ? 3 ? ? (n ? 1)] ? 3 ? n(n ? 1) 2

? an ? a1 ? 3 ?
? an ? 3 ?

n(n ? 1) 2

n(n ? 1) ?3 2 (n ? 1)(n ? 2) ? 3? 2

n ? 1个式子累加后求出通项 公式 ， ? f (n)?的前n ?1项的和， 此法 最终转化为求数列

·3.5 累乘求积法

5

an?1 依次令 n 为 (n ? 1), (n ? 2),? ,3,2,1, 通过 累乘 ， 得 ? f (n)的数列通项公式， an

a a a2 a3 ? ??? n?1 ? n ? f (1) ? f (2) ??? f (n ? 2) ? f (n ? 1) ， 再 通 过 求 积 求 出 a1 a2 an?2 an?1

2 ? 例 9.设 ?an ?是首项为 2 的正项数列，且 (n ?1)an?1 ? nan?1an ? 0, n ? N ，求 an 。

? an ? 0

? (n ? 1)an?1 ? nan ? 0

an?1 n ? an n ?1 an n ?1 ? an?1 n

?n ? 2 时，

a a a2 a3 1 2 n ? 2 n ?1 ? ??? n?1 ? n ? ? ??? ? a1 a2 an ?2 an?1 2 3 n ?1 n

an 1 ? a1 n

an ?

1 2 a1 ? n n
10.(2004 全 国 理 ) 已 知 数 列

?an ?

a1 ? 1

an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1, (n ? 2), 求 an 。

an?1 ? n ? 1 ，又 a2 ? a1 ? 1 an
a a a2 a ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,?, n ? n ? 1, a1 a2 a3 an?1
6

? a1 ? 1,

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·3.6 迭代法

an ?1 ? f (an ?2 ) ， an ?2 ? f (an ?3 ) ， ?， a2 ? f (a1 ) ，并通过逐项 迭代 的方法求出

n ?1

a1 ? (n ? 1)2n?1

= 2n ?1 ? (n ? 1)2n ?1 = (3 ? n)2n?1 例 12.已知数列 ?an ?，a1 ? 1， 且其前 n 项和 sn 满足 sn ? 2an ? (?1) n , n ? 2 ， 求 ?an ?的 通项公式。 解： an = sn ? sn ?1 = 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) n 可得

an = 2an?1 ? 2 ? (?1) n
7

= 2an?1 ? 2 ? (?1) n?1 = 2[2an?2 ? 2 ? (?1)n?2 ] ? 2 ? (?1)n?1 = 22 an?2 ? 22 ? (?1)n?2 ? 2 ? (?1)n?1 = 22[2an?3 ? 2 ? (?1)n?3 ] ? 22 ? (?1)n?2 ? 2 ? (?1)n?1 = 23 an?3 ? 23 ? (?1)n?3 ? 22 ? (?1)n?2 ? 2 ? (?1)n?1 = ?? = 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ? 2n?3 ? (?1)3 ? ? ? 22 ? (?1)n?2 ? 2 ? (?1)n?1 =
2 ? (?1) n ?1[1 ? (?2) n ? 2 ] 1 ? ( ?2 )

2 = [(?1) n?1 ? 2n?2 ] 3 运用迭代法解题时，一般情况下数据繁多，容易出错，要根据已知条件逐一 求出每一项，并通过发现其中一定的规律，简化计算，再求出通项公式，避免出 错。

·3.7 转化构造法

2

2an?1 n n?1 解：两边取对数得： loga ? 1 ? 2 loga 2 ? log2 2
n n?1 loa g ? 1 ? 2(1 ? 2 l o a g ) 2 2

2

n 设 d n ? loga 2 ? 1 ，则 d n ? 2d n ?1

?dn ? 是以 2 为公比的等比数列
1 d1 ? l o a g ?1 ? 2 2

d n ? d1q n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n
n loa g ? 1 ? 2n 2

an ? 22
·3.72 倒数法

n

?1

8

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1 a ， an?1 ? n ，求数列 ?an ?的通项公式。 2 an ? 2

1 2 ? 1? an ?1 an

1 1 ? 1 ? 2(1 ? ) an ?1 an

1 ，则 cn ? 2cn ?1 an

?cn ?是以 2 为公比的等比数列
c1 ? 1 ? 1 ? 3 ， cn ? c1q n?1 ? 3? 2n?1 ， a1 1 ? 3 ? 2n?1 an

1?

an ?

1 3 ? 2n?1 ? 1

·3.73 ?5? 待定系数法（或参数法）
2 2 例 15.已知在正项数列 ?an ?中， a1 ? 2 ， an an ?的通项公式。 ?1 ? 3an ? 4 ，求数列 ?

2 2 an ?1 ? x ? 3(an ? x) ， 2 2 an ?1 ? 3an ? 4 知 x ? 2 2 2 an ?1 ? 2 ? 3(an ? 2) 2 bn ? an ?2

bn?1 ? 3 ， b1 ? a12 ? 2 ? 6 bn

?bn ?是以 6 为首项，3 为公比的等比数列
bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n

2 an ? 2 ? 2 ? 3n

an ? 0 ，
9

an ? 2 ? 3n ? 2

·3.8 归纳猜想法

4 ， n ? 2 ，求 an 。 an ?1

4 1

a2 ? 4 ? a3 ? 4 ?
a4 ? 4 ?

4 ? 4 ?1 ? 3 a1 4 4 8 ? 4? ? a2 3 3
4 3 5 10 ? 4? ? ? a3 2 2 4

a5 ? 4 ?

4 8 12 ? 4? ? a4 5 5

2n ? 2 n 下面用数学归纳法证明这个结论： 2 ?1 ? 2 （1）当 n ? 1 时， a1 ? ? 4 成立； 1 2k ? 2 （2）假设当 n ? k 时， ak ? 成立， k

4 4k 4k ? 4 ? 2k 2(k ? 1) ? 2 ? 4? ? ? ak 2k ? 2 k ?1 k ?1

10

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17. 已 知 数 列

?an ?

(sn ?1)2 ? an (sn ?1) ? an ? 0, n ? N ? ，求 an 。

1 6 1 ； 2

1 1 ? 2 1?1 3 3 由?知 s3 ? ? 4 3 ?1 s1 ? a1 ?
（1）当 n ? 1 时， s1 ?

2 2 ? 3 2 ?1 n 从而猜想 sn ? n ?1 s2 ? a1 ? a2 ?

1 成立； 2 k （2）假设当 n ? k 时， sk ? 成立， k ?1

1 k ?1 (k ? 1) ， ? ? 2 ? sk k ? 2 (k ? 1) ? 1

1 也成立， 2

n ,n? N? ， n ?1

n n ?1 1 ， ? ? n ?1 n n(n ? 1)

? an ?

1 ， n? N? 。 n(n ? 1)

11

·3.9 三角代换法

an?1 ? t a ? n，
1 ? an ?1 ，求 an 。 1 ? an ?1

t a n ?t a? n ? 4 an ? ? t a n (? ? ) ? 4 1? t a n ? t a ? n 4
a1 ? tan? ， ? ? arctan3

?

(n ? 1)? ? arctan 3] 4
2 , (n ? N ? ) ，求 an 。 2 ? an

?

, k n? ? ), k n ? Z 2 2

?

?

tan? n?1 ? 1 ? 2 2 ? (tan? n ? 1)

2 ?1 1 ? tan ? n

= 则

1 ? tan ? n ? ? tan( ? ? n ) 1 ? tan ? n 4

? n ?1 ? ln? ?

?
4

? ? n , ln ? Z , n ? N ?

? ? n ? ln ?1? ? ? ??

?
4

? ? n ?1 (n ? 1)? ? ?1 , n ? N ? 4

? (ln ?1 ? ? ? l1 )? ?

(n ? 1)? 由?得 an ? tan[ ? ?1 ] ? 1 4

?

a1 ? 2 ? t a n ?1 ? 1
12

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8 (n ? 1)? ? 故 an ? t a n [ ? ] ?1 4 8 解决此类问题的关键在于把已知问题转换为三角函数来求数列的通项公式， 要求对三角函数的相关知识及性质有较深的理解及掌握。

t a? n1 ? 2 ?1 得 ?1 ?

?

·3.10 ?1? 特征方程法

?2 ? 4? ? 1 ? 0 ，解得特征根是

?1 ? 2 ? 3

?2 ? 2 ? 3

?an ? c1 ? (2 ? 3)n ? c2 ? (2 ? 3)n

1 1 ? ?1 ? c1 ? (2 ? 3 ) ? c2 ? (2 ? 3 ) ? 2 2 ? ?1 ? c1 ? (2 ? 3 ) ? c2 ? (2 ? 3 )

9?5 3 6

c2 ?

9?5 3 6

? an ?

9?5 3 9?5 3 ? (2 ? 3 ) n ? ? (2 ? 3 ) n 6 6

4?2 ? 4? ? 1 ? 0 ，解得特征根是

?1 ? ?2 ?

1 2

1 ? an ? (c1 ? c2 n) ? ( ) n 2

13

1 ? 3 ? (c1 ? c2 ) ? ? ? 2 ? ? 4 ? ( c ? 2c ) ? ( 1 ) 2 1 2 ? 2 ?

c1 ? ?4

c2 ? 10

1 ? an ? (?4 ? 10n) ? ( ) n 2 解此类题的关键是构造特征方程，根据特征方程求出特征根，再由已知项确

·3.11 ?6? 奇偶分类法

a2k ?3 ? a2k ? 2 ? 3k ?1 知 a2k ?1 ? a2k ? 3k a2k ?2 ? a2k ?1 ? (?1) k ?1 知 a2k ? a2k ?1 ? (?1) k a2k ?1 ? a2k ?1 ? 3k ? (?1) k

a2k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? ? ? (a2k ?1 ? a2k ?3 ) ? (a2k ?1 ? a2k ?1 )

? 1 ? 31 ? (?1)1 ? 32 ? (?1)2 ? ? ? 3k ?1 ? (?1)k ?1 ? 3k ? (?1)k ? (?1)0 ? (?1)1 ? (?1)2 ? ? ? (?1)k ? 31 ? 32 ? ? ? 3k

?

?1 ? (?1) ? ? 3(3
k ?1

k

2

?1) 2

?

3k ?1 (?1)k ?1 ? ?1 2 2

a2k ?2 ? a2k ?1 ? (?1) k ?1

3k ?1 ? (?1) k ?1 ? ?1 2

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n ?1 2 n ?1 2

an ?

3

? (?1) 2
n

?1

3 2 ? (?1) 2 ?1 当 n ? 2k ? 2 时， an ? 2

n

1 例 23.（05 江西高考文）已知数列 ?an ?的前 n 项和 sn 满足 sn ? sn?2 ? 3 ? (? ) n?1 ， 2 3 (n ? 3) ，且 s1 ? 1, s2 ? ? ，求 ?an ?的通项公式。 2 解：先考虑偶数项有： 1 1 s2 n ? s2 n ?2 ? 3 ? (? ) 2 n ?1 ? ?3 ? ( ) 2 n ?1 2 2 1 1 s2 n ? 2 ? s2 n ? 4 ? 3 ? (? ) 2 n ?3 ? ?3 ? ( ) 2 n ?3 2 2
?? ?

1 1 s4 ? s2 ? 3 ? (? ) 3 ? ?3 ? ( ) 3 2 2 1 1 1 ? s2 n ? s2 ? 3 ? [( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( ) 3 ] 2 2 2 1 2 n ?1 1 2 n ?3 1 3 1 ? ?3[( ) ?( ) ?? ? ( ) ? ] 2 2 2 2 1 1 1 n ? ?( ) 2 2 4 ? ?2 ? ( 1 ) 2 n ?1 ， (n ? 1) ? ?3 ? 1 2 1? 4 再考虑奇数项有： 1 1 s2 n ?1 ? s2 n ?1 ? 3 ? (? ) 2 n ? 3 ? ( ) 2 n 2 2 1 2n?2 1 s2 n ?1 ? s2 n ?3 ? 3 ? (? ) ? 3 ? ( ) 2n?2 2 2
?? ?

1 1 s3 ? s1 ? 3 ? (? ) 2 ? 3 ? ( ) 2 2 2 1 1 1 ? s2 n ?1 ? s1 ? 3 ? [( ) 2 n ? ( ) 2 n ? 2 ? ? ? ( ) 2 ] 2 2 2 1 ? 2 ? ( ) 2n ， (n ? 1) 2 1 1 1 ? a2 n ?1 ? s2 n ?1 ? s2 n ? 2 ? ( ) 2 n ? [?2 ? ( ) 2 n ?1 ] ? 4 ? 3 ? ( ) 2 n ， (n ? 1) 2 2 2 1 2 n ?1 1 2( n ?1) 1 ? a2 n ? s2 n ? s2 n ?1 ? 2 ? ( ) ? [2 ? ( ) ] ? ?4 ? 3 ? ( ) 2 n ?1 ， (n ? 1) 2 2 2

15

1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?1 , n为奇数 ? ? 2 综上可得 an ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数 ? 2 ?

4 ?5? 一阶线性递推数列

·4.1 同除法

an a d ，则 b1 ? ， bn ? bn?1 ? n ， n c c c
1 1 1 ? n ?1 ? ? ? 2 ) ， n c c c

an an?1 d ? ? ， c n c n?1 c n

d (c n ?1 ? 1) a ? (c ? 1)c n c

d ? (c n ?1 ? 1) d d ? acn ?1 ? (a ? ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1 c ?1

·4.2 构造法

d d ? (a ? )c n?1 c ?1 c ?1

?an ? can?1 ? d d d d 比较 ? 知m ? ，即 an ? ? c(an?1 ? )， c ?1 c ?1 c ?1 ?an ? can?1 ? cm ? m

d d ，则 b1 ? a ? ， bn ? cbn?1 ， c ?1 c ?1 d 因此数列 ?bn ?是以 b1 ? a ? 为首项， c 为公比的等比数列。 c ?1 d ? bn ? b1c n ?1 ? (a ? )c n ?1 c ?1 d d 则 an ? (a ? 。 )c n?1 ? c ?1 c ?1

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·4.3 不动点法
d ， 1? c d d d ? ca n ?1 ? d ? ? c(an ?1 ? )， 则 an ? can?1 ? d 可以转化为 an ? 1? c 1? c 1? c d d 上式等价于 an ? ? c(an?1 ? ) c ?1 c ?1 d d 令 bn ? an ? ，则 b1 ? a ? ， bn ? cbn?1 ， c ?1 c ?1 d 因此数列 ?bn ?是以 b1 ? a ? 为首项， c 为公比的等比数列。 c ?1 d ? bn ? b1c n ?1 ? (a ? )c n ?1 c ?1 d d 则 an ? (a ? )c n?1 ? c ?1 c ?1

·4.4 升降下标作差法

d1 ? a2 ? a1 ? ca ? d ? a

an ? a1 ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? (c n?2 ? c n?3 ? ? ? c 2 ? c ? 1)(ca ? d ? a)
1 ? c n ?1 ? (ca ? d ? a )( ) 1? c

1 ? c n?1 ? an ? (ca ? d ? a)( )?a 1? c
? (a ? d d )c n ?1 ? c ?1 c ?1

17

·4.5 待定系数法
(c ? 0, c ? 1, d ? 0) ， 从以上四种解法得出的结果看， 若数列 ?a n ? 满足 an ? can?1 ? d ，
a1 ? a ，则它的通项公式就是 an ? Acn?1 ? B 型

?a1 ? A ? B ? a ? ?a2 ? Ac ? B ? ca ? d
? an ? ( a ?

d ? A ? a ? ? ? c ?1 ?? ?B ? ? d ? c ?1 ?

d d )c n ?1 ? c ?1 c ?1

5 二阶线性递推数列 ·5.1 ?1 1? 二阶线性齐次递推数列 an?2 ? pan?1 ? qan ， ( p, q ? 0) 且都为常数， 已知 a1 ， a2 的通项公式推导方法。

n?2 ? ?an ? Aan ?1 ? B (a2 ? Aa1 ) ·如果 A ? B ,则由?得 ? n?2 ? ?an ? Ban ?1 ? A (a2 ? Ba1 )

?，

a2 ( B n ?1 ? An ?1 ) ? ABa1 ( An ?2 ? B n ?2 ) B? A

·如果 A ? B ,则由?得 an ? Aan?1 ? An?2 (a2 ? Aa1 ) ， n ? N ? （否则 q ? 0 ） ，则给等式两边同时除以 An ，得 ?A ? 0，

an an?1 a2 ? Aa1 ，n? N? ? n?1 ? n 2 A A A
a a ? Aa ?a ? 则数列 ? nn ? 是以 1 为首项， 2 2 1 为公差的等差数列 A A ?A ?

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an a1 a ? Aa ? ? (n ?1) 2 2 1 ， n ? N ? n A A A

?an ? (n ?1)a2 An?2 ? (n ? 2)a1 An?1

an?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? 3n?1 ? 3n
an ? a1 ? 3 ? 32 ? ? 3n ?1 ? 3n 3 ? 2 2

? an ?

3n 3 3n ? 1 ? ?1 ? 2 2 2

·5.2 ?1 1? 二阶线性非齐次递推数列 an?1 ? pan ? qan?1 ? k ，( p, q, k ? 0) 且都为 常数，已知 a1 ， a2 的通项公式推导方法。

an?1 ? pan ? qan?1 ? k an ? pan ?1 ? qan ?2 ? k

? ?

?-?= an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? q(an?1 ? an?2 ) 则数列 ?an ? an ?1?为二阶线性齐次递推数列 令
bn ? an ? an?1 ，即 bn?1 ? pbn ? qbn?1 ?

d n ? 3 ? 2n?1 ?1

an ? an?1 ? 3 ? 2n?2 ?1

19

an?1 ? an?2 ? 3 ? 2n?3 ?1
??

a2 ? a1 ? 3 ? 20 ? 1 ，

an ? a1 ? 3(20 ? 2 ??? 2n?2 ) ? n ?1 ? 3 ? 2n?1 ? n ? 2

? an ? 3 ? 2n?1 ? n ? 1

6 k 阶线性递推数列

?1 ?

?an ?从第k项以后任一项是前 若数列 k项的线性组合，即
an?k ? c1an?k ?1 ? c2 an?k ?2 ? ? ? ck an ，

?

x k ? c1 x k ?1 ? c2 x k ?2 ? ? ? ck ( c k ? 0 ) ?

·6.1 特征方程法

n n 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? c1 x1n ? c2 x2 ，其中 c1 , c2 ,?, ck 是如下线性方 ? ? ? ck xk

?c1 x1 ? c2 x2 ? ? ? ck xk ? a1 , ? 2 2 2 ?c1 x1 ? c2 x2 ? ? ? ck xk ? a2 , 程组的惟一解： ? ??????????? ?c x k ? c x k ? ? ? c x k ? a 2 2 k k k. ?1 1

?2 ? 6? ? 8 ，得 ?1 ? 2, ?2 ? 4 ，

? an ? c1 ? 2n ? c2 ? 4n ，

?2c ? 4c2 ? 3 1 5 代入初始值得 ? 1 得 c2 ? ， c1 ? ， 8 4 ?4c1 ? 16c2 ? 7
? an ? 5 n 1 n ? 2 ? ? 4 ? 5 ? 2 n ? 2 ? 2 2 n ?3 4 8 若特征方程?有 k 重根 ? ，则对应递推方程?所确定的数列的通项公式

k ?1 n 为 an ? (c1 ? c2n ??? ck n )? ， c1 , c2 ,?, ck 是 如 下 线 性 方 程 组 的 惟 一 解 ：

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?(c1 ? c2 ? ? ? ck )? ? a1 , ? k ?1 2 ?(c1 ? 2c2 ? ? ? 2 ck )? ? a2 , ? ???????????? ?(c ? kc ? ? ? k k ?1c )?k ? a . 2 k k ? 1

1 ? c1 ? ? ?4c ? 4c2 ? 3 ? 2 其中 c1 , c2 满足方程组 ? 1 ?? 16 c ? 32 c ? 16 2 ? 1 ?c ? 1 2 ? 4 ?
1 1 ? an ? ( ? n) ? 4 n ? (2 ? n) ? 4 n ?1 2 4

(k1 ? k2 ? ? ? ks ? k ) ，则对应递推方程?所确定的数列的通项公式为

an ? ? (cl1 ? cl 2 n ? ? ? clkl n kl ?1 )?ln ，其中 cl1 , cl 2 ,?, clkl (l ? 1,2,?, s) 是在上面通项公
l ?1

s

n ? N ? ，求 a n 。

?2c11 ? 2c12 ? c21 ? 1 ?c11 ? 2 ? ? 其中 c11 , c12 , c21 满足方程组 ?4c11 ? 8c12 ? c21 ? ?7 ? ?c12 ? ?2 ?8c ? 24c ? c ? ?31 ?c ? 1 12 21 ? 11 ? 21

?an ? (2 ? 2n) ? 2n ? 1?1n ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 1

21

·6.2 ?8? 矩阵法

? an ? k ?1 ? ? c1 c2 ? ? ? ? an ? k ? 2 ? ? 1 0 ?a ???0 1 ? n ? k ?3 ? ? ? ? ? ?? ? ? a ? ? ? n ? ?0 0
? c1 c2 ? ?1 0 若令 A ? ? 0 1 ? ?? ? ?0 0 ?

? ck ? 0 ? 0 ? ? 1

ck ?1 ?? an ? k ?2 ? ? c1 c2 ? ?? ? 0 ?? an ? k ?3 ? ?1 0 ? ? ? 0 an ? k ? 4 ? ? ? ? 0 1 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? a ? ? ?0 0 0 ?? n ?1 ? ?

? ck ? 0 ? 0 ? ? 1

ck ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? 0 ? ?

n

? ak ?1 ? ? ? ? ak ? 2 ? ?a ? ? k ?3 ? ? ? ? ? a ? ? 0 ?

? ck ? 0 ? ? 0 ? 1

ck ?1 ? ? 0 ? 的求解转化为对矩阵 0 ? ，则 对于递推数列通项公式 ? ? ? 0 ? ?

A 的 n 次幂的 求解 ，而 利用矩阵理论可以 解决此问题 ?9? 。

T st

h1 , h2 ,?, hk ，则必 ? 某一可逆矩阵

? h1 ? ? ? ? ? ?

h2

? ? ? ? T ?1 AT , ? ? ? hk ? ? h2 ? ? ? ?1 ?T ? ? hk ? ?
n

? h1 ? ? A ? T? ? ? ?

? h1n ? h1 ? ? ? ? h2 ? ? ? ?1 n A ? T? T ? T? ? ? ? ? ? ? ? ? h k ? ? ?
? ak ?1 ? ? ? ? ? ? ak ? 2 ? ? ?1 ? ? ?T ? ak ?3 ? ? ? ? ? ? hkn ? ? ? a ? ? 0 ?

h

n 2

? ? ? ?1 ?T ? ? hkn ? ?

? an ? k ?1 ? ? ? ? h1n ? a ? n? k ?2 ? ? 从而有 ? an ? k ?3 ? ? T ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? n ? ?

n h2

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n ? N ? ，求 a n 。

?1 9 ? 9? ? ? A ? ? 1 0 0 ? ， ? ?E ? A ? ?3 ? ?2 ? 9? ? 9 的 根 为 ?1 ? 1 ， ? 2 ? 3 ， ?0 1 0 ? ? ?

?3 ? ?3 ，且 ?1 ， ?2 ， ? 3 互异，则必 ? 某一可逆矩阵 T st
?1 0 0 ? ? ? T ?1 AT ? ? 0 3 0 ? ， ? 0 0 ? 3? ? ?

?1n ?1 0 0 ? ? ? ? A ? T ? 0 3 0 ?T ?1 ， An ? T ? 0 ?0 ? 0 0 ? 3? ? ? ? ， 0 3n 0 0 ? ? 0 ?T ?1 ?? 3?n ? ?

? ? ?1 T ? ?1 ? ? ?1 ?

? 1 ? ?? ? 1 1 ? ? 8 3 1 1? ? ， T ?1 ? ? ? 4 3 3? ? 3 1 1 ? ? ? 9 9 ? ? 8

0 3 2 3 ? 2

9 ? ? 8 ? 9 ? ?， 4? 9 ? ? 8 ?

? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? ? ? ?1 ? ?? 1? ?3n ?1 ? ? ? ? an ? 3 ? ? 2? ? 4 ? 4 ? ? ? ? ? 1 ? 1 n n? n ? ? an ? 2 ? ? A ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? (?1) ?3 ? ， 4 ? 4 ? ?a ? ?0? ? ? ? n ?1 ? ? ? ? 1 ? 1 n ?1 ? n ?1 ? ? ? 4 ? ?1 ? 4 (?1) ?3 ? ? ? ? ?

1 ? 1 n ?1 ? an?3 ? ? ? ?1 ? ?? 1? ?3n?1 ， 4 ? 4 ?

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1 ? 1 n?2 ? a n ? ? ? ?1 ? ?? 1? ?3n?2 ． 4 ? 4 ?

·6.3 ?9? 积分法

f ( x) ，根据已知条件 a1 ， a 2 ，即 f (1) ， f (2) 的值列出方程组， 然后 根据方程组

? x ? 1? ，则有 f (1) ? a1 ? 1 ，且
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? x ? y

?x, y ? 1? ，

f ??x ? y ? ? f ?( x) ? 1 ．

1 ? ? f ?(1) ? ? c ? 1 ? 2 ? ? 2 f ( 1 ) ? c?4 ?
5 ? ' ? f (1) ? ?? 2 ? c ? ? 1 ?

f ( x) ? 5 1 1 3 x ? x2 ? x ?1 ? x2 ? x ?1． 2 2 2 2 1 3 an ? n 2 ? n ? 1 ． 2 2

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2.6.1数列通项公式的几种方法
2.6.1数列通项公式的几种方法 - 高二数学备课组 主备人: 审核人: 上午(下午) 节 数列通项公式的几种求法 学习目标: 1. 能根据递推公式求出数列中的项...

[高考数学]数列通项公式推导(超级详细)