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数列通项公式的几种推导方法



学校代码 分 类 号

10722

学号 密级

0906014235 公 开

本科毕业论文(设计)
题目:数列通项公式的几种推导方法 英文:Methods of deriving the number listed general term formula

作 者

姓 名 专 业 名 称 学 科 门 类 指 导 老 师 提交论文时间 成绩等级评定







数学与应用数学 数 侯 衍 学 芬

二〇一三年四月

2013 届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

数列通项公式的几种推导方法
武妮妮 (咸阳师范学院 数学与信息科学学院 陕西 咸阳 712000)

摘 要
对数列通项公式的探索与求解是数列中的典型问题, 在高考中非常容易考出 来,有的时候以小题(填空或选择)的形式出现,但绝大多数情况下是在大题中 设一问求解数列通项。 数列通项公式是数列问题的核心,是我们分析数列性质 的重要依据, 也是学好数列知识的关键。其实总体来说,所有的数列问题在大 部分情况下, 就相当于是求它的通项公式, 尤其是那些难度系数较大的数列问题, 数列通项公式的探求往往是解数列的关键。本文主要从一般递推数列、一阶递推 数列、二阶线性齐次、非齐次递推数列、 k 阶递推数列这几方面来探讨、研究它 的通项公式的推导方法。 论文研究的最终结果是熟练掌握数列通项公式的几种一 般推导方法及了解一阶、二阶、 k 阶线性递推数列的通项公式的常用推导方法, 通过参考大量文献,下面就“数列通项公式的推导方法”这一问题作一阐述。

关键词:数列;

通项公式; 等差数列; 等比数列

I

数列通项公式的几种推导方法

Methods of deriving the number listed genera term formula
Wu Nini
(School of Mathematics and Information Science, Xianyang Normal University, Xianyang Shanxi, 712000)

Abstract
Explore with formula exploration and solving typical problems in the series,is very easy to test out in the clooege entrance

examination,sometimes a small problem (fill in the blank or select)the form,but the vast majority of cases is in the big issue or set up a asked for solving series, are presented in Tables the general term of. In fact,in general,all series of problems in most cases,it is equivalent to find its general term formula,especially those that difficulty factor

series,series general term formula of the quest is often the key to the stops out. This article is mainly from the general recursive series, the first order recursive series, the second order linear recurrence sequence, the second order nonlinear recursive series, k order recursive series of these aspects to explore,study the derivation of the general term formulamethods. The final results of the thesis is the master formula sequence with several general derivation method and understanding of the first order, second order,k order linear recurrence series of general term formula commonly used derivation method, by reference to the large number of documents,the following “seriesthe derivation of the general term formula”makes an elaboration.

Keywords:
Geometric sequence.

Series;General

term

formula;Arithmetic

series;

II

2013 届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

目录 摘要................................................................................................................................. I Abstract .......................................................................................................................... II 目录............................................................................................................................... III 1.引言 ............................................................................................................................ 1 2.数列及其通项公式的概念 ........................................................................................ 1 3.一般数列通项公式的几种推导方法 ........................................................................ 2 · 3.1.观察法 ............................................................................................................. 2 · 3.2.定义法 ............................................................................................................. 3 · 3.3.公式法 ............................................................................................................. 4 · 3.4 累加求和法 ..................................................................................................... 5 · 3.5 累乘求积法 ..................................................................................................... 5 · 3.6 迭代法 ............................................................................................................. 7 · 3.7 转化构造法 ..................................................................................................... 8 · 3.8 归纳猜想法 ................................................................................................... 10 · 3.9 三角代换法 ................................................................................................... 12 · 3.10 特征方程法 ................................................................................................. 13 · 3.11 奇偶分类法 ................................................................................................. 14 4.一阶线性递推数列 .................................................................................................. 16 · 4.1 同除法 ........................................................................................................... 16 · 4.2 构造法 ........................................................................................................... 16 · 4.3 不动点法 ....................................................................................................... 17 · 4.4 升降下标作差法 ........................................................................................... 17 · 4.5 待定系数法 ................................................................................................... 18 5.二阶线性递推数列 .................................................................................................. 18 6. k 阶线性递推数列 ................................................................................................... 20 全文总结...................................................................................................................... 25 参考文献...................................................................................................................... 26 谢 辞.......................................................................................................................... 26

III

2013 届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

1 引言
数列是高中数学的重要内容,处于核心地位,并且含有 主要 的数学思想方 法和技巧,与数、式、三角、方程、不等式等有着非常密切的联系,在每年的高 考中占有很大的比例,主要是对数列的求和以及不等式、函数等问题进行考查, 有很强的综合性。 数列通项公式是数列问题的核心, 表述了数列的本质, 是我们分析数列性 质的重要依据, 也是学好数列知识的关键, 是给出数列的一种重要方法。数列 通项公式具有两方面的功能,其一, 可以 根据它的通项公式判断一个数是不是 数列的项以及是第几项等问题; 其二,可以通过数列通项公式求出数列中任意一 项。 弄明白数列项与项之间的内在关系才能有利于我们理解并掌握数列问题,数 列的通项公式表明了第 n 项与项的序号 n 的 关系 。能更好的理解数列通项的算 法,不仅 对培养学生的数学思维能力、研究能力、创新能力十分有益,而且有 助于学生理解数列与函数、方程、不等式的关系,促进学生对数列知识的进一步 掌握,提高学生对数学的学习兴趣。 本文在前人总结的基础上, 系统的整理数列通项公式的推导方法。大量的文 献与期刊为本文提供了写作背景及依据。

2 数列及其通项公式的概念
·定义 2.1[12] (数列) 按一定次序排成的一列数叫做数列. 数列的一般形式可以写成 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?. 其中 an 是数列的第 n 项. ·定义 2.2[12] (通项公式) 如果数列{ an }的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用 一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ·定义 2.3[12] (等差数列) 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差 数列的公差,公差通常用字母 d 表示. ·定义 2.4[12] (等比数列) 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的
1

数列通项公式的几种推导方法

前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比 数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q ? 0). ·定义 2.5[5] (一阶线性递推数列) 是指 xn ?1 =f( xn )其中 f 是一个线性函数, 例如, xn ?1 =a xn +b.

3 一般数列通项公式的几种推导方法 ·3.1 观察法
通常是观察数列前后之间的关系分析其前几项的构成规律, 写出数列的一个通项 公式。 例 1.已知数列
13 17 21 3 5 5 ,? , ,? , , ? ,? . 写出此数列的一个 8 16 32 4 64 2

通项公式。 解:观察数列前几项可发现:各项都是分数形式,并且各项的绝对值的分母 是首期为 2,公比为 2 的等比数列;每一项绝对值的分子中的根式内被开方的数 是首项为 5,公差为 4 的等差数列;奇数项为正,偶数项为负,.由此可知,所求 数列是由数列 cn ? ? ?1? 所以数列通项公式为
n?1

与数列 d n ?

4n ? 1 乘积构成的。 2n

an ? ? ?1?

n ?1

?

4n ? 1 . 2n

1 4 3 16 例 2.已知数列 1 , 2 , 3 , 4 , ? .写出此数列的一个通项公式。 7 4 19 4
解: 数列的前若干项特征是: 各项是代分数形式,其中 代数是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列;后边的分数 分子 是它项数的平方,分母比它的分子多 3, 即 分 母是它项数的平 方 加 3 。由此可知, 所求数列是由数列 cn ? n 与数列

dn ?

n2 的和构成的。 n2 ? 3

所以数列通项公式为

an ? n+

n2 . n2 ? 3
可以从整体到局

观察法是观察所给的各项与项的序号之间的函数关系规律。
2

2013 届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

部观察,如果有正、负项交替出现,则用 (?1)n?1 或 (?1) n 来体现数列的变化。另 外,我们还应该熟悉一些常见的数列通项公式,如 ?2n ? 1?, ?2 n ?等。

·3.2.定义法
是指直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法。 例 3[5] (2011 浙江理)已知等差数列{ an }的首项 a1 为 a ( a ? R ) ,且公差不为 0,且

1 1 1 , , 成等比数列,求数列{ an }的通项公式。 a1 a2 a4 1 1 1 , , 成等比数列得 a1 a2 a4

解:设等差数列{ an }的公差为 d,由
?1? 1 1 2 ? ?a ? ? ? a ? a ,即 ?a1 ? d ? ? a1 ? ?a1 ? 3d ? , 1 4 ? 2?
2

得 a1d ? d 2 ,因为 d ? 0 ,所以 d ? a1 ? a 所以 an = a1 ? (n ?1) ? d = a ? (n ? 1) ? a = na 例 4[5] ( 2011 江 西 理 ) 已 知 两 个 等 比 数 列 ?an ? , ?bn ? 满 足 a1 ? a? a? 0 ? ,

b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 ,若 a ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式.
解:设 ?an ? 的公比为 q , 则 b1 ? 1 ? a ? 2 , b2 ? 2 ? aq ? 2 ? q, b3 ? 3 ? aq2 ? 3 ? q2 . 由 b1 , b2 , b3 成等比数列, 得 即 解得

?2 ? q?

2

? 2? 3 ? q2 ?

q 2 ? 4q ? 2? 0 ,

q1 ? 2 ? 2, q2 ? 2 ? 2,

所以 ?an ? 的通项公式为

an ? (2 ? 2)n?1 或 an ? (2 ? 2) .
定义法求数列通项公式, 要特别注意弄清等差数列、等比数列这两种数列的 定义,并想办法通过建立等价关系求出首项 a1 与公差 d 或公比 q ,便可得通项公
3

n?1

数列通项公式的几种推导方法

式。

·3.3.公式法
利用数列前 n 项的和求数列的通项公式,若已知数列的前 n 项和为 sn ,则 数列的
?s1 (n ? 1) an ? ? 通项公式 an 与 sn 有如下关系: ?sn ? sn ?1 (n ? 2) .

例 5.已知数列 ?an ?的前 n 项和 sn 满足 log3 解: sn ? 3n ? 1 当 n ? 1 时, a1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 此时 所以
a1 ? 2 ? 2 ? 31?1

( sn ?1)

? n ,求此数列的通项公式。

an ? 2 ? 3n ?1

为所求数列的通项公式。

例 6.已知数列 ?an ?中, an ? 0 ,且 4sn ? 2an ?
4sn ? 2sn ? 2sn ?1 ?
2 2

n ,求数列 ?an ?的通项公式。 an

解:由已知得 化简后得 则有

n , sn ? sn ?1

2 sn ? sn?1 ? n ,即

?

?

sn ? sn?1 ?

2

2

n 2

2 3 n 2 2 sn ? s1 ? ? ? ? ? , 2 2 2


n ? 1 时, s1 ? a1
2 n ? 2 时, sn ?

a1 ?

2 2 1 , s1 ? 2 2,

n?n ? 1? n?n ? 1? ,又 an ? 0 , sn ? , 4 2



an ?

n?n ? 1? ? n?n ? 1? . 2

运用公式法求数列通项公式时, 要分成 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进行计算, 再验证 a1 是否 满足 n ? 2 时的通项公式。如果满足,则统一表达为 n ? 2 时的通项 公式的形式 ,如果不满足,则应该以 分段 形式来表示通项公式。

4

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·3.4 累加求和法
形如 an?1 ? an ? f (n) 的数列通项公式, 依次令 n 为 (n ? 1), (n ? 2),? ,3,2,1, 通过累加, 得 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) , 再通过求和把数列的通项公式求出来。 例 7.已知数列 ?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? an ?

2 4n ? 1
2

,求 ?an ?的通项公式。

1 ? ? 1 解:由已知得, an?1 ? an ? ? ? ?, ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

令 n ? 1,2,? , (n ? 1), 代入 (n ?1) 个等式累加,即
1 1 1 1 1 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 1 ? an ? a1 ? 1 ? 2n ? 1 4n ? 3 ? an ? 2n ? 1

例 8.已知数列 ?an ?中, a1 ? ?3, an?1 ? an ? 3n ,求 ?an ?的通项公式。 解:由已知得
an?1 ? an ? 3n ,

令 n ? 1,2,? , (n ? 1), 代入 (n ?1) 个等式累加,即
(a2 ? ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) ? 3 ? [1 ? 2 ? 3 ? ? (n ? 1)] ? 3 ? n(n ? 1) 2

? an ? a1 ? 3 ?
? an ? 3 ?

n(n ? 1) 2

n(n ? 1) ?3 2 (n ? 1)(n ? 2) ? 3? 2
累加求和法主要是通过 反复利用所给递推关系 得到n ? 1个式子 , 并 且 将 这

n ? 1个式子累加后求出通项 公式 , ? f (n)?的前n ?1项的和, 此法 最终转化为求数列

这里 要求熟练掌握并应用各种数列 求和 的方法与技巧。

·3.5 累乘求积法

5

数列通项公式的几种推导方法

形如

an?1 依次令 n 为 (n ? 1), (n ? 2),? ,3,2,1, 通过 累乘 , 得 ? f (n)的数列通项公式, an

a a a2 a3 ? ??? n?1 ? n ? f (1) ? f (2) ??? f (n ? 2) ? f (n ? 1) , 再 通 过 求 积 求 出 a1 a2 an?2 an?1
数列的通项公 。式
2 ? 例 9.设 ?an ?是首项为 2 的正项数列,且 (n ?1)an?1 ? nan?1an ? 0, n ? N ,求 an 。

解:已知等式可化为: an?1[(n ? 1)an?1 ? nan ] ? 0
? an ? 0

? (n ? 1)an?1 ? nan ? 0


an?1 n ? an n ?1 an n ?1 ? an?1 n

?n ? 2 时,

a a a2 a3 1 2 n ? 2 n ?1 ? ??? n?1 ? n ? ? ??? ? a1 a2 an ?2 an?1 2 3 n ?1 n



an 1 ? a1 n

an ?


1 2 a1 ? n n
10.(2004 全 国 理 ) 已 知 数 列

?an ?





a1 ? 1



an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1, (n ? 2), 求 an 。
解:由已知,得 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan 用此式减去已知式,得 当 n ? 2 时, an ?1 ? an ? nan 即

an?1 ? n ? 1 ,又 a2 ? a1 ? 1 an
a a a2 a ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,?, n ? n ? 1, a1 a2 a3 an?1
6

? a1 ? 1,

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将以上 n 个式子相乘, n! 得 an ? (0 ? 2) 2
累乘求积 法主要通过循环 利用递推关系得到 n ? 1个式子,并将这 n ?1 个式

子 累乘后求出通项公式。 此法最终转化为求数列 ?f (n)?的前 n ?1 的积,这里也要 求熟练掌握并应用各种数列求和的方法与技巧。

·3.6 迭代法
如 果 数 列 ?an ? 满 足 an ? f (an ?1 ) , 可 循 环 利 用 递 推 关 系 得 an ? f (an?1 ) ,
an ?1 ? f (an ?2 ) , an ?2 ? f (an ?3 ) , ?, a2 ? f (a1 ) ,并通过逐项 迭代 的方法求出
通项公式。

例 11.已知数列 ?an ?, an ? 2an?1 ? 2n?1 , a1 ? 4 ,求 an 。 解: an = 2an?1 ? 2n?1 = 2(2an?2 ? 2n?2 ) ? 2n?1 = 22 an?2 ? 2n?1 ? 2n?1 = 22 (2an?3 ? 2n?3 ) ? 2n?1 ? 2n?1 = 23 an?3 ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2n?1 = ?? =2
n ?1

a1 ? (n ? 1)2n?1

= 2n ?1 ? (n ? 1)2n ?1 = (3 ? n)2n?1 例 12.已知数列 ?an ?,a1 ? 1, 且其前 n 项和 sn 满足 sn ? 2an ? (?1) n , n ? 2 , 求 ?an ?的 通项公式。 解: an = sn ? sn ?1 = 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) n 可得

an = 2an?1 ? 2 ? (?1) n
7

数列通项公式的几种推导方法

= 2an?1 ? 2 ? (?1) n?1 = 2[2an?2 ? 2 ? (?1)n?2 ] ? 2 ? (?1)n?1 = 22 an?2 ? 22 ? (?1)n?2 ? 2 ? (?1)n?1 = 22[2an?3 ? 2 ? (?1)n?3 ] ? 22 ? (?1)n?2 ? 2 ? (?1)n?1 = 23 an?3 ? 23 ? (?1)n?3 ? 22 ? (?1)n?2 ? 2 ? (?1)n?1 = ?? = 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ? 2n?3 ? (?1)3 ? ? ? 22 ? (?1)n?2 ? 2 ? (?1)n?1 =
2 ? (?1) n ?1[1 ? (?2) n ? 2 ] 1 ? ( ?2 )

2 = [(?1) n?1 ? 2n?2 ] 3 运用迭代法解题时,一般情况下数据繁多,容易出错,要根据已知条件逐一 求出每一项,并通过发现其中一定的规律,简化计算,再求出通项公式,避免出 错。

·3.7 转化构造法
通过已知数列的关系,将递推式转化构造成我们所熟知的数列模型。 ·3.71 取对数法 例 13.已知在正项数列 ?an ?中, a1 ? 2 , an ? 2an?1 , n ? 2, 求数列 ?an ?的通项公式。
2

2an?1 n n?1 解:两边取对数得: loga ? 1 ? 2 loga 2 ? log2 2
n n?1 loa g ? 1 ? 2(1 ? 2 l o a g ) 2 2

2

n 设 d n ? loga 2 ? 1 ,则 d n ? 2d n ?1

?dn ? 是以 2 为公比的等比数列
1 d1 ? l o a g ?1 ? 2 2

d n ? d1q n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n
n loa g ? 1 ? 2n 2

an ? 22
·3.72 倒数法

n

?1

8

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例 14 ?1 3? .已知在数列 ?an ?中, a1 ?

1 a , an?1 ? n ,求数列 ?an ?的通项公式。 2 an ? 2

解:两边取倒数得:

1 2 ? 1? an ?1 an

1 1 ? 1 ? 2(1 ? ) an ?1 an
令 cn ? 1 ?

1 ,则 cn ? 2cn ?1 an

?cn ?是以 2 为公比的等比数列
c1 ? 1 ? 1 ? 3 , cn ? c1q n?1 ? 3? 2n?1 , a1 1 ? 3 ? 2n?1 an



1?

an ?

1 3 ? 2n?1 ? 1

·3.73 ?5? 待定系数法(或参数法)
2 2 例 15.已知在正项数列 ?an ?中, a1 ? 2 , an an ?的通项公式。 ?1 ? 3an ? 4 ,求数列 ?

解:令 由 则 再令 则

2 2 an ?1 ? x ? 3(an ? x) , 2 2 an ?1 ? 3an ? 4 知 x ? 2 2 2 an ?1 ? 2 ? 3(an ? 2) 2 bn ? an ?2

bn?1 ? 3 , b1 ? a12 ? 2 ? 6 bn

?bn ?是以 6 为首项,3 为公比的等比数列
bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n

即 又

2 an ? 2 ? 2 ? 3n

an ? 0 ,
9

数列通项公式的几种推导方法

所以

an ? 2 ? 3n ? 2

解决此类问题的关键在于通过观察已知数列的关系,将递推式进行转化、构 造,变成我们所熟知的等差或等比数列模型,进而进行求解。

·3.8 归纳猜想法
直接求解或变形都比较 困难时,先求出数列的 前面几项,综合运用观察法, 列的通项公式,然后用数学归纳法 分析构成 规律 ,通过 列举、归纳猜想得出数

加以证明。 例 16 ?1 4? .数列 ?an ?满足 a1 ? 4 , an ? 4 ? 解: a1 ? 4 ?

4 , n ? 2 ,求 an 。 an ?1

4 1

a2 ? 4 ? a3 ? 4 ?
a4 ? 4 ?

4 ? 4 ?1 ? 3 a1 4 4 8 ? 4? ? a2 3 3
4 3 5 10 ? 4? ? ? a3 2 2 4

a5 ? 4 ?

4 8 12 ? 4? ? a4 5 5

2n ? 2 n 下面用数学归纳法证明这个结论: 2 ?1 ? 2 (1)当 n ? 1 时, a1 ? ? 4 成立; 1 2k ? 2 (2)假设当 n ? k 时, ak ? 成立, k
从而猜想 an ? 那么当 n ? k ?1时, ak ?1 ? 4 ? 故当 n ? k ?1时结论成立 2n ? 2 从而 an ? , n? N? 。 n
4 4k 4k ? 4 ? 2k 2(k ? 1) ? 2 ? 4? ? ? ak 2k ? 2 k ?1 k ?1

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17. 已 知 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 为 sn , 且 sn 满 足

(sn ?1)2 ? an (sn ?1) ? an ? 0, n ? N ? ,求 an 。
解:将 s1 ? a1 代入已知式中, 得 (a1 ?1)2 ? a1 (a1 ?1) ? a1 ? 0 , a1 ? 将 s2 ? a1 ? a2 代入已知式中, 得 (a1 ? a2 ?1)2 ? a2 (a1 ? a2 ?1) ? a2 ? 0 , a2 ?
1 6 1 ; 2

当 n ? 2, n ? N ? 时,将 an ? sn ? sn ?1 代入已知式中, 得 sn sn?1 ? 2sn ? 1 ? 0 ?

1 1 ? 2 1?1 3 3 由?知 s3 ? ? 4 3 ?1 s1 ? a1 ?
(1)当 n ? 1 时, s1 ?

2 2 ? 3 2 ?1 n 从而猜想 sn ? n ?1 s2 ? a1 ? a2 ?

下面用数学归纳法证明这个结论:
1 成立; 2 k (2)假设当 n ? k 时, sk ? 成立, k ?1

那么当 n ? k ?1时,由?得, sk ?1 ?

1 k ?1 (k ? 1) , ? ? 2 ? sk k ? 2 (k ? 1) ? 1

故当 n ? k ?1时结论成立,从而 sn ? 则当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? 当 n ? 1 时, a1 ?
1 也成立, 2

n ,n? N? , n ?1

n n ?1 1 , ? ? n ?1 n n(n ? 1)

? an ?

1 , n? N? 。 n(n ? 1)

此法的应用核心在于根据给出的一般关系式得到数列的前几项, 再观察其规 律猜想得到数列的通项公式, 后用数学归纳法进行证明,要做好这一点需要清楚 数列的形式及结构, 它是项数与项之间的函数关系,通过已知的有限项去建立一 种数学模型, 此法对通项猜想的要求比较高,而且在证明的时候一定要注意证明 的完整性,要使用归纳假设。

11

数列通项公式的几种推导方法

·3.9 三角代换法
如果题设中停含有或通过变形可得到与三角公式形式相似、性质相同的递推关 系,可用三角代换法求数列的通项公式。 。 例 18.已知在数列 ?an ?中, a1 ? 3 , an ? 解:令
an?1 ? t a ? n,
1 ? an ?1 ,求 an 。 1 ? an ?1



t a n ?t a? n ? 4 an ? ? t a n (? ? ) ? 4 1? t a n ? t a ? n 4
a1 ? tan? , ? ? arctan3

?

则 an ? tan[

(n ? 1)? ? arctan 3] 4
2 , (n ? N ? ) ,求 an 。 2 ? an

例 19.数列 ?an ?中, a1 ? 2 , an ?1 ? 解:令 an ? tan ? n ? 1, ? n ? (k n? ?

?

, k n? ? ), k n ? Z 2 2

?

?

则 an?1 ? tan? n?1 ? 1 ,将其代入已知式得
tan? n?1 ? 1 ? 2 2 ? (tan? n ? 1)

即 tan ? n ?1 ?

2 ?1 1 ? tan ? n

= 则

1 ? tan ? n ? ? tan( ? ? n ) 1 ? tan ? n 4

? n ?1 ? ln? ?

?
4

? ? n , ln ? Z , n ? N ?

? ? n ? ln ?1? ? ? ??

?
4

? ? n ?1 (n ? 1)? ? ?1 , n ? N ? 4

? (ln ?1 ? ? ? l1 )? ?

(n ? 1)? 由?得 an ? tan[ ? ?1 ] ? 1 4


?

a1 ? 2 ? t a n ?1 ? 1
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8 (n ? 1)? ? 故 an ? t a n [ ? ] ?1 4 8 解决此类问题的关键在于把已知问题转换为三角函数来求数列的通项公式, 要求对三角函数的相关知识及性质有较深的理解及掌握。



t a? n1 ? 2 ?1 得 ?1 ?

?

·3.10 ?1? 特征方程法
利用特征方程求出特征根,从而求出通项公式。 例 20.数列 ?an ?中, an?1 ? 4an ? an?1 , (n ? 2) ,且 a1 ? a2 ? 1 ,求数列 ?an ?的通项公 式。 解: an?1 ? 4an ? an?1 , (n ? 2) 的相应特征方程为

?2 ? 4? ? 1 ? 0 ,解得特征根是

?1 ? 2 ? 3

?2 ? 2 ? 3

?an ? c1 ? (2 ? 3)n ? c2 ? (2 ? 3)n
又由 a1 ? a2 ? 1得方程组
1 1 ? ?1 ? c1 ? (2 ? 3 ) ? c2 ? (2 ? 3 ) ? 2 2 ? ?1 ? c1 ? (2 ? 3 ) ? c2 ? (2 ? 3 )

可得 c1 ?

9?5 3 6

c2 ?

9?5 3 6

? an ?

9?5 3 9?5 3 ? (2 ? 3 ) n ? ? (2 ? 3 ) n 6 6

例 21.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 3, a2 ? 4 , 且 4an?2 ? 4an?1 ? an , (n ? N ? ) , 求数列 ?an ?的 通项公式。 解: an?2 ? 4an?1 ? an , (n ? N ? ) 的相应特征方程为
4?2 ? 4? ? 1 ? 0 ,解得特征根是

?1 ? ?2 ?

1 2

1 ? an ? (c1 ? c2 n) ? ( ) n 2
又由 a1 ? 3, a2 ? 4 得方程组

13

数列通项公式的几种推导方法

1 ? 3 ? (c1 ? c2 ) ? ? ? 2 ? ? 4 ? ( c ? 2c ) ? ( 1 ) 2 1 2 ? 2 ?

可得

c1 ? ?4

c2 ? 10

1 ? an ? (?4 ? 10n) ? ( ) n 2 解此类题的关键是构造特征方程,根据特征方程求出特征根,再由已知项确
定出 c1 , c 2 ,从而可得出 an 的通项。

·3.11 ?6? 奇偶分类法
若数列可以分成两个数列,一个是由奇数项组成的,一个是由偶数项组成的,此 时要对 n 的奇偶性进行分类讨论,这样以方便问题的处理。 例 22.已知数列 ?an ?中,a1 ? 1 ,a2k ?2 ? a2k ?1 ? (?1) k ?1 ,a2k ?3 ? a2k ? 2 ? 3k ?1 ,?k ? N ? ? , 求 an 。 解:由 再由 于是 则

a2k ?3 ? a2k ? 2 ? 3k ?1 知 a2k ?1 ? a2k ? 3k a2k ?2 ? a2k ?1 ? (?1) k ?1 知 a2k ? a2k ?1 ? (?1) k a2k ?1 ? a2k ?1 ? 3k ? (?1) k

a2k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? ? ? (a2k ?1 ? a2k ?3 ) ? (a2k ?1 ? a2k ?1 )

? 1 ? 31 ? (?1)1 ? 32 ? (?1)2 ? ? ? 3k ?1 ? (?1)k ?1 ? 3k ? (?1)k ? (?1)0 ? (?1)1 ? (?1)2 ? ? ? (?1)k ? 31 ? 32 ? ? ? 3k

?

?1 ? (?1) ? ? 3(3
k ?1

k

2

?1) 2

?
于是

3k ?1 (?1)k ?1 ? ?1 2 2

a2k ?2 ? a2k ?1 ? (?1) k ?1

3k ?1 ? (?1) k ?1 ? ?1 2
综上可知
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n ?1 2 n ?1 2

当 n ? 2k ? 1 时,

an ?

3

? (?1) 2
n

?1

3 2 ? (?1) 2 ?1 当 n ? 2k ? 2 时, an ? 2

n

1 例 23.(05 江西高考文)已知数列 ?an ?的前 n 项和 sn 满足 sn ? sn?2 ? 3 ? (? ) n?1 , 2 3 (n ? 3) ,且 s1 ? 1, s2 ? ? ,求 ?an ?的通项公式。 2 解:先考虑偶数项有: 1 1 s2 n ? s2 n ?2 ? 3 ? (? ) 2 n ?1 ? ?3 ? ( ) 2 n ?1 2 2 1 1 s2 n ? 2 ? s2 n ? 4 ? 3 ? (? ) 2 n ?3 ? ?3 ? ( ) 2 n ?3 2 2
?? ?

1 1 s4 ? s2 ? 3 ? (? ) 3 ? ?3 ? ( ) 3 2 2 1 1 1 ? s2 n ? s2 ? 3 ? [( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( ) 3 ] 2 2 2 1 2 n ?1 1 2 n ?3 1 3 1 ? ?3[( ) ?( ) ?? ? ( ) ? ] 2 2 2 2 1 1 1 n ? ?( ) 2 2 4 ? ?2 ? ( 1 ) 2 n ?1 , (n ? 1) ? ?3 ? 1 2 1? 4 再考虑奇数项有: 1 1 s2 n ?1 ? s2 n ?1 ? 3 ? (? ) 2 n ? 3 ? ( ) 2 n 2 2 1 2n?2 1 s2 n ?1 ? s2 n ?3 ? 3 ? (? ) ? 3 ? ( ) 2n?2 2 2
?? ?

1 1 s3 ? s1 ? 3 ? (? ) 2 ? 3 ? ( ) 2 2 2 1 1 1 ? s2 n ?1 ? s1 ? 3 ? [( ) 2 n ? ( ) 2 n ? 2 ? ? ? ( ) 2 ] 2 2 2 1 ? 2 ? ( ) 2n , (n ? 1) 2 1 1 1 ? a2 n ?1 ? s2 n ?1 ? s2 n ? 2 ? ( ) 2 n ? [?2 ? ( ) 2 n ?1 ] ? 4 ? 3 ? ( ) 2 n , (n ? 1) 2 2 2 1 2 n ?1 1 2( n ?1) 1 ? a2 n ? s2 n ? s2 n ?1 ? 2 ? ( ) ? [2 ? ( ) ] ? ?4 ? 3 ? ( ) 2 n ?1 , (n ? 1) 2 2 2

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数列通项公式的几种推导方法

1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?1 , n为奇数 ? ? 2 综上可得 an ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数 ? 2 ?

解此类题的关键是对 n 的奇偶性进行分类讨论,分 n 为奇偶可自然引出讨 论,最重要的是如果最后能合写的时候,一定要合并。

4 ?5? 一阶线性递推数列
一阶线性递推数列 an ? can?1 ? d , ( c ? 0 ,c ?1 ,d ? 0 ) , a1 ? a 的通项公式求法。

·4.1 同除法
给 an ? can?1 ? d 的等式两边同时除以 c n ,则等式可以化为 在这里令 bn ?
an a d ,则 b1 ? , bn ? bn?1 ? n , n c c c
1 1 1 ? n ?1 ? ? ? 2 ) , n c c c

an an?1 d ? ? , c n c n?1 c n

因此 bn ? b1 ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? d ? ( 即 bn ?
d (c n ?1 ? 1) a ? (c ? 1)c n c

所以 an ?

d ? (c n ?1 ? 1) d d ? acn ?1 ? (a ? ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1 c ?1

·4.2 构造法
由 4.1 知, an ?

d d ? (a ? )c n?1 c ?1 c ?1

则 an ? can?1 ? d 一定可转化为 an ? m ? c(an?1 ? m)
?an ? can?1 ? d d d d 比较 ? 知m ? ,即 an ? ? c(an?1 ? ), c ?1 c ?1 c ?1 ?an ? can?1 ? cm ? m

d d ,则 b1 ? a ? , bn ? cbn?1 , c ?1 c ?1 d 因此数列 ?bn ?是以 b1 ? a ? 为首项, c 为公比的等比数列。 c ?1 d ? bn ? b1c n ?1 ? (a ? )c n ?1 c ?1 d d 则 an ? (a ? 。 )c n?1 ? c ?1 c ?1
令 bn ? an ?

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·4.3 不动点法
d , 1? c d d d ? ca n ?1 ? d ? ? c(an ?1 ? ), 则 an ? can?1 ? d 可以转化为 an ? 1? c 1? c 1? c d d 上式等价于 an ? ? c(an?1 ? ) c ?1 c ?1 d d 令 bn ? an ? ,则 b1 ? a ? , bn ? cbn?1 , c ?1 c ?1 d 因此数列 ?bn ?是以 b1 ? a ? 为首项, c 为公比的等比数列。 c ?1 d ? bn ? b1c n ?1 ? (a ? )c n ?1 c ?1 d d 则 an ? (a ? )c n?1 ? c ?1 c ?1
设 x0 是函数 f ( x) ? cx ? d 的不动点,则 x0 ? cx0 ? d ,得 x0 ?

·4.4 升降下标作差法
由 an ? can?1 ? d ? 可得 an?1 ? can ? d ?

用?-? ? an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) , n ? 2 令 d n ? an?1 ? an ,则 d n ? cdn ?1
d1 ? a2 ? a1 ? ca ? d ? a

则 dn ? (ca ? d ? a)cn?1 ? an?1 ? an

an ? a1 ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? (c n?2 ? c n?3 ? ? ? c 2 ? c ? 1)(ca ? d ? a)
1 ? c n ?1 ? (ca ? d ? a )( ) 1? c

1 ? c n?1 ? an ? (ca ? d ? a)( )?a 1? c
? (a ? d d )c n ?1 ? c ?1 c ?1

17

数列通项公式的几种推导方法

·4.5 待定系数法
(c ? 0, c ? 1, d ? 0) , 从以上四种解法得出的结果看, 若数列 ?a n ? 满足 an ? can?1 ? d ,
a1 ? a ,则它的通项公式就是 an ? Acn?1 ? B 型

由 a2 ? ca ? d 得

?a1 ? A ? B ? a ? ?a2 ? Ac ? B ? ca ? d
? an ? ( a ?

d ? A ? a ? ? ? c ?1 ?? ?B ? ? d ? c ?1 ?

d d )c n ?1 ? c ?1 c ?1

5 二阶线性递推数列 ·5.1 ?1 1? 二阶线性齐次递推数列 an?2 ? pan?1 ? qan , ( p, q ? 0) 且都为常数, 已知 a1 , a2 的通项公式推导方法。
解: (待定系数法)引入待定系数 A,B,使 an?1 ? Aan ? B(an ? Aan?1 ) 将?与原式比较得 p ? A ? B, q ? ? AB 。 此时数列 ?an ? Aan ?1?为等比数列,A,B 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,因为 A,B 总 是存在(可以是重根或者虚数根) ,所以待定系数 A 和 B 存在并可求出。
n?2 ? ?an ? Aan ?1 ? B (a2 ? Aa1 ) ·如果 A ? B ,则由?得 ? n?2 ? ?an ? Ban ?1 ? A (a2 ? Ba1 )

?,

消去 an ?1 得 an ?

a2 ( B n ?1 ? An ?1 ) ? ABa1 ( An ?2 ? B n ?2 ) B? A

·如果 A ? B ,则由?得 an ? Aan?1 ? An?2 (a2 ? Aa1 ) , n ? N ? (否则 q ? 0 ) ,则给等式两边同时除以 An ,得 ?A ? 0,

an an?1 a2 ? Aa1 ,n? N? ? n?1 ? n 2 A A A
a a ? Aa ?a ? 则数列 ? nn ? 是以 1 为首项, 2 2 1 为公差的等差数列 A A ?A ?

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则有

an a1 a ? Aa ? ? (n ?1) 2 2 1 , n ? N ? n A A A

?an ? (n ?1)a2 An?2 ? (n ? 2)a1 An?1
例 24.已知数列 ?an ? 满足, a1 ? 1, a2 ? 4 , an? 2 ? 4an?1 ? 3an , n ? N ? ,求 a n 。 解:原式 ? an?2 ? an?1 ? 3(an?1 ? an ) 则数列 ?an ?1 ? an ?是以 a2 ? a1 为首项,3 为公比的等比数列 则

an?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? 3n?1 ? 3n
an ? a1 ? 3 ? 32 ? ? 3n ?1 ? 3n 3 ? 2 2

运用累加法得

? an ?

3n 3 3n ? 1 ? ?1 ? 2 2 2

·5.2 ?1 1? 二阶线性非齐次递推数列 an?1 ? pan ? qan?1 ? k ,( p, q, k ? 0) 且都为 常数,已知 a1 , a2 的通项公式推导方法。
解:由 知
an?1 ? pan ? qan?1 ? k an ? pan ?1 ? qan ?2 ? k

? ?

?-?= an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? q(an?1 ? an?2 ) 则数列 ?an ? an ?1?为二阶线性齐次递推数列 令
bn ? an ? an?1 ,即 bn?1 ? pbn ? qbn?1 ?

可以由 5.1 的内容求出 bn 通项公式,再用累加法求出 a n 的通项。 例 25.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 , an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 1 ?, n ? N ? ,求 a n 。 解:由?得 an?1 ? 3an ? 2an?1 ? 1 ?,?-?= an?2 ? an?1 ? 3(an?1 ? an ) ? 2(an ? an?1 ) , 令 d n ? an?1 ? an ,则数列 ?d n ? 为二阶线性齐次递推数列,由 5.1 例题的方法可求 出 d n 的通项 则有

d n ? 3 ? 2n?1 ?1

an ? an?1 ? 3 ? 2n?2 ?1

19

数列通项公式的几种推导方法

an?1 ? an?2 ? 3 ? 2n?3 ?1
??

a2 ? a1 ? 3 ? 20 ? 1 ,

将上面各式累加得

an ? a1 ? 3(20 ? 2 ??? 2n?2 ) ? n ?1 ? 3 ? 2n?1 ? n ? 2

? an ? 3 ? 2n?1 ? n ? 1

6 k 阶线性递推数列
定义 ?1?

?1 ?

?an ?从第k项以后任一项是前 若数列 k项的线性组合,即
an?k ? c1an?k ?1 ? c2 an?k ?2 ? ? ? ck an ,

?

其中n ? N ? , ck ? 0 且都为 常数 ,则数列 ?a n ?称为 k 阶线性递推数列,?式称为

数列 ?a n ? 递推方程 .与递推方程组相应的代数方程

x k ? c1 x k ?1 ? c2 x k ?2 ? ? ? ck ( c k ? 0 ) ?
称为 k 阶线性递推数列 ?a n ?的特征方程.

·6.1 特征方程法
定理 1[1] 若特征方程?有 k 个相异的根 x1 , x2 ,?, xk ,则对应的递推方程?确定的
n n 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? c1 x1n ? c2 x2 ,其中 c1 , c2 ,?, ck 是如下线性方 ? ? ? ck xk

?c1 x1 ? c2 x2 ? ? ? ck xk ? a1 , ? 2 2 2 ?c1 x1 ? c2 x2 ? ? ? ck xk ? a2 , 程组的惟一解: ? ??????????? ?c x k ? c x k ? ? ? c x k ? a 2 2 k k k. ?1 1
例 26.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a2 ? 7 , an? 2 ? 6an?1 ? 8an , n ? N ? ,求 a n 。 解:特征方程为

?2 ? 6? ? 8 ,得 ?1 ? 2, ?2 ? 4 ,

? an ? c1 ? 2n ? c2 ? 4n ,

?2c ? 4c2 ? 3 1 5 代入初始值得 ? 1 得 c2 ? , c1 ? , 8 4 ?4c1 ? 16c2 ? 7
? an ? 5 n 1 n ? 2 ? ? 4 ? 5 ? 2 n ? 2 ? 2 2 n ?3 4 8 若特征方程?有 k 重根 ? ,则对应递推方程?所确定的数列的通项公式

定理 2[1]

k ?1 n 为 an ? (c1 ? c2n ??? ck n )? , c1 , c2 ,?, ck 是 如 下 线 性 方 程 组 的 惟 一 解 :

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?(c1 ? c2 ? ? ? ck )? ? a1 , ? k ?1 2 ?(c1 ? 2c2 ? ? ? 2 ck )? ? a2 , ? ???????????? ?(c ? kc ? ? ? k k ?1c )?k ? a . 2 k k ? 1

例 27[15].已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a2 ? 16 , an?2 ? 8an?1 ?16an , n ? N ? ,求 a n 。 解:特征方程 ?2 ? 8? ? 16 有二重根 ? ? 4 ,? an ? (c1 ? c2 n) ? 4n

1 ? c1 ? ? ?4c ? 4c2 ? 3 ? 2 其中 c1 , c2 满足方程组 ? 1 ?? 16 c ? 32 c ? 16 2 ? 1 ?c ? 1 2 ? 4 ?
1 1 ? an ? ( ? n) ? 4 n ? (2 ? n) ? 4 n ?1 2 4

定 理 3?1?

若 特 征 方 程 ? 有 k1 重 根 ?1 , k 2 重 根 ?2 , ? , k s 重 根 ? s

(k1 ? k2 ? ? ? ks ? k ) ,则对应递推方程?所确定的数列的通项公式为

an ? ? (cl1 ? cl 2 n ? ? ? clkl n kl ?1 )?ln ,其中 cl1 , cl 2 ,?, clkl (l ? 1,2,?, s) 是在上面通项公
l ?1

s

式中令 n ? 1,2,?, k 所得线性方程组的惟一解。 例 28. 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1, a2 ? ?7, a3 ? ?31 , an?3 ? 5an?2 ? 8an?1 ? 4an ,
n ? N ? ,求 a n 。

解:特征方程 ?3 ? 5?2 ? 8? ? 4 的根为 ?1 ? ?2 ? 2, ?3 ? 1 , 则 an ? (c11 ? c12 n) ? 2n ? c21 ?1n
?2c11 ? 2c12 ? c21 ? 1 ?c11 ? 2 ? ? 其中 c11 , c12 , c21 满足方程组 ?4c11 ? 8c12 ? c21 ? ?7 ? ?c12 ? ?2 ?8c ? 24c ? c ? ?31 ?c ? 1 12 21 ? 11 ? 21

?an ? (2 ? 2n) ? 2n ? 1?1n ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 1

21

数列通项公式的几种推导方法

·6.2 ?8? 矩阵法
由?式我们可以得出此递推数列的矩阵表示形式,即

? an ? k ?1 ? ? c1 c2 ? ? ? ? an ? k ? 2 ? ? 1 0 ?a ???0 1 ? n ? k ?3 ? ? ? ? ? ?? ? ? a ? ? ? n ? ?0 0
? c1 c2 ? ?1 0 若令 A ? ? 0 1 ? ?? ? ?0 0 ?

? ck ? 0 ? 0 ? ? 1

ck ?1 ?? an ? k ?2 ? ? c1 c2 ? ?? ? 0 ?? an ? k ?3 ? ?1 0 ? ? ? 0 an ? k ? 4 ? ? ? ? 0 1 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? a ? ? ?0 0 0 ?? n ?1 ? ?

? ck ? 0 ? 0 ? ? 1

ck ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? 0 ? ?

n

? ak ?1 ? ? ? ? ak ? 2 ? ?a ? ? k ?3 ? ? ? ? ? a ? ? 0 ?

? ck ? 0 ? ? 0 ? 1

ck ?1 ? ? 0 ? 的求解转化为对矩阵 0 ? ,则 对于递推数列通项公式 ? ? ? 0 ? ?

A 的 n 次幂的 求解 ,而 利用矩阵理论可以 解决此问题 ?9? 。

若矩阵 A 的特征方程有 k 个不同的特征根
T st

h1 , h2 ,?, hk ,则必 ? 某一可逆矩阵

? h1 ? ? ? ? ? ?

h2

? ? ? ? T ?1 AT , ? ? ? hk ? ? h2 ? ? ? ?1 ?T ? ? hk ? ?
n



? h1 ? ? A ? T? ? ? ?

则有

? h1n ? h1 ? ? ? ? h2 ? ? ? ?1 n A ? T? T ? T? ? ? ? ? ? ? ? ? h k ? ? ?
? ak ?1 ? ? ? ? ? ? ak ? 2 ? ? ?1 ? ? ?T ? ak ?3 ? ? ? ? ? ? hkn ? ? ? a ? ? 0 ?

h

n 2

? ? ? ?1 ?T ? ? hkn ? ?

? an ? k ?1 ? ? ? ? h1n ? a ? n? k ?2 ? ? 从而有 ? an ? k ?3 ? ? T ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? n ? ?

n h2

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其中 T 可由特征根 h1 , h2 ,?, hk 确定,最终数列的通项公式可由矩阵得出。 例 29 ?1 0? . 已知在数列 ?an ? 中 a1 ? 0 , a 2 ? 1 , a 3 ? 2 , an?3 ? an?2 ? 9an?1 ? 9an ,
n ? N ? ,求 a n 。

解:此数列为三阶常系数齐次线性递推数列。 令

?1 9 ? 9? ? ? A ? ? 1 0 0 ? , ? ?E ? A ? ?3 ? ?2 ? 9? ? 9 的 根 为 ?1 ? 1 , ? 2 ? 3 , ?0 1 0 ? ? ?

?3 ? ?3 ,且 ?1 , ?2 , ? 3 互异,则必 ? 某一可逆矩阵 T st
?1 0 0 ? ? ? T ?1 AT ? ? 0 3 0 ? , ? 0 0 ? 3? ? ?

那么
?1n ?1 0 0 ? ? ? ? A ? T ? 0 3 0 ?T ?1 , An ? T ? 0 ?0 ? 0 0 ? 3? ? ? ? , 0 3n 0 0 ? ? 0 ?T ?1 ?? 3?n ? ?

由高等代数知识求得

? ? ?1 T ? ?1 ? ? ?1 ?
所以

? 1 ? ?? ? 1 1 ? ? 8 3 1 1? ? , T ?1 ? ? ? 4 3 3? ? 3 1 1 ? ? ? 9 9 ? ? 8

0 3 2 3 ? 2

9 ? ? 8 ? 9 ? ?, 4? 9 ? ? 8 ?

? 1 ? 1 ? n ?1 ? ? ? ? ?1 ? ?? 1? ?3n ?1 ? ? ? ? an ? 3 ? ? 2? ? 4 ? 4 ? ? ? ? ? 1 ? 1 n n? n ? ? an ? 2 ? ? A ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? (?1) ?3 ? , 4 ? 4 ? ?a ? ?0? ? ? ? n ?1 ? ? ? ? 1 ? 1 n ?1 ? n ?1 ? ? ? 4 ? ?1 ? 4 (?1) ?3 ? ? ? ? ?

于是

1 ? 1 n ?1 ? an?3 ? ? ? ?1 ? ?? 1? ?3n?1 , 4 ? 4 ?

23

数列通项公式的几种推导方法



1 ? 1 n?2 ? a n ? ? ? ?1 ? ?? 1? ?3n?2 . 4 ? 4 ?

·6.3 ?9? 积分法
先将递推关系式用函数来表示,即令 f(x) ? a x ,将递推关系式转化为关于 x 的函 数式,然后对 x 求导得出导函数 f ?( x ) ,而 f ?( x ) 可能是等差数列(此时可以直接 得出 f ?( x ) ) ,也可能是可以化成与 f ?(1) 之间的递推关系式,再通过积分求出
f ( x) ,根据已知条件 a1 , a 2 ,即 f (1) , f (2) 的值列出方程组, 然后 根据方程组

即可求出 f ?(1) 和常数 c ;最后再令 x ? n ,则得到通项 a n . ?1 0? 例 30.已知在数列 ?an ? 中 a 1 ? 1 ,且 an? m ? an ? am ? n ? m , n, m ? N ? ,求 a n . 解: 设 f ( x) ? a x

? x ? 1? ,则有 f (1) ? a1 ? 1 ,且
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? x ? y

?x, y ? 1? ,

对上式两边分别关于 x 求导得
f ??x ? y ? ? f ?( x) ? 1 .

令 x ? n, y ? 1 ,则 f ?(n ? 1) ? f ?(n) ? 1 或 f ?(n ? 1) ? f ?(n) ? 1 , 故数列 ? f ?(n)? 是以 f ?(1) 为首项,1 为公差的等差数列,且 f ?(n) ? f ?(1) ? n ? 1 . 因为 x ? n ,所以有 f ?( x) ? f ?(1) ? x ? 1 ;两边同时积分得 1 f ( x) ? ? f ?( x)dx ? ? f ?(1)dx ? ? xdx ? ? 1dx ? f ?(1) x ? x 2 ? x ? c , 2 由题意知 f (1) ?a1 ? 1 , f (2) ?a 2 ? 2a1 ? 2 ? 4 ,故有方程组
1 ? ? f ?(1) ? ? c ? 1 ? 2 ? ? 2 f ( 1 ) ? c?4 ?
5 ? ' ? f (1) ? ?? 2 ? c ? ? 1 ?

从而有
f ( x) ? 5 1 1 3 x ? x2 ? x ?1 ? x2 ? x ?1. 2 2 2 2 1 3 an ? n 2 ? n ? 1 . 2 2

令 x ? n ,得通项

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2013 届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

全文总结
文章是由理论和例题两部分组成,在理论方面,先是给出了数列的定义及其 通项公式, 然后系统地介绍了十几种推导一般数列通项公式的方法。求数列通项 的公式的推导方法, 体现了转化的思想方法, 在解答有关数列通项公式的问题时, 我们应该从多个角度观察、思考,恰当地选择适合题目的通法。然后介绍了一阶 线性、二阶线性、 k 阶线性递推数列通项公式的求解方法。对于一阶线性递推数 列的通项公式的求解问题最一般的方法是利用待定系数法构造类似于“等比数 列”的新数列再进行求解.另外还有二阶线性数列的通项公式,本文分别对齐次 和非齐次递推数列进行了讨论. 方法可归结为根据引入待定系数或变形将原数列 转化为我们所熟知的数列, 然后利用逐差法或逐商法求出原数列的通项公式.最 后对一般 k 阶线性递推数列通项公式的求解进行了探讨,其方法主要有特征根 法、矩阵法、积分法等。

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数列通项公式的几种推导方法

参考文献
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时间如白驹过隙,还没来得及感叹,大学生活已接近尾声,四年的努力和付 出,随着本次论文的完成,就要画上完美的句号。 论文得以完成, 我要感谢我的论文指导老师侯衍芬老师。侯衍芬老师渊博的 专业知识,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,朴实 无华、 平易近人的工作态度都对我产生了深远的影响。 从论文的结构, 开题报告, 整理资料,论文格式,老师都给了我很多的建议和帮助,在每次回稿中,总是很 耐心的给我很多的建议。如果没有这样的帮助、细心地教导和关怀,我不会这么 顺利的完成论文。在此,我再次向侯衍芬老师致以最诚挚的感谢,谢谢您对我的 帮助。 时间转瞬即逝,在这里,有同学们的陪伴,更有老师们的悉心教诲和耐心辅 导。你们不仅传授我学习的知识,更传授我做人的道理和处事方法。在此,感谢 我的老师们和同学们,愿你们幸福安康! 再次感谢大学里所有帮助过我的老师和同学们!

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