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三角函数的图像与性质



三角函数的图像与性质

1. 函数 f ( x)=A sin(? x+? )( A ? 0,? ? 0, 则 f( )的 0 ? ? ? ? )的图象如图所示,

?

4

值为(



A. 2

B. 0

C.

1

D. 3 )

2.函数 y=3cos(x+φ )+2 的图象关于直线 x= 对称,则|φ |的最小值是( (A) (B) (C) (D)

π 3.下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间 ( , π) 上为减函数的是( 2
A. y ? 2|sin x | B. y ? sin 2 x C. y ? 2|cos x| D. y ? cos2 x



4.将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 (?


?
12

, 0) 中心对

称,则向量 ? 的坐标可能为( A. ( ?

?
12

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

C. (

?

12

, 0)


D. (

?
6

, 0)

5.函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
2

5? ) 图像的一条对称轴方程是( 2

B. x ? ?

?

6.函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
2

5? ) 图像的一条对称轴方程是( 2

4

C. x ?

?

8

D. x ? )

5? 4

4 8 ? 7.要得到函数 y ? tan(2 x ? ) 的图象,只须将 y ? tan2 x 的图象上的所有的点( ) 3 ? ? A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 3 3 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6 ? 4? 8.函数 y=cosx( ? x ? )的值域是( ) 6 3
试卷第 1 页,总 5 页

B. x ? ?

?

C. x ?

?

D. x ?

5? 4

A. [? ,

1 3 ] 2 2

B. [ ?

1 ,1] 2


C. [?1,

3 ] 2

D.[-1,1]

9.函数 y ? 2sin(

?
2

? 2 x) 是



A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2
B. 最小正周期为

10 . . 函 数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的 部 分 图 象 如 图 , 则 ( ) A. ? ?

?
2

,? ?

?
4

C. ? ?

?
4

,? ?

?
4

6 5? D. ? ? , ? ? 4 4

B. ? ?

?
3

,? ?

?

?

11.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) 的图象如图所示,其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? ? 则下列关于函数 f ( x ) 的说法中正确的是( A.对称轴方程是 x ? C.最小正周期是 ? ) B. ? ? ?

?
2



?
3

? 2k? (k ? Z)

?
6

D.在区间 ? ?

? 3? 5? ,? 6 ? 2

? ? 上单调递减 ?

y 1
x
?

?
6

O

5? 6

? ? 2 x) ( x ? [0, ?] )的单调递增区间是( 6 ? 5? ? 7? ? 5? ] A. [0, ] B. [ , C. [ , ] D. [ , ?] 3 6 12 12 3 6 ? 13.要得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,只需把 y ? sin 2 x 的图象 3 ? ? A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 3 3
12.函数 y ? 2sin(
试卷第 2 页,总 5 页

).

C.向右平移

? 个单位 6

D.向左平移

? 个单位 6

14.若 sin x ? A. ?0, ? ?

3 且x ? ?0,2? ?,则满足题意的 x 的集合是( ) 2
B. ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

C. ?

? 4? 5? ? , ? ? 3 3 ?

D. ? 0,

? ?

??
? 3?


3x ? 15.函数 y ? sin(

?
4

) 的图象可由函数 y ? sinx 的图象怎样变换而来?( 1 3

(A)先向左平移

?
4

,再纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

(B)先向左平移

?
4

,再纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 3 倍

(C)先向左平移

? 1 ,再纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 3 12 ? ,再纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 3 倍 12


(D)先向右平移

?? ? ? ?? 16. 函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是( 4? ? ? 2?
(A) ?1 (B) ?
2 2

(C)

2 2

(D) 0 )

17.函数 y ? 2sin( x ? A. x ? ?

?
3

) 的一条对称轴为(
C. x ?

?
2

B. x ? 0

?
6

D. x ? ?

?
6

? )的一个增区间是( ) 4 ? ? 3? ? ? ? 3? [- , ] B. [] , ] C. [- ,0 ] D. [- , 4 4 8 8 2 8 8 ?
18.函数 y= sin(2x+ 19.设函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

6

) ,则下列结论正确的是
对称





A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? B. f ( x ) 的图像关于点(

?
3

?
12

,0) 对称

C. f ( x ) 的图像是由函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 D. f ( x ) 在 ?0,

? 个长度单位得到的 12

? ?? ? 上是增函数。 ? 6?

试卷第 3 页,总 5 页

20.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
4

) ( A ? 0, ? ? 0 )的部分图像如右所示.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 f (

?

21.已知 tan ? ? ?2 ,计算: (1)

? 6 ? ) ? ,求 tan ? 的值. 2 8 5
(2)

3sin ? ? 2 cos ? 5 cos ? ? sin ?

3 2sin ? cos ? ? cos 2 ?

y ? tan( x ? ) 2 3 的定义域,周期和单调区间. 22.求函数
23. (本小题分 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期 T; (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值; (Ⅲ)求当 f ( x) 取最大值时 x 值的集合。

?

?

2 sin( x ? ) , x ? R 4

?

24.已知 tanα =-2, ,且 25.函数 f(x)= 3 sin ? 26.函数 y ? 3sin(2 x ?

? <α <π ,则 cosα +sinα = 2



?x ?? ? ? ,x∈R 的最小正周期为________. ?2 4?
4 ) 的最小正周期为

?

27 .为了得到函数 y ? sin( 2 x ? ______个单位长度

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移

28.若函数 f(x)=sin(x+φ )(0<φ <π )是偶函数,则 cos ? 29.求解下列函数的定义域 (1) y ? 1 ? 2 cos x (2) y ? lg sin x ?

?? ? ? ? ? =________. ?6 ?

1 16 ? x 2

试卷第 4 页,总 5 页

30. 函数 y ? sin( x ?

1 2

?
6

) 的纵坐标不变, 将其图象上的各点的横坐标缩短为原来的 ,
?


1 4

得到的函数记为 g ? x ? ,则g ( ) ?

3

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:由已知, A ? 2, T ? 将(

?

, 2) 代人得, 2sin(2 ? +? ) ? 2,sin( +? ) ? 1 ,所以, +? ? , ? ? , 6 6 3 3 2 6

?

4 11? ? ?( ? ) ? ? , ? ? 2, ,所以 f ( x)=2sin(2 x+? ) , 3 12 6

?

?

?

?

f ( x)=2sin(2 x+ ), f ( )=2sin(2 ? + ) ? 2 cos ? 3 ,故选 D . 6 4 4 6 6
考点:正弦型函数,三角函数诱导公式. 2.A 【解析】由题意可知, +φ =kπ ,k∈Z, 故φ =kπ - ,k∈Z.当 k=0 时,φ =- ,此时|φ |= 为最小值. 3.A. 【解析】

?

?

?

?

?

π 试题分析:由题,A 的周期是π ,且在区间 ( , π) 上为减函数,所以 A 正确;B 的周期是π , 2 π π 且在区间 ( , π) 上为先减后增,所以 B 不正确;y=2|cosx|最小周期是π ,在区间 ( , π) 上为 2 2 π 增函数,C 不正确;D 的周期是π ,且在区间 ( , π) 上为先减后增,所以 D 不正确,选 A. 2 考点:三角函数的周期性及其求法和函数单调性的判断与证明. 4.C
【解析】设平移向量 a ? (m,0) ,则函数按向量平移后的表达式为

π ? ? y ? sin[2( x ? m) ? ] ? sin(2 x ? ? 2m) ,因为图象关于点 (? ,0) 中心对称, 3 3 12
故x ? ?

?
12

代入得: sin[2( ?

?
12

)?

?
3

? 2 m] ? 0 ,

?
6

? 2m ? k? (k ? Z ) ,

k=0 得: m ? 5.A 【解析】

?
12

,选 C。本题也可以从选择支出发,逐个排除也可。

5? ? ? o s x的 ) ? sin(2 x ? 2? ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x , 由y?c 2 2 2 k? (k ? Z ) , 对称轴 x ? k? (k ? Z ) 可知, 所求函数图像的对称轴满足 2 x ? k? (k ? Z ) 即 x ? 2 ? y ? sin(2 x ? 试题分析:
当 k ? ?1 时, x ? ?

?

2

,故选 A.

答案第 1 页,总 7 页

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考点:1.三角函数图像与性质中的余弦函数的对称性;2.诱导公式. 6.A 【解析】

5? ? ? ) ? sin(2 x ? 2? ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x , o s x的 由y?c 2 2 2 k? (k ? Z ) , 对称轴 x ? k? (k ? Z ) 可知, 所求函数图像的对称轴满足 2 x ? k? (k ? Z ) 即 x ? 2 ? y ? sin(2 x ? 试题分析:
当 k ? ?1 时, x ? ?

?

2

,故选 A.

考点:1.三角函数图像与性质中的余弦函数的对称性;2.诱导公式. 7.C 【解析】

y ? tan 2( x ? 试题分析: 根据函数图象平移规则 “左加右减, 上加下减” ,
所以,要得到函数 y ? tan(2 x ? 移

?
6

) ? tan(2 x ?

?
3

),

?
3

) 的图象,只须将 y ? tan2 x 的图象上的所有的点向左平

? 个单位长度,选 C. 6

考点:正切函数图象的变换 8.C 【解析】 试题分析: 因为, ? x ?

?

6

4? 3 , 所以, 结合余弦函数的图象得函数 y=cosx 的值域是 [?1, ], 3 2

故选 C。 考点:余弦函数的图象和性质 点评:简单题,根据角 x 的范围,结合余弦函数的图象确定值域。 9.C 【解析】 试题分析:根据诱导公式将函数 y ? 2sin(

?
2

? 2 x) 化简为 y ? 2cos 2 x ,于是可判断其为最

小正周期为 ? 的偶函数. 考点:本小题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性. 10.C 【解析】由图像知正周期为 4(3 ? 1) ? 8,?

2?

又 sin( 4 ? ? ) ? 1,? 4 ? ? ? 2k? ? 2 ( k ? Z ) , ? ? 2k? ? 4 ( k ? Z ); 0 ? ? ? 2? , ? ? 4 . 故选 C 11.B 【解析】 解: 由图可知, 周期为 2 ? , 排除 C, 对称轴方程为 x ?

?

?

?

?

? 8, ? ?

?
4

; y ? sin(

?
4

x ? ? )(0 ? ? ? 2? ) ,

?

?

?
3

? k? ( k ? Z ) , A=1, W=1,

答案第 2 页,总 7 页

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? f ( x) ? sin( x ? ? ) ? f (? ) ? sin(? ? ? ) ?? ? ? ? K ? ?? ? K ? ? 6 6 6 6 ?? ?

?

?

?

?

?
6

排除 A,B,选 D 12.C 【解析】

( x 2 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 函 数 y?2 s i n? ( )x ? [0, ?] , 则 可 知

2 x ? [0, 2?]?

? ? 11? ? -2 x ? [-2? + , ]=[, ] ,则结合正弦函数的图形与性质可知,当 6 6 6 6 6 ? ? ? ? 5? -2 x ? [? , ] 函数递增,则可知解得 x 的范围为 [ , ] ,故答案为 C. 3 6 6 2 2

?

? 6

考点:三角函数的单调性 点评:主要是考查了三角函数的单调性的运用,属于基础题。 13.D 【解析】 试题分析:y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ? ? ? sin 2 ? x ? ? 与 y ? sin 2 x 对比可得只需将图像向左平移 6 3? 6? ?

个单位 考点:三角函数图像伸缩平移变换 点评:由 y ? sin x 到 y ? Asin ?? x ? ? ? ? B 的变换中 A 与 y 轴上的伸缩有关, B 与 y 轴上 的平移有关, ? 与 x 轴上的伸缩有关, ? 与 x 轴上的平移有关 14.B 【解析】 试题分析:结合 y ? sin x 图像可得 x ? ? 考点:正弦函数图像 点评:数形结合法利用图像解题 15.A 【解析】 y ? sinx 先向左平移

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

? ? ,得到 y ? sin( x ? ) 的图像,然后再纵坐标不变,横坐 4 4

标缩短为原来的 16.B

? 1 3 x ? ) 的图像.故选 A 得到 y ? sin( 4 3

? ? ? 3? ? ? ?? 【解析】因为 x ? ? 0, ? ,所以 2 x ? ? ? ? , ? ,所以由正弦函数的图象可知,函数 4 ? 4 4 ? ? 2?

答案第 3 页,总 7 页

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2 ?? ? ? ?? f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是 ? ,故选 B. 2 4? ? ? 2?

【考点定位】本小题主要考查三角函数的值域的求解,考查三角函数的图象,考查分析问题 以及解决问题的能力. 17.C 【解析】解:因为

y ? 2sin( x ? ) ? x ? ? k? ? 3 3 2 ? x ? k? ?

?

?

?

?
6

,k ? z

即为所求的对称轴方程。那么只有 C 符合。 18.B 【解析】由 2k? ? 19.C 【解析】 试题分析: 对选项全面浏览, 研究 f ( x) ? cos( 2 x ? 的图像是由函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2



?
6

) 即 f ( x) ? cos 2( x ?

?
12

), 所以 f ( x )

? 个长度单位得到的,选 C。 12

考点:本题主要考查余弦函数的图像和性质,图象的变换。 点评:典型题,较全面的考查余弦函数的图象和性质,函数图象的变换。平移变换遵循“左 加右减,上加下减” 。 20. (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? 【解析】 试题分析:解: (1)∵ 由图可知:函数 f ( x) 的最大值为 2 , 2分

?
4

) (2) tan ? ?

sin ? 3 ?? cos ? 4

T 3? ? ? ? ? ? 4 8 2 4 ∴ A ? 2 ,最小正周期 T ? ? 2? ∴ ?? ?2 T


4分

故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2) f ( ∴ ∴

?
4

).

6分

? 6 ? ) ? 2sin ? ? , 8分 2 8 5 3 ? sin ? ? ?? ?? , ∵ 5 2 4 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? , 10 分 5

?

答案第 4 页,总 7 页

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tan ? ?

sin ? 3 ?? cos ? 4

12 分

考点:三角函数的性质的运用 点评:解决的关键是熟练的掌握正弦函数的图像和性质,以及同角关系式,属于基础题。 21. (1) ? 【解析】 试题分析: (1)

4 ; (2)-5 7

3sin ? ? 2cos ? 3tan ? ? 2 3(?2) ? 2 4 ? ? ?? 5cos ? ? sin ? 5 ? tan ? 5 ? (?2) 7

(2)

3 3(sin 2 ? ? cos 2 ? ) 3tan 2 ? ? 3 15 ? ? ? ? ?5 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ?3

考点:本题考查了三角函数化简 点评:化弦为切或化切为弦是化简三角三角函数常用方法,注意“1”的代换技巧的运用 22 . 见解析 【 解 析 】 由 正 切 函 数 y ? tan x,{x | x ? k? ?

?
2

, k ? Z} 的 周 期 为 ? , 单 调 增 区 间 为

(?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ) 来求此函数的定义域,周期和单调区间.

23.

【解析】

24.

5 5

【解析】

答案第 5 页,总 7 页

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sin ? ? ? ?2 ? tan ? ? ?sin ? ? 0 ? cos ? ? 试题分析:根据题意可得: ,又 ? ? ? ? 可得,? , 解得: 2 2 ?sin ? ? cos ? ? 1 2 ? ?cos ? ? 0
? 2 5 ?sin ? ? ? 5 ,则 sin ? ? cos ? ? 5 . ? 5 ?cos ? ? ? 5 ? 5 ?
考点:三角运算 25.4π 【解析】函数 f(x)= 3 sin ? 26.

?
2? ?? . 2

2? ?x ?? =4π ? ? 的最小正周期为 T= 1 ?2 4? 2

【 解 析 】 ∵ 函 数 y ? s i nx 的 周 期 为 2? , ∴ 函 数 y ? 3 s i n (x2?

?
4

) 最小正周期 的

T?
27.

? 3

【解析】 试题分析:∵ y ? cos 2 x ? sin(2 x ? 度即可得到 y ? sin( 2 x ?

?
2

) ,∴将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移

?
6

? 个单位长 3

)

考点:本题考查了三角函数图象的变换 点评:三角函数的平移变换问题要弄清两个问题:一是平移的方向,二是平移的对象。 28.

1 2

【解析】 因为函数 f(x)=sin(x+φ )(0<φ <π )是偶函数, 所以 φ =

? ?? ? , 故 cos ? ? ? ? 2 ?6 ?

=cos ?

?? ? ? 1 ? ?= . ?6 2? 2 ? ?

29. (1) ?2k? ? 【解析】

?
3

,2k? ?

5? ? (2){x|-4<x<-π 或 0<x<π }. ,k ? Z ; 3? ?

试题分析: (1)解析: ?2k? ?

? ?

?
3

,2k? ?

5? ? ,k ? Z 3? ?

答案第 6 页,总 7 页

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(2)解析: 为使函数有意义,需满足 ?

?sin x ? 0
2 ?16 ? x ? 0

即?

?2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ??4 ? x ? 4

如图所示,由数轴可得函数的定义域为{x|-4<x<-π 或 0<x<π }. 考点:本题主要考查函数定义域求法,对数函数、正弦、余弦函数的性质。 点评:基础题,求函数的定义域,往往要建立不等式组,依据是“分母不为 0,偶次根号下 式子不小于 0,对数的真数大于 0”等等。 30.1 【 解 析 】 依 题 意 可 得 变 换 后 的 函 数 解 析 式 为 g ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) , 则

g(

?
3

)?

s i n ?( 2 ? 3 6

?

?

? )

?

s? i n 2

1

答案第 7 页,总 7 页



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