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【强烈推荐】广东省2009届高三数学一模试题分类汇编(集合、圆锥曲线、立体几何等)


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高三数学学习资料 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学 届高三数学一模试题分类汇编(集合 圆锥曲线,立体几何等) 一模试题分类汇编 集合, 广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编 集合,圆锥曲线,立体几何等 届高三数学一模试题分类汇编——集合与常用逻辑用语 一模试题分类汇编 广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编 集合与常用逻辑用语
一,选择题 1, (2009 广州一模)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-x=0},B={x|-1<x<1},则 A∩B= A.{0} B. {1} C. {0,1} D.φ A 2, (2009 广州一模)如果命题"p 且 q"是假命题, "非 p" 是真命题, 那么 A.命题 p 一定是真命题 B 命题 q 一定是真命题 C.命题 q 一定是假命题 D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题 D 3, (2009 广东三校一模)甲:A1 ,A2 是互斥事件;乙:A1 ,A2 是对立事件,那么 ( ) A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 B ( ) 4, (2009 东莞一模)下列命题中,真命题是 A. x ∈ R, sin x + cos x = 1.5 C. x ∈ R, x 2 + x = 1 B. x ∈ (0, π), sin x > cos x D. x ∈ (0, +∞ ) , e > 1 + x
x

D 5, (2009 番禺一模)1.设集合 P = {1, 2,3, 4}, Q = {x | 2 ≤ x ≤ 2, x ∈ R} ,则 P ∩ Q 等于 1 ( A 6, (2009 番禺一模)已知命题 p : " x ∈ [ 0,1] , a ≥ e " ,
x

). B.{3,4} C.{1} D.{-2,-1,0,1,2}

A.{1 ,2}

命题 q : " x ∈ R, x 2 + 4 x + a = 0 " , 若命题" p ∧ q " 是真命题,则实数 a 的取值范围是( A. [e, 4] A 7, (2009 江门一模) 设函数 f ( x ) = ln( ) 的定义域为 M ,g ( x ) = 则M ∩ N =
1

). D. ( ∞,1]

B. [1, 4]

C. (4, +∞ )

1 x

1 x 2 的定义域为 N , 1+ x

2

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A. x x < 0 C 8, (2009 茂名一模)若集合 A = {x | x 2 9 x < 0, x ∈ N * }, B = { y |

{

}

B. x x > 0且x ≠ 1

{

}

C. x x < 0且x ≠ 1

{

}

D. x x ≤ 0且x ≠ 1

{

}

4 ∈ N *}, 则A ∩ B 中元 y

素个数为( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

D 9, (2009 汕头一模) ,定义 A-B={x|x ∈ A 且 x B} ,若 M={1,2,3,4,5},N={2,3, 6},则 N-M=( ) A. {6} B {1,4,5} C.M D.N A 10, (2009 韶关一模)已知集合 M = { x | x < 1} , N = x | 2 x > 1 ,则 M ∩ N = A. D 11, (2009 深圳一模)已知命题 p : x ∈ R , x + 2ax + a ≤ 0 .若命题 p 是假命题,则实
2

{

}

B. { x | x < 0}

C. { x | x < 1}

D. { x | 0 < x < 1}

数 a 的取值范围是

.

0 < a <1
12, (2009 湛江一模)已知 U = { 2,3,4,5,6,7 },M = { 3,4,5,7 },N = { 2,4,5,6 }, 则 A.M∩N = { 4,6 } B 13, (2009 湛江一模)命题 p : x ∈ [0,+∞) , (log 3 2) ≤ 1 ,则
x

B.M∪N = U

C.(Cu N )∪M = U D.(Cu M )∩N = N

A . p 是假命题, p : x0 ∈ [0,+∞), (log 3 2) x0 > 1

B . p 是假命题, p : x ∈ [0,+∞), (log 3 2) x ≥ 1 C . p 是真命题, p : x0 ∈ [0,+∞) , (log 3 2) x0 > 1
2

3

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D . p 是真命题, p : x ∈ [0,+∞), (log 3 2) x ≥ 1
C

届高三数学一模试题分类汇编——圆锥曲线 一模试题分类汇编 广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编 圆锥曲线
一,选择题

x2 y 2 1, (2009 东莞一模)设 p 是椭圆 + = 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 25 16

PF1 + PF2 等于(
A.4 D

) B5 C.8 D.10

2, (2009 茂名一模)已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆 于 A,B 两点,若 ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )

A,

3 2

B,

2 2

C, 2 1

D, 2

C 3, (2009 汕头一模)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到 一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线方程为( ) A,x2-y2=2 A 4, (2009 韶关一模)圆 x 2 + y 2 4 x 4 y + 7 = 0 上的动点 P 到直线 x + y = 0 的最小距离 为 A.1 B 5, (2009 深圳一模)设平面区域 D 是由双曲线 y
2

B,x2-y2= 2

C,x2-y2=1

D,x2-y2=

1 2

B. 2 2 1

C.

2

D. 2 2

x2 = 1 的两条渐近线和椭圆 4

x2 + y 2 = 1 的右准线所围成的三角形(含边界与内部) .若点 ( x, y ) ∈ D ,则目标函数 2 z = x + y 的最大值为
3

4

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A. 1 C B. 2 C. 3 D. 6

6, (2009 湛江一模)过点 A (3 , 0 ) 的直线 l 与曲线 ( x 1) 2 + y 2 = 1 有公共点,则直线 l 斜率 的取值范围为 A.( 3 ,

3 )

B.[ 3 ,

3 ]

C.(

3 , 3

3 ) 3

D.[

3 , 3

3 ] 3

D 二,解答题 1, (2009 广州一模)已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+x2=64 相内切 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l: y=kx+m(其中 k,m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点 B,D,与双曲线 交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l,使得向量

x 2 y2 =1 4 12

DF + BE = 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
(本题主要考查圆,椭圆,直线等基础知识和数学探究,考查数形结合,类与整的数学思想 本题主要考查圆,椭圆,直线等基础知识和数学探究,考查数形结合,类与整的数学思想 本题主要考查圆 数形结合 方法,以及推理论证能力 运算求解能力 创新意识) 推理论证能力, 能力和 方法,以及推理论证能力,运算求解能力和创新意识 2 2 (1)圆 M:(x-2) +x =64,圆心 M 的坐标为(2,0),半径 R=8. 解: ∵|AM|=4<R,∴点 A(-2,0)在圆 M 内, 设动圆 C 的半径为 r,圆心为 C,依题意得 r= |CA|,且|CM|=R-r, 即|CM+|CA|=8>|AM|, ……3 分 ∴圆心 CD 的轨迹是中心在原点,以 A,M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,

x 2 y2 设其方程为 2 + 2 = 1 (a>b>0),则 a=4,c=2, a b
∴b2=a2-c2=12,∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为

x 2 y2 + = 1. 16 12
……5 分

y = kx + m (2)由 x 2 y 2 消去 y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0, =1 + 16 12
4

5

高三数学学习资料 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学 8km 设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2= . 3 + 4k 2
△1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0. ① ……7 分

y = kx + m 由 x 2 y2 消去 y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0, =1 4 12
设 E(x3,y3),F(x4,y4),则 x3+x4=

2km . 3 k2
② ……9 分

△2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0.

∵ DF + BE = 0 ,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即 x1+x2= x3+x4, ∴

8km 2km 4 1 = ,∴2km=0 或 = , 2 2 2 3 + 4k 3 k 3 + 4k 3 k2
……11 分

解得 k=0 或 m=0, 当 k=0 时,由①,②得 2 3 < m < 2 3 , ∵m∈Z,∴m 的值为-3,-2,-1,0,1,2,3; 当 m=0 时,由①,②得 3 < m < ∵k∈Z,∴k=-1,0,1. ∴满足条件的直线共有 9 条.

3,
……14 分

2, (2009 广东三校一模)知定点 F (1,0 ) 和定直线 x = 1 , M , N 是定直线 x = 1 上的两个 动点且满足 FM ⊥ FN ,动点 P 满足 MP ‖ OF , NO ‖ OP (其中 O 为坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点 ①求 OA OB 的值; ②设 AF = λ FB ,当三角形 OAB 的面积 S ∈ 2, 5 时,求 λ 的取值范围. 解:(1)设 P ( x, y ), M ( 1, y1 ), N ( 1, y 2 ) ( y1 , y 2 均不为 0 ), 由 MP ‖ OF 得 y1 = y ,即 E ( 1, y )
5

[

]

2分

6

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由 NO ‖ OP 得 y 2 =

y y ,即 N 1, x x

2分

FM ⊥ FN



FM FN = 0 (2, y1 ) ( 2, y 2 ) = 0 y1 y 2 = 4 ∴ y 2 = 4 x( x ≠ 0 )
∴ 动点 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 = 4 x( x ≠ 0 )
6分

(2)①由(1)得 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 = 4 x ( x ≠ 0 ) , F (1,0 ) , 设 直 线 l 的 方 程 为 x = my + 1 , 将 其 与 C 的 方 程 联 立 , 消 去 x 得 y 2 4my 4 = 0 . 8分 设 A, B 的 坐 标 分 别 为 ( x 3 , y 3 ), ( x 4 , y 4 ) , 则 y 3 y 4 = 4 . 9分 故 OA OB = x3 x 4 + y 3 y 4 = 3. 10 分

∴ x3 x 4 =

1 2 2 y3 y 4 = 1 , 16

②解法一:∵ AF = λ FB,∴ (1 x3 , y 3 ) = λ ( x 4 1, y 4 ) , 即

1 x3 = λx 4 λ , y 3 = λy 4,
11 分

又 y 3 = 4x3 ,
2

2 y 4 = 4x 4 .

∴ 可得 y 4 =

2

λ

, y3 = 2 λ .

故三角形 OAB 的面积 S =

1 1 OF y 3 y 4 = λ + , 2 λ 1 ≤ 5 . 即可解得

12 分

因为 λ + 14 分

1

λ

≥ 2 恒成立,所以只要解 λ +

λ

3 5 3+ 5 ≤λ≤ . 2 2

解法二:∵ AF = λ FB,∴ (1 x3 , y 3 ) = λ ( x 4 1, y 4 ) ,∴ y 3 = λy 4 ,∴ y 3 = λ y 4 (注 意到 λ > 0 )

6

7

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又由①有 y 3 y 4 = 4 ,∴ y 3 =

4 2 ,∴ y 4 = y4 λ

三角形 OAB 的面积 S = 法一)

1 1 2 1 OF ( y 3 + y 4 ) = (2 λ + )= λ + (以下解法同解 2 2 λ λ

3, (2009 东莞一模)设椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , A 是椭圆 C a2 2
1 OF1 . 3

上的一点,且 AF2 F1 F2 = 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程;

(2) 设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F (1, 0) ,交 y 轴于点 M , 若 MQ = 2 QF ,求直线 l 的斜率. 解: (Ⅰ)由题设知 F1 ( a 2 2, 0), F2 ( a 2 2, 0), 其中a >

2

由于 AF2 F1 F2 = 0 ,则有 AF2 ⊥ F1 F2 ,所以点 A 的坐标为 ( a 2 2, ± ) ……..2 分 故 AF1 所在直线方程为 y = ± (

2 a

1 + ) …………3 分 a a 2 a
2

x

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为

a2 2 , a2 1

a2 2 1 2 = a 2 ,解得: a = 2 .………….5 分 又 OF1 = a 2 ,所以 2 a 1 3
2

所求椭圆的方程为

x2 y 2 + = 1 .…………7 分 4 2

(2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y = k ( x + 1) ,则 有 M (0, k ) .……9 分
7

8

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设 Q ( x1 , y1 ) ,由于 Q , F , M 三点共线,且 MQ = 2 QF .

2 x = x1 = 2 1 3 或 .…………12 分 根据题意得 ( x1 , y1 k ) = ±2( x1 + 1, y1 ) ,解得 y1 = k k y = 1 3 (2) 2 ( k ) 2 又 Q 在椭圆 C 上,故 + = 1或 4 2 2 k ( ) 2 ( ) 2 3 + 3 = 1, 4 2
…………14 分

解得 k = 0, k = ±4 ,综上,直线 l 的斜率为 0 或 ± 4

4, (2009 番禺一模)已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ,点 A 是抛物线上横坐标为 4,且位于 x 轴上方的点,点 A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直 y 轴于点 B , 线段 OB 的中点为 M . (1)求抛物线方程; (2)过点 M 作 MN ⊥ FA ,垂足为 N ,求点 N 的坐标; (3)以点 M 为圆心, MB 为半径作圆 M ,当 K (m,0) 是 x 轴上一动点 时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

解: (1)抛物线 y 2 = 2 px 的准线 x = ∴ 所 求 抛 物

p 2

∴4 +
线

p = 5,∴ p = 2. 2
方 程 分 为
………………3

y2 = 4x

(2)∵点 A 的坐标是(4,4) 由题意得 B(0,4) , ,M(0,2) ,

4 3 ; MN ⊥ FA,∴ k MN = , 3 4 4 3 则 FA 的方程为 y= (x-1) ,MN 的方程为 y 2 = x. 3 4
又∵F(1,0) ∴ k FA = ,

8

9

高三数学学习资料 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学 8 4 x = 5 y = 3 ( x 1) 8 4 解方程组 , 得 ∴ N ( , ). ………………7 分 3 4 5 5 y 2 = x y = 5 4
(3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离, 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y = 即为 4 x (4 m) y 4m = 0,
……………9



4 ( x m), 4m
…………………10 分

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d = 令 d > 2, 解得m > 1

| 2m + 8 | 16 + (m 4) 2

,

…………………11



∴当m > 1 时,直线 AK 与圆 M 相离;
当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m < 1 时,直线 AK 与圆 M 相交. 5, (2009 江门一模)如图 6,抛物线 C : y =

……………………12 …………………13

分 分 分

……………………14

1 2 x + 1 与坐标轴的交点分别为 P , 3

F1 , F2 .
⑴求以 F1 , F2 为焦点且过点 P 的椭圆方程; ⑵经过坐标原点 O 的直线 l 与抛物线相交于

y
P B

A , B 两点,若 AO = 2OB ,求直线 l 的方程.
⑴由 y =

F1 O F2 x

1 2 x + 1 解得 P (0 , 1) , F1 ( 3 , 0) , F2 ( 3 , 0A----------3 分 ) 3


x2 所以 b = 1 , c = 3 ,从而 a = 2 ----------5 分,椭圆的方程为 + y 2 = 1 ----------6 分 4

y = kx 1 2 ⑵依题意设 l : y = kx ----------7 分,由 得 x + kx 1 = 0 ----------8 分 1 2 y = 3 x +1 3
9

10

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(3k ) 2 4 × 1 × (3) > 0 2 x A + x B = 3k 依题意得 ----------11 分,解得 k = ± ----------13 分 3 x A x B = 3 x = 3 x B A
所以,直线 l 的方程是 y =

2 2 x 或 y = x ----------14 分 3 3
2 ,且椭圆经过 2

6, (2009 茂名一模)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 圆 C: x 2 + y 2 4 x + 2 2 y = 0 的圆心 C. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程. 解: (1)圆 C 方程化为: ( x 2) + ( y + 2) = 6 ,
2 2

圆心 C (2, 2), 半径r =

6 ………………………………………………………1 分

设椭圆的方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0) ,则……………………………………..2 分 a2 b2

4 2 + =1 2 a2 b2 a = 8 .............................................................5分 2 b 2 2 2 b = 4 1 ( ) = ( ) a 2
所以所求的椭圆的方程是:

x2 y 2 + = 1 ………………………………………….6 分 8 4

(2)由(1)得到椭圆的左右焦点分别是 F1 ( 2, 0), F2 (2, 0) ,

| F2C |= (2 2) 2 + (0 + 2) 2 = 2 < r = 6
F2 在 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线……………………………………………….8 分
10

11

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设 l 的方程为 y = k ( x + 2),即kx y + 2k = 0 ……………………………………….9 分 点 C (2, 2) 到直线 l 的距离为 d =

| 2k + 2 + 2 k | 1+ k 2

,

由d =

6, 得
2

| 2k + 2 + 2 k | 1+ k 2

= 6 …………………………………………….11 分

化简得: 5k + 4 2k 2 = 0 解得: k =

2 或k = 2 …………………………………………………………13 分 5

故 l 的方程为 2 x 5 y + 2 2 = 0或 2 x +y + 2 2=0 ……………………………14 分

7, (2009韶关一模)已知动圆过定点 F (0, 2) ,且与定直线 L : y = 2 相切. (I)求动圆圆心的轨迹C的方程; (II)若 A B 是轨迹 C 的动弦,且 A B 过 F (0, 2) , 分别以 A , B 为切点作轨迹 C 的切线, 设两切线交点为 Q,证明: AQ ⊥ BQ .

解: (I)依题意,圆心的轨迹是以 F (0, 2) 为焦点, L : y = 2 为准线的抛物线上……2 分

因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x 2 = 8 y ………………….5 分 (II)∵直线AB与x轴不垂直, 设AB : y = kx + 2. A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ). …………….6 分

y = kx + 2, 2 由 1 2 可得 x 8kx 16 = 0 , y = 8 x .
抛物线方程为 y =

x1 + x2 = 8k , x1 x 2 = 16 ………8 分

1 2 1 x , 求导得y ′ = x. 所以过抛物线上 A,B 两点的切线斜率分别是 8 4
11

12

k1 =

1 1 x1 , k2 = x2 4 4

高三数学学习资料 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学 1 1 1 , k1 k2 = x1 x2 = x1 x2 = 1 4 4 16

所以, AQ ⊥ BQ

8, (2009 深圳一模)如图,两条过原点 O 的直线 l1 , l2 分别与 x 轴, y 轴成 30° 的角,已知 线段 PQ 的长度为 2 ,且点 P ( x1 , y1 ) 在直线 l1 上运动,点 Q ( x2 , y2 ) 在直线 l2 上运动. (Ⅰ) 求动点 M ( x1 , x2 ) 的轨迹 C 的方程; 且 (Ⅱ) 设过定点 T (0, 2) 的直线 l 与(Ⅰ)中的轨迹 C 交于不同的两点 A ,B , ∠AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)由已知得直线 l1 ⊥ l2 , l1 : y =

3 x, 3

l2

y
30°

P l1
30°

l2 : y = 3 x , ……… 2 分 ∵ P( x1 , y1 ) 在直线 l1 上运动, Q( x2 , y2 ) 直线 l2 上运动,
∴ y1 = 3 x1 , y 2 = 3x2 , 3
2 2 2 2

O Q

x

…………………… 3 分

由 PQ = 2 得 ( x1 + y1 ) + ( x2 + y 2 ) = 4 ,

4 2 x 2 2 即 x1 + 4 x2 = 4 , 1 + x2 = 1 , 3 3
∴ 动点 M ( x1 , x2 ) 的轨迹 C 的方程为

2

…………………… 5 分

x2 + y 2 = 1. 3 x + y 2 = 1, 3
……… 7 分
12
2

…………………… 6 分

y
(Ⅱ)直线 l 方程为 y = kx + 2 ,将其代入 化简得 (1 + 3k 2 ) x 2 + 12kx + 9 = 0 ,

T A

o
B

x

13

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设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )

∴ = (12k ) 2 36 × (1 + 3k 2 ) > 0 , k 2 > 1 ,
且 x1 + x2 =

12kx 9 , , x1 x2 = 2 1 + 3k 1 + 3k 2

…………………… 9 分 …………………… 10 分

∵ ∠AOB 为锐角,∴ OA OB > 0 ,
即 x1 x2 + y1 y2 > 0 , x1 x2 + (kx1 + 2)(kx2 + 2) > 0 ,

∴ (1 + k 2 ) x1 x2 + 2k ( x1 + x2 ) + 4 > 0 .
将 x1 + x2 = 化简得

12kx 9 , x1 x2 = 代入上式, 2 1 + 3k 1 + 3k 2
…………………… 12 分

13 3k 2 13 > 0 , k2 < . 2 1 + 3k 3
2

由 k >1且k <
2

13 39 39 ,得 k ∈ ( , 1) ∪ (1, ) . ……………………14 分 3 3 3

届高三数学一模试题分类汇编—— 一模试题分类汇编——立体几何理 广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编——立体几何理
一,选择题填空题 1, (2009 广州一模).一个几何体的三视图及其尺寸(单 位:cm) 如图 3 所示,则该几何体的侧面积为_______cm2. 80 5 5 5

5

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

2

( 2009 广 东 三 校 一 模 ) 如 图 , 设 平 面 8 俯视图
13

图3

14

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α ∩ β = EF , AB ⊥ α , CD ⊥ α ,垂足
分别为 B, D ,若增加一个条件,就能推出 BD ⊥ EF .
B α

现有① AC ⊥ β ; ② AC 与 α , β 所成的角相等; ③ AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上;④ AC ‖ EF .
E

D

A

C

β

那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是 F A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个. C 3, (2009 东莞一模)如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形, 俯视图是一个圆,那么几何体的侧面积为 A. C.

1 π 2 2 π 4

B. D.

2 π 2

π
4

A 4, (2009 番禺一模)一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的 正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( ) .

A.12

B.

2 3

C. C

3 2

D.6

5, (2009 汕头一模)在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是 互相平行的两条直线; ②若平面α‖平面β,则平面α内任意一条直线 m‖ 平面β; ③若平面α与平面β的交线为 m,平面α内的直线 n⊥直线 m,则直线 n⊥平面β; ④若平面α内的三点 A, B, C 到平面β的距离相等,则α‖β. 其中正确命题的个数为( )个. A .0 B .1 C .2 D .3 B
14

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6, (2009 湛江一模)用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图 如下图所示,则它的体积的最小值为 值为 . ,最大

10 (2 分) 16 (3 分). ,

主视图

俯视图

二,解答题 1, (2009 广州一模)如图 4,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, AB⊥AC,D,E,F 分别是棱 PA,PB,PC 的中点,连接 DE,DF,EF. (1)求证: 平面 DEF‖平面 ABC; (2)若 PA=BC=2,当三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时,求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值.. (本题主要考查空间中的线面的位置关系,空间的角,几何体体积等基础知识,考查空间想 本题主要考查空间中的线面的位置关系 等基础知识, 本题主要考查空间中的线面的位置关系,空间的角,几何体体积等基础知识 考查空间想 象能力,推理论证能力和运算求解能力) 运算求解能力 象能力,推理论证能力和运算求解能力 证明:∵D,E 分别是棱 PA,PB 的中点, P ∴DE 是△PAB 的中位线,∴DE‖AB, ∵DE 平面 PAB,AB 平面 PAB, ∴DE‖平面 PAB, ……2 分 D F ∵DE∩DF=D,DE 平面 DEF, E DF 平面 DEF, A C ∴平面 DEF‖平面 ABC. ……4 分 (2)求三棱锥 P-ABC 的体积的最大值,给出如下两种解法: 解法 1:由已知 PA⊥平面 ABC, AC⊥AB,PA=BC=2, B ∴AB2 +AC2 =BC2=4, ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =

1 1 1 × PA × S△ ABC = × PA × × AB × AC 3 3 2
……6 分

1 1 AB2 + AC2 1 BC 2 2 = × 2 × AB × AC ≤ × = × = . 6 3 2 3 2 3
当且仅当 AB=AC 时等号成立,V 取得最大值,其值为 解法 2:设 AB=x,在△ABC 中, AC =

2 ,此时 AB=AC= 2 . 3

BC2 AB2 = 4 x 2 (0<x<2),
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高三数学学习资料 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学 1 1 1 ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V = × PA × S△ ABC = × PA × × AB × AC 3 3 2 1 = x 4 x2 ……6 分 3
= 1 1 4x 2 x 4 = (x 2 2) 2 + 4 , 3 3

∵ 0<x<2 , 0<x2<4 , ∴ 当 x2=2 , 即 x = AB=AC= 2 .

2 时,V 取得最大值,其值为
……8 分

2 ,此时 3

求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值..,给出如下两种解法: 解法 1:作 DG⊥EF,垂足为 G,连接 AG, ∵PA⊥平面 ABC,平面 ABC‖平面 DEF,∴P A⊥平面 DEF, ∵EF 平面 DEF,∴ P A⊥EF. ∵DG∩PA=D,∴EF⊥平面 PAG,AG 平面 PAG,∴EF⊥AG, ∴∠AGD 是二面角 A-EF-D 的平面角. ……10 分 在 Rt△EDF 中,DE=DF= P

1 2 AB = , 2 2

EF =
D E A G F

1 1 BC = 1 ,∴ DG = . 2 2

在 Rt△ADG 中,

AG = AD 2 + DG 2 = 1+
C

1 5 = , 4 2

B

1 DG 5 ∴ ∠AGD = = 2 = . AG 5 5 2
5 . 5
……14 分

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

分别以 AB, AC, 所在直线为 x 轴, 轴, 轴, AP y z 建立如图的空间直角坐标系 A-xyz, 解法 2: 则 A(0,0,0),D(0,0,1),E(

2 ,0,1), 2
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F(0,

2 2 2 2 ,1). ∴ AE = ( , 1), = ( 0, EF , ,. 0) 2 2 2 2

……9 分 P D z

设 n = (x,y,z) 为平面 AEF 的法向量,

n AE = 0 则 , n EF = 0
B 2 x+z = 0 x ,令 x = 2 ,则 y = 2 ,z=-1, 即 2 2 x + 2 y = 0 2 2 ∴ n = ( 2,2, 1) 为平面 AEF 的一个法向量. ∵平面 DEF 的一个法向量为 DA = (0, , 1) , 0 ∴ cos < n, DA >=

F

E A C y

……11 分

n, DA 1 5 = = , | n || DA | ( 2) 2 + ( 2)2 + (1)2 × 1 5
……13 分

而 n 与 DA 所成角的大小等于二面角 A-EF-D 的平面角的大小.

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

5 . 5

……14 分

2, (2009 广东三校一模)如图,在梯形 ABCD 中, AB ‖ CD , AD = DC = CB = a ,

∠ABC = 60 ,平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE = a ,点 M 在线段 EF 上.
(1)求证: BC ⊥ 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ‖平面 BDF ?证明你的结论; (3)求二面角 B EF D 的平面角的余弦值. (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AB // CD , E M F

D A

C B

AD = DC = CB = a, ∠ABC = 60 ° ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形,

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且 ∠DCA = ∠DAC = 30 , ∠DCB = 120
° °
M F

∴ ∠ACB = ∠DCB ∠DCA = 90 ° ∴ AC ⊥ BC
分 又∵ 平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD ,交线为 AC , ∴ BC ⊥ 平面 ACFE 4分 (Ⅱ)解法一,当 EM =

E

2
C N A B

D

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3
6分 7分 8分 9分

5分 在梯形 ABCD 中,设 AC ∩ BD = N ,连接 FN ,则 CN : NA = 1 : 2

∵ EM =

3 a ,而 EF = AC = 3a ∴ EM : MF = 1 : 2 , 3

∴ MF // AN ,∴ 四边形 ANFM 是平行四边形,∴ AM // NF
又∵ NF 平面 BDF , AM 平面 BDF ∴ AM // 平面 BDF 解法二:当 EM =

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3
5

由(Ⅰ)知,以点 C 为原点,CA, CB, CF 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系, 分 则 C (0,0,0) , B (0, a,0) , A( 3a,0,0) , D (

3a 1 , a ,0 ) , 2 2
E

z F

F (0,0, a ) , E ( 3a,0, a )
∵ AM 平面 BDF ,
→ → →

∴ AM // 平面 BDF AM 与 FB , FD 共面,
也等价于存在实数 m , n ,使 AM = m FB + n FD ,
→ → → → →

D x A

C

O B y



EM = t EF

.
18

∵ EF = ( 3a,0,0)



,

19

高三数学学习资料 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学 EM = ( 3at ,0,0) ∴ AM = AE + EM = ( 3at ,0, a )
又 FD = (
→ → 3 1 a, a,a ) , FB = (0, a, a ) , 2 2









6分

从而要使得: ( 3at ,0, a ) = m(0, a, a ) + n(

3 1 a, a, a ) 成立, 2 2

3 an 3at = 2 1 1 需 0 = ma an ,解得 t = 3 2 a = am an
∴ 当 EM =

8分

3 a 时, AM // 平面 BDF 3

9分

连结 DG ,GH ,DH (Ⅲ) 解法一, EF 中点 G ,EB 中点 H , 取

∵ DE = DF ,∴ DG ⊥ EF ∵ BC ⊥ 平面 ACFE ∴ BC ⊥ EF
又∵ EF ⊥ FC ,∴ EF ⊥ FB ,又∵ GH // FB ,∴ EF ⊥ GH
E

F G

∴ BE 2 = DE 2 + DB 2 ∴ ∠DGH 是二面角 B EF D 的平面角.
在 BDE 中, DE =

6分

H D C

2a, DB = 3a, BE = 5 a. 2

AE + AB = 5a
2 2

A

B

∴ ∠EDB = 90 ° ,∴ DH =

7分

又 DG =

5 2 a, GH = a. 2 2

8分

∴ 在 DGH 中,由余弦定理得 cos ∠DGH =

10 , 10

9分 z F E

10 即二面角 B EF D 的平面角的余弦值为 . 10
19

D

C

O

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解法二:由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则 C (0,0,0) , B (0, a,0) , A( 3a,0,0) ,

D(

3a 1 , a,0) , F (0,0, a ) , E ( 3a,0, a ) 过 D 作 DG ⊥ EF , 2 2
→ →

垂足为 G . 令 FG = λ FE = λ ( 3a,0,0) = ( 3λa,0,0) ,

CG = CF + FG = ( 3aλ ,0, a ) ,
→ → → →







DG = CG CD = ( 3λa







3 1 a, a, a ) 2 2
11 分

由 DG ⊥ EF 得, DG EF = 0 ,∴ λ =

→ → 1 1 1 ∴ DG = (0, a, a ) ,即 GD = (0, a, a ) 2 2 2

∵ BC ⊥ AC , AC // EF , ∴ BC ⊥ EF ,∴ BF ⊥ EF
∴ 二面角 B EF D 的大小就是向量 GD 与向量 FB 所夹的角.
→ →

12 分

∵ FB = (0, a, a )



13 分

cos < GD, FB >=





GD FB GD FB
→ →





=

10 10

即二面角 B EF D 的平面角的余弦值为

10 . 10

14 分

3, (2009 东莞一模)如图,在长方体 ABCD A1 B1C1 D1中, AD = AA1 = 1, AB > 1 ,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2 . (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角

D1 EC D的大小为

π
4

.若存在,确定

点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 解一: (1)证明:连结 AD1,由长方体的性质可知: AE⊥平面 AD1,∴AD1 是 ED1 在
20

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平面 AD1 内的射影.又∵AD=AA1=1, ∴AD1⊥A1D ∴D1E⊥A1D1(三垂线定理) 4分 (2)设 AB=x,∵四边形 ADD1A 是正方形, ∴小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到 点 C1 可能有两种途径,如图甲的最短路程为

| AC1 |= x 2 + 4
如图乙的最短路程为

| AC1 = ( x + 1) 2 + 1 = x 2 + 2 x + 2 ∵x >1 ∴ x 2 + 2x + 2 > x2 + 2 + 2 = x 2 + 4

∴ x 2 + 4 = 2 2 ∴ x = 2 ………………9 分
(3)假设存在,平面 DEC 的法向量 n1 = (0,0,1) , D1C = (0,2,1) 设平面 D1EC 的法向量 n 2 = ( x, y, z ) ,则 x = ( 2 a ) y

z = 2 y

∴ n2 = (2 a,1,2) …………………12 分
由题意得: cos < n1 , n 2 >=

2 (2 a ) + 1 + 2
2 2 2

=

2 2

解得: a = 2 3或a = 2 + 3 (舍去)

即当点E离B为 3时, 二面角D1 ED D的大小为 . ………14 分 4 4, (2009 番禺一模)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ,
且 PA = PD =

π

2 AD ,若 E , F 分别为线段 PC , BD 的中点. 2
P E D C

(1) 求证:直线 EF // 平面 PAD ; (2) 求证:平面 PDC ⊥ 平面 PAD ; (3) 求二面角 B PD C 的正切值. .(1) 证 明 : 连 结 AC EF // PA

, 在 CPA 中
……2 分

F B

且 PA 平面 PAD , EF 平面 A

PAD

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∴ EF // 平面PAD …………………………………………………………………………………………………….4 分
(2)证明:因为面 PAD ⊥ 面 ABCD 所以, CD ⊥ 平面 PAD 又 PA = PD = 平面 PAD ∩ 面 ABCD = AD

CD ⊥ AD

∴ CD ⊥ PA ………………………………………………………………………6 分

2 π AD ,所以 PAD 是等腰直角三角形,且 ∠APD = 2 2

即 PA ⊥ PD …………………………………………………………………………………………………………………….8 分 CD ∩ PD = D ,且 CD , PD 面 ABCD

∴ PA ⊥ 面 PDC 又 PA 面 PAD 面 PAD ⊥ 面 PDC ……………………………………………………………..10 分 P (3)解:设 PD 的中点为 M ,连结 EM , MF ,则 EM ⊥ PD E 由(Ⅱ)知 EF ⊥ 面 PDC , EF ⊥ PD M PD ⊥ 面 EFM PD ⊥ MF D ∠EMF 是 二 面 角 B PD C 的 平 面
角……………………………………….12 分
F

C

Rt FEM



,

EF =

1 2 PA = a 2 4

A

B

1 1 EM = CD = a 2 2

2 a EF 4 = 2 tan ∠EMF = = 1 2 EM a 2

故所求二面角的正切为

2 ……14 分 2

另解:如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF . ∵ PA = PD , ∴ PO ⊥ AD . ∵侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD , 平面PAD ∩ 平面ABCD = AD , ∴∴ PO ⊥ 平面ABCD ,

z P E

D O

C

而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴ OF // AB ,又 ABCD 是正 方形,故 OF ⊥ AD .
x

F A B

y

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∵ PA = PD =

2 a AD ,∴ PA ⊥ PD , OP = OA = . 2 2

以 O 为 原 点 , 直 线 OA, OF , OP 为 x, y , z 轴 建 立 空 间 直 线 坐 标 系 , 则 有

a a a a a a A( , 0, 0) , F (0, , 0) , D ( , 0, 0) , P (0, 0, ) , B ( , a, 0) , C ( , a, 0) . 2 2 2 2 2 2 a a a ∵ E 为 PC 的中点, ∴ E ( , , ) . 4 2 4 a a a (1)易知平面 PAD 的法向量为 OF = (0, , 0) 而 EF = ( , 0, ) , 2 4 4 a a a 且 OF EF = (0, , 0) ( , 0, ) = 0 , ∴ EF //平面 PAD . 2 4 4 a a a a (2)∵ PA = ( , 0, ) , CD = (0, a, 0) ∴ PA CD = ( , 0, ) (0, a, 0) = 0 , 2 2 2 2
∴ PA ⊥ CD ,从而 PA ⊥ CD ,又 PA ⊥ PD , PD ∩ CD = D , ∴ PA ⊥ 平面PDC ,而 PA 平面PAD , ∴平面 PDC ⊥ 平面 PAD

a 2 a a 设平面 PBD 的法向量为 n = ( x, y, z ) .∵ DP = ( , 0, ), BD = ( a, a, 0) , 2 2
(3)由(2)知平面 PDC 的法向量为 PA = ( , 0, ) .

a 2

a a x + 0 y + z = 0 ∴由 n DP = 0, n BD = 0 可得 2 ,令 x = 1 ,则 y = 1, z = 1 , 2 a x + a y + 0 z = 0
故 n = (1,1, 1) ,∴ cos < n, PA >=

n PA n PA

=

a

2 a× 3 2

=

6 , 3

即二面角 B PD C 的余弦值为

6 2 ,二面角 B PD C 的正切值为 . 3 2

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5, (2009 江门一模)如图 5,直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中, D AA1 B 是直二面角,

D CC1 B 是 45 0 二面角,侧面 AA1 D1 D // 侧面BCC1 B1A1 AB = AD = AA1 = 2 . , D
1

⑴求三棱锥 C B1C1 D1 的体积; ⑵求证 B1 D1 ⊥ 平面 CDD1C1 ; ⑶求二面角 C1 B1 D1 C 的平面角的余弦值.

B1
A B

C1
D
C

图5 ⑴ ABCD A1 B1C1 D1 是直四棱柱,所以 ∠BAD , ∠BCD 分别是二面角 D AA1 B ,

D CC1 B 的平面角, ∠BAD = 90 0 , ∠BCD = 45 0 -------1 分,
又因为 AA1 D1 D // BCC1 B1 ,所以 AD // BC -------2 分 在上底面 A1 B1C1 D1 中, D1 E ⊥ B1C1 , 作 垂足为 E , A1 B1 ED1 是边长为 2 的正方形, 则

C1 E = D1 E = 2 -------3 分,所以三棱锥 C B1C1 D1 的体积
1 1 1 8 V = × S B1C1D1 × CC1 = × × B1C1 × D1 E × CC1 = -------5 分 3 3 2 3
⑵在三角形 B1C1 D1 中, B1 D1 = 2 2 , C1 D1 = 2 2 , B1C1 = 4 -------6 分

B1C1 = B1 D1 + C1 D1 ,所以 B1 D1 ⊥ C1 D1 -------7 分
2 2 2

又因为 ABCD A1 B1C1 D1 是直四棱柱, CC1 ⊥ A1 B1C1 D1 ,从而 CC1 ⊥ B1 D1 ----8 分 因为 CC1 ∩ C1 D1 = C1 ,所以 B1 D1 ⊥ 平面 CDD1C1 -------9 分 ⑶由⑴知,以 A 为原点, AB , AD , AA1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角 坐标系-------10 分,依题意 C (2 , 4 , 0) , B1 (2 , 0 , 2) , C1 (2 , 4 , 2) , D1 (0 , 2 , 2) ---11 分 设平面 B1CD1 的一个法向量为 n1 = ( a , b , c) ,依题意

n1 B1C = 4b 2c = 0 n1 B1 D = 2a + 2b = 0

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----12 分 , 设 b = 1 , 得 n1 = (1 , 1 , 2) ----13 分 , 平 面 B1CC1 的 一 个 法 向 量 为

n2 = (1 , 0 , 0) , cos θ =
3 -------14 分 12

n1 n2 3 = ,所以二面角 C1 B1 D1 C 的平面角的余弦值 | n1 | | n2 | 12



6, (2009 汕头一模)如图,己知BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB =600,E,F 分别是 AC,AD 上的动点,且

(1)求证:不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC: (2)若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60°,求 λ 的值.

AE AF = = λ (0 < λ < 1) AC AD

(1)证明:因为 AB⊥平面 ABCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD,又 AB∩BC=B, 所 以 , CD ⊥ 平 面 ABC,………………………………………………3 分 又 在 △ ACD 中 , E , F 分 别 是 AC , AD 上 的 动 点 , 且

所以,EF‖CD,总有 EF⊥平面 ABC:EF 平面 BEF, 所以,不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC…………………………6 分 (2)解:作 BQ‖CD,则 BQ⊥平面 ABC, 所以,BQ⊥BC,BQ⊥BE, 又 BQ 与 CD,EF 共面,所以,平面 BEF∩平面 BCD=BQ, 所以,∠CBE 为平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的平面角为 60°, 所以,cos60°= 所以,2BM=BE 又

AE AF = = λ (0 < λ < 1) AC AD

BM 1 = , BE 2
①…………………………9 分

AE CE = λ ,所以, =1- λ , AC AC EM CE = =1- λ , AB AC
25

在ABC 内作 EM⊥BC 交 BC 于 M, 由

又在BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1,

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所以,BD= 2 ,又在 RtABD 中,∠AD B= 600, 所以,AB= 6 ,所以,EM= 6 (1- λ ) 又 ② ③

由①②③得:4 λ 2=6(1- λ )2+ λ 2

BM AE = = λ ,且 BC=1,所以,BM= λ BC AC

λ 2-4 λ +2=0, λ =2- 2 或 λ =2+ 2 (舍去) λ =2- 2 ..... 分 .....14
故当若平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的大小为 60°时, 如图,AB 为圆 O 的直径, E ,F 在圆 O 上,AB // EF , 点 矩形 ABCD 7, (2009 深圳一模) 和圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB = 2 , EF = 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ⊥ 平面 CBF ; C (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,二面角 D FE B 的大小为 60 ? 【解】 (Ⅰ)证明:∵ 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF , CB ⊥ AB , 平面 ABCD ∩ 平面 ABEF = AB ,

D

B

∴ CB ⊥ 平面 ABEF . O H ∵ AF 平面 ABEF ,∴ AF ⊥ CB , 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AF ⊥ BF , A ∴ AF ⊥ 平面 CBF . ∵ AF 平面 ADF ,∴ 平面 DAF ⊥ 平面 CBF . …………………4 分 (Ⅱ)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ⊥ 平面 CBF ,∴ FB 为 AB 在 平面 CBF 上的射影, 因此, ∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ………………………5 分 ∵ AB // EF ,∴ 四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH ⊥ AB ,交 AB 于 H . AB EF 1 AB = 2 , EF = 1 ,则 AH = = . 2 2

.

E

F M

在 RtAFB 中,根据射影定理 AF 2 = AH AB ,得 AF = 1 .………………………7 分

sin ∠ABF =

AF 1 = ,∴ ∠ABF = 30 . AB 2
…………………8 分

∴ 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30 .
26

27

高三数学学习资料 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学 (Ⅲ)(解法一)过点 A 作 AM ⊥ EF ,交 EF 的延长线于点 M ,连 DM . 根据(Ⅰ)的证明, DA ⊥ 平面 ABEF ,则 DM ⊥ EF ,
∴ ∠DMA 为二面角 D FE B 的平面角, ∠DMA = 60 .…………………9 分

1 3 , AF = 1 ,∴ FH = . ………………… 10 分 2 2 3 . 又∵ 四边形 AMFH 为矩形, ∴ MA = FH = 2 3 3 ∴ AD = MA tan ∠DMA = 3= . 2 2 3 因此,当 AD 的长为 时,二面角 D FE B 的大小为 60 . …………………12 分 C 2 z
在 RtAFH 中,∵ AH = (解法二)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA , OG , AD 方向 分别为 x 轴, y 轴, z 轴方向建立空间直角坐标系(如图) 设 AD = t (t > 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t )

D O H

B
E

1 3 在 RtAFH 中,∵ AH = , AF = 1 ,∴ FH = . 2 2
x

y
F M

A

1 3 1 3 ∴ 点 F 的坐标为 ( , ,0) ,点 E 的坐标为 ( , ,0 ) , 2 2 2 2 1 3 3 3 ∴ DF = ( , ,t ) , DE = ( , , t ) 2 2 2 2
设平面 DEF 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,则 n1 DF = 0 , n1 DE = 0 .

1 x + 23 y tz = 0, 2 即 3 y tz = 0. 3 x + 2 2 ∴ n1 = (0, 2t , 3 )

令z =

3 ,解得 x = 0, y = 2t

…………………10 分

取平面 BEF 的一个法向量为 n 2 = (0, 0, 1) ,依题意 n1 与 n 2 的夹角为 60

27

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高三数学学习资料 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学 ∴ cos 60 = n1 n 2 n1 n 2
,即

1 0+0+ 3 3 = , 解得 t = ± (负值舍去) 2 2 4t 2 + 3 1
…………………12

因此,当 AD 的长为 分

3 时,二面角 D FE B 的大小为 60 . 2

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