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三角形常见辅助线的作法专题一



一、倍长中线 法 遇到中线可以利用 倍长中线,
构造全等三角形。
如图,若AD为△ABC的中线,

构造 X 全等 ,即把中线延长一倍,来
1

A

延长AD到E,使DE=AD, 连结BE(也可连结CE)。
结论: △ABD≌△ECD, ∠1=∠E,∠B=∠2, EC=AB,CE∥AB。
E
B D 2 C

二、角平分线对称全等
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直线 作对称轴,翻折三角形来构造全 等三角形。

A

方法一: 在 AB 上截取 AE=AC ,
连结DE。

E

必有结论: △ADE≌△ADC。

B

D

C

∠ADE=∠ADC。 ED=CD , ∠ AED= ∠ C ,
1 2 3 *

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直 线作对称轴,翻折三角形来 构造全等三角形。

A

方法二: 延 长 A C 到 F , 使
AF=AB,连结DF。

必有结论: △ABD≌△AFD。

B

D

C F

BD=FD , ∠B=∠F, ∠ADB=∠ADF。
1 2 3 *

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。

可以利用角平分线所在直 线作对称轴,翻折三角形来 构造全等三角形。

A

方法三: 作 D M ⊥ A B 于 M ,
DN⊥AC于N。

M N C

必有结论: △AMD≌△AND。

B

D

DM=DN , AM=AN,∠ADM=∠AND。
(还可以用“角平分线上的点到角的两 边距离相等”来证DM=DN)
1 2 3 *

例1

证明:在BC上截取BE,使BE=AB,连结DE。
∵ BD是∠ABC的角平分线(已知) ∴∠1=∠2(角平分线定义) 在△ABD和△EBD中 ∵ AB=EB(已知) ∠1=∠2(已证) BD=BD(公共边) ∴△ABD≌△EBD(S.A.S) ∴ ∠A=∠3(全等三角形的对应角相等)
1 2 3 *

已知:如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的 角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠C=180°
A
D

1 2
B

3 E

4 C

∵ ∠3+ ∠4=180° (平角定义), ∠A=∠3(已证) ∴∠A+ ∠C=180° (等量代换)

AD=DE(全等三角形的对应边相等) ∵ AD=CD(已知),AD=DE(已证) ∴DE=DC(等量代换) ∴∠4=∠C(等边对等角)

例1
证明:

已知:如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的 角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠C=180°
延长BA到F,使BF=BC,连结DF。 F

∵ BD是∠ABC的角平分线(已知)

∴∠1=∠2(角平分线定义)
在△BFD和△BCD中 ∵ BF=BC(已知)

A
3

4

D

∠1=∠2(已证)
BD=BD(公共边)

1 2
B C

∴△BFD≌△BCD(S.A.S) ∵ ∠F=∠C(已证) ∴ ∠F=∠C(全等三角形的对应角相等) ∴∠4=∠C(等量代换) DF=DC(全等三角形的对应边相等) ∵ ∠3+ ∠4=180°
1 2 3 *

∵ AD=CD(已知),DF=DC(已证) ∴DF=AD(等量代换) ∴∠4=∠F(等边对等角)

(平角定义)
∴∠A+ ∠C=180° (等量代换)

例1
证明:

已知:如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的 角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠C=180°
作DM⊥BC于M,DN⊥BA交BA的延长线于N。

∵ BD是∠ABC的角平分线(已知) ∴∠1=∠2(角平分线定义) ∵ DN⊥BA,DM⊥BC(已知) ∴∠N=∠DMB=90°(垂直的定义) 在△NBD和△MBD中 ∵ ∠N=∠DMB (已证) ∠1=∠2(已证) BD=BD(公共边) ∴△NBD≌△MBD(A.A.S) ∴ ND=MD(全等三角形的对应边相等) ∵ DN⊥BA,DM⊥BC(已知)

A
3

N 4 D

1 2
B M C
∴ ∠4=∠C(全等三角形的对应角相等)
∵ ∠3+ ∠4=180°(平角定义), ∠A=∠3(已证) ∴∠A+ ∠C=180°(等量代换)

1 2 3 *

∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ ND=MD (已证) AD=CD(已知) ∴Rt△NAD≌Rt△MCD(H.L)

例1
证明:

已知:如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的 角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠C=180°
作DM⊥BC于M,DN⊥BA交BA的延长线于N。

∵ BD是∠ABC的角平分线(已知)

DN⊥BA,DM⊥BC(已知)
∴ ND=MD(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等) ∵ DN⊥BA,DM⊥BC(已知) ∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ ND=MD (已证)
1 2 3 *

A
3

N 4 D

1 2
B M C

∵ ∠3+ ∠4=180°(平角定义)
∠A=∠3(已证) ∴∠A+ ∠C=180°(等量代换)

AD=CD(已知) ∴Rt△NAD≌Rt△MCD(H.L) ∴ ∠4=∠C

(全等三角形的对应角相等)

练习1 如图,已知△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,
AB=AC+CD,求证:∠C=2∠B

证明:

在AB上截取AE,使AE=AC,连结DE。

A

∵ AD是∠BAC的角平分线(已知)

∴∠1=∠2(角平分线定义)
在△AED和△ACD中 ∵ AE=AC(已知) ∠1=∠2(已证) AD=AD(公共边) ∴△AED≌△ACD(S.A.S) ∴ ∠C=∠3(全等三角形的对应角相等) ED=CD(全等三角形的对应边相等)
1 2 *

12
E B 3 4

D

C

∴∠B=∠4(等边对等角) ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B (三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角和)

又∵ AB=AC+CD=AE+EB(已知)

∴EB=DC=ED(等量代换)

∴∠C=2∠B(等量代换)

练习1 如图,已知△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,
AB=AC+CD,求证:∠C=2∠B

证明:

延长AC到F,使CF=CD,连结DF。

A

∵ AD是∠BAC的角平分线(已知)

∴∠1=∠2(角平分线定义)
∵ AB=AC+CD,CF=CD(已知) ∴ AB=AC+CF=AF(等量代换) 在△ABD和△AFD中 ∵ AB=AF(已证) ∠1=∠2(已证)

12

B

D

3

C

F
∵ ∠ACB= 2∠F(三角形 的一个外角等于和它不相 邻的两个内角和)

AD=AD(公共边)

1 2 *

∴△ABD≌△AFD(S.A.S) ∴ ∠F=∠B(全等三角形的对应角相等) ∴∠ACB=2∠B(等量代 ∵ CF=CD(已知) 换) ∴∠B=∠3(等边对等角)

练习2 如图,已知直线MN∥PQ,且AE平分∠BAN、 BE平分∠QBA,DC是过E的任意线段,交MN 于点D,交PQ于点C。求证:AD+AB=BC。

证明: 延长AE,交直线PQ于点F。
M D A 3 4 E
21 22 3 0 * **

N

1

2

5

P

B

F

C Q

练习2 如图,已知直线MN∥PQ,且AE平分∠BAN、 BE平分∠QBA,DC是过E的任意线段,交MN 于点D,交PQ于点C。求证:AD+AB=BC。

证明: 延长BA到点G,使得AG=AD,连结EG。
G M D A 3 4 E
21 22 3 0 * **

N

1

2

P

B

C Q

练习2 如图,已知直线MN∥PQ,且AE平分∠BAN、 BE平分∠QBA,DC是过E的任意线段,交MN 于点D,交PQ于点C。求证:AD+AB=BC。

证明: 延长BA到点G,使得AG=AD,连结EG。
G M D A 3 4 E
21 22 3 0 * **

N

1

2

P

B

C Q

练习3 已知:如图在Rt△ABC中,∠BAC=90°, AE⊥BC, BD是∠ABC的角平分线, GF∥BC ,求证:AD=FC。 证明: 过D作DH⊥BC,垂足为H。
A G 1 2

D
F

B
3 0 * **

E

H

C

小结:
如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形?
可以利用角平分线所在直线作对称轴, A 翻折三角形来构造全等三角形。 如图,在△ABC中,AD为 ∠BAC的角平分线。 M ( 1 )在 AB 上截取 AE=AC , E 连结DE。 必有结论:△ADE≌△ADC。 D ( 2 )延长 AC 到 F ,使 AF=AB , B 连结DF。 必有结论:△ ABD ≌ △ AFD 。 (3)作DM⊥AB于M, DN⊥AC于N。 必有结论:△AMD≌△AND。

N C F
3 0 * **

如何利用三角形的高来构造全等三角形?
如图,在△ ABC 中, AD ⊥ BC, ∠ ABC=2 ∠ C。 求证:AB+BD=CD

提示:
(1)延长DB到点E, 使BE=AB,连结AE。 (2)在DC上截取点E, 使DE=BD,连结AE。

A

B

D
0 *

C
**



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