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高中数学数列特殊解法



对于一些基本的求数列的问题。一般采用比较浅的方法就可以得到、但是对于无法用基本 原理解的数列就需要特殊解法

不动点法

如果数列

{an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有
ph ? qr , r ? 0, a1 ? ?

an?1 ?

pan ? q ra n ? h (其中 p、q、

r、h 均为常数,且

h px ? q x? r) rx ? h . ,那么,可作特征方程

(1)当特征方程有两个相同的根 ? (称作特征根)时,

a ? ? , n ? N; 若 a1 ? ? , 则 n
若 a1 ? ? ,则 在

an ?

1 1 r ? ? , n ? N, bn ? ? (n ? 1) , n ? N. bn a1 ? ? p ? r? 其中 特别地,当存

n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时,无穷数列 {an } 不存在.
an ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1 , n ? N,

(2)当特征方程有两个相异的根 ?1 、 ?2 (称作特征根)时,则

cn ?
其中

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 ( ) , n ? N, (其中a1 ? ?2 ). a1 ? ?2 p ? ?2 r
21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 0 ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。 不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 0 ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3



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