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1.1.2余弦定理(二)B


第一章 解三角形

1.1.2 余弦定理(二)

3.余弦定理的应用 (1)已知两边和它们的夹角,求第三边和其 他两个角; 例3 在△ABC中,已知b=60cm,c=34cm, A=410 ,解三角形(边长精确到1cm,角度 精确到10)

练习

1. 在?ABC中,已知a =2 ,c ? 6 ? 2, B ? 135 , 解此三角形
0

b ? 2 2, A ? 30 , C ? 15
0

0

2. 已知△ABC中,a=8,b=7,B=600,

求c及S△ABC

解: b ? c ? a ? 2ac cos B ? 2 2 2 0 ?7 ? c ? 8 ? 2 ? 8 ? c ? cos60
2 2 2

整理得:c2-8c+15=0 解得:c1=3, 1 ? S ?ABC ? ac1 sinB ? 6 3 2 1 或S ?ABC ? ac2 sinB ? 10 3 2

c2=5

3.锐角三角形中,边a、b是方程 x ? 2 3 x ? 2 ? 0 的两根,角 A、B满足2sin A ? B) 3 ? 0, ( ? 求角 C 的度数,边 c 的长度及?ABC的面积 3 解: 2sin A ? B) 3 ? 0, sin A ? B) ? ( ? ? ( ? 2
2

? ?ABC为锐角三角形
o

? A ? B ? 120

?C ? 60
2

o

?边a、b是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0的两根

? a ? b ? 2 3,ab ? 2

?c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

? a ? b) ? 3ab (
2

? 12 ? 6 ? 6
?c ? 6
? S ?ABC 1 1 3 3 ? ab sinC ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

(2)已知三边,求三个角。

例4 在△ABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm, c=161.7 ,解三角形(角度精确到1’)

练习4.在△ABC中,已知a= 6 ,b=2, c= 3 ? 1 ,解三角形. 解:由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 b ? c ? a ? 2 ? ( 3 ? 1) ? ( 6 ) ? 1 cos A ? 2bc 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1)

? A ? 60?
a ? c ? b ? ( 6 ) ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 2 cos B ? 2ac 2 2 ? 6 ? ( 3 ? 1)
2 2 2 2 2 2

? B ? 45?
C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 60? ? 45? ? 75?

5. 在

?ABC 中 , 已 知 b= 4 3 , c= 2 3 ,
A= 120 ,求 a.
0

a ? 2 21

6. 在 ?ABC 中,已知

a= 2

3 , b= 2

2



c= 6 ? 2 ,求 A、B、C 的值。

A ? 60 , B ? 45 , C ? 75
0 0

0

(3)判断三角形的形状 例5 在△ABC中, a ? b ? c, 那么A是(A)
2 2 2

A. 钝角 C. 锐角

B. 直角 D. 不能确定

提炼:设a是最长的边,则 △ABC是钝角三角形 ? a △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形
2

?b ?c
2

2

? a ?b ?c
2 2

2

? a ?b ?c
2 2

2

练习:
7. 在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状 分析: △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。

?, ?)?b ? a2 ? c2 B?(90 180
2

变式:若已知三边的比是7:10:6,怎么求解

8.一钝角三角形的边长为连续自然数,则这 三边长为( B) A. 1,2,3 C. 3,4,5 B. 2,3,4 D. 4,5,6

分析: 要看哪一组符合要求,只需检验 哪一个选项中的最大角是钝角,即该角 的余弦值小于0。

9.在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值

13 14

,

分析:求最大角的余弦值,最主要的是判断 哪个角是最大角。由大边对大角,已知两边 可求出第三边,找到最大角。
解: c ? a ?b ? 2abcosC
2

2

2

则有:b是最大边,那么B 是最大角 2? 2? 2 2? 2? 2 cos B ? a c b ? 3 7 8 ?? 1 2ac 2?3?7 7

? 7 ?8 ? 2?7?8?13 ?9 14 ?c ?3
2
2

4.小结:
(1)余弦定理:

(2)推论:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2 2 2 2bc a ?b ?c cos C ? 2ab 2 2 2 c ? a ?b cos B ? 2ca

(3)余弦定理可以解决的有关三角形 的问题:
1) 已知两边及其夹角,求第三边和其他 两个角。

2) 已知三边求三个角。
3) 判断三角形的形状。

5.作业:
5 3 1.在?ABC 中, A ? ? , cos B ? cos 13 5 (1)求 sin C 的值; (2)设BC ? 5, 求?ABC的面积
2.在?ABC 中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且 tan C ? 3 7 (1)求 cos C ??? ??? 5 ? ? (2)设CB ? CA ? , 且a ? b ? 9, 求c 2


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