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湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文



宜昌市葛洲坝中学 2015-2016 学年第一学期 高二年级期中考试 文科数学试题

考试时间:2015 年 11 月 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.命题“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 C. ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 )

B. ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 )

2.“事件 A 与事件 B 是互斥事件”是“事件 A 与事件 B 是对立事件”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3. 在空间直角坐标系 o ? xyz 中,设点 M 是点 N (2,?3,5) 关于坐标平面 xoy 的对称点,则 线段 MN 的长度等于( A.4 B.6 ) C.10 D. 38

4. 若过点 (1, 2) 总可以作两条直线和圆 x2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? 5k ? 15 ? 0 相切,则实数 k 的取值 范围是( A. k ? 1 ) B. k ? 4或k ? 16 C. 1 ? k ? 4或k ? 16 D. k ? 16

? ?a ? ? bx ?中 5. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表,根据表可得回归方程 y
? 为 9.4 ,据此预报广告费用为 6 万元时销售额为( 的b
广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) A.63.6 万元 B.65.5 万元 4 49 2 26 ) 3 39 5 54 D.72.0 万元

C.67.7 万元

6.圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于 A(0, ?4), B(0, ?2) 两点,则圆 C 的标准 方程为(
2

)
2

A. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5 C. ( x ? 5) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

B. ( x ? 3) ? ( y ?13) ? 5
2 2

D. ( x ? 5) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

7. 已知直线

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1有公共点,则( a b
B. a 2 ? b 2 ? 1 C.

) D.

A. a 2 ? b 2 ? 1

1 1 ? ?1 a 2 b2

1 1 ? ?1 a 2 b2
1

8.左下图所示的程序框图表示的算法的功能是( A.计算小于 100 的奇数的连乘积 B.计算从 1 开始的连续奇数的连乘积



C.从 1 开始的连续奇数的连乘积,当乘积大于 100 时,计算奇数的个数 D. 计 算 满 足 不 等 式 1×3×5×?×n≥100 的 n 的 最 小 值 ( 其 中 : n 为 奇 数 )

9. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物.右上图是根据葛洲坝中学学生 社团某日在西坝、伍家岗两个地点附近的 PM 2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/立方米) 列出的茎叶图,则这两个地点的 PM 2.5 浓度的方差较小的是( A.西坝 B.伍家岗 C.西坝、伍家岗两个地点相等 ) D.无法确定 )

10.设 A 是单位圆上一定点,在圆周上任取一点 P,则弦长 AP > 3 的概率为( A.

2 3
2 2

B.

1 3
2 2

C.

1 4

D.

1 6


11.两圆 x ? y ? 2 x ? 0 与 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 上的点的最远距离为( A. 4 ? 5 B. 6 ? 5 C. 4 ? 5 D. 6 ? 5

6
1
正视图 侧视图

12.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积的最大值为( A. )

3 2

B.

3 4

C.

1 2

D.

1 4

俯视图

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. 把 119 化为 6 进制数,结果为 .

14. 已知两直线 ?

?l1 : m x ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 ,若 l1 ? l 2 ,则实数 m = ?l 2 : 3x ? m y ? 3 ? 0

.

15.据央行统计,2015 年上半年,我国网购用户达 3.5 亿人,平均每人消费超过 3000 元,
2

网上消费总额达到 1.05 万亿元。与此同时网购投诉也有所增加,为了了解宜昌消费者投诉 的具体情况,三峡日报特约记者在街头组织了一次问卷调查,最后得到了 200 份有效问卷, 现要从中抽取 40 份作样本,用系统抽样法,将全体问卷随机按 1-200 编号,并按编号顺序 平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号,?,196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 10 组抽出的号码应是_________. 16.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 2 有且只有一个公共点,则 b 的取值范围是 三.解答题(第 17 题 10 分,第 18-22 题每题 12 分)
2 17. p : 关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 , 对一切 x ? R 恒成立, q: 函数 f ( x) ? (3 ? 2a) x

.

是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 18. 已知直线 l 经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点. ⑴若直线 l 平行于直线 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ,求直线 l 的一般式方程; ⑵若直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 10,求直线 l 的斜截式方程。 19.某城市 100 户居民的月平均用电量 (单位:度),以[160, 180),[180, 200) ,[200,220) ,[220.240) ,[240, 260),[260,280),[280,300)分组 的频率分布直方图如右图所示. (1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位 数; (3)在月平均用电量分别为:[220.240),[240,260),[260,280),[280,300)的四 组用户中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在[220.240)的用户中应抽 取多少户? 20.已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1.
2

(Ⅰ)设集合 A ? {?1,1,2,3,4,5} 和 B ? {?2,?1,1,2,3,4} ,分别从集合 A , B 中随机取一个 数作为 a 和 b ,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数的概率.
?x ? y ? 8 ? 0 ? ?y ? 0 ?

(Ⅱ)设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0

内的随机点,求函数 f ( x ) 在区间 [1,??) 上是增函数的

3

概率. 21.如下图,在正三棱柱(底面是正三角形,侧棱垂直于底面的三棱柱) ABC ? A1 B1C1 中,

AB ? AA1 ,D 是 BC 上一点,且 AD ? C1 D .
(1)求证: A1 B // 平面 AC1 D (2)在棱 CC1 上是否存在一点 P,使直线 PB1 ? 平面 AC1 D ,若存在,找出这个点,并加 以证明;若不存在,请说明理由

22. 已知过点 A(0, 1),斜率为 k 的直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 相交于 M , N 两 点。 (1)求 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN 为定值 (3)求弦 MN 的中点 P 的轨迹方程.

???? ? ????

4

宜昌市葛洲坝中学 2015-2016 学年第一学期 高二年级期中考试试卷文科数学试题 参考答案 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) DACC BADD ABBC 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. 315(6) 14. 0 或-1 15. 47 16. ? 1 ? b ? 1 或 b ? ? 2

三.解答题(第 17 题 10 分,第 18-22 题每题 12 分) 17.解:设 ,由于关于 x 的不等式 对一切 x∈ R 恒成

立,所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点,

故Δ=

,∴

.

????????3 分

又∵函数 f(x)= (3 ? 2a) 是增函数,∴
x

,∴

.???4 分 ?????5 分

由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.

若 P 真 q 假,则 ?

?? 2 ? a ? 2 ∴ ?a ? 1



?????????7 分

若 p 假 q 真,则 ?

?a ? ?2, 或a ? 2 ∴ a ? ?2 ;???????????9 分 ?a ? 1
或 a ? ?2 .???????10 分

综上可知,所求实数 a 的取值范围为

18.⑴由 ?

?2 x ? y ? 8 ? 0 ? x ? 3 得? ,即直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交于点 (3, 2) , ? x ? 2 y ?1 ? 0 ? y ? 2

所以直线 l 经过点 (3, 2) ,????4 分 因为直线 l 平行于直线 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ,可设直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? m ? 0 (m ? 4) , 则有 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? m ? 0 得 m ? ?5 , 所以直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? 5 ? 0 .????8 分

5

⑵易知直线 l 在两坐标轴上都有截距,可设直线 l 的方程为 则由题意有: ? 3

x y ? ? 1 (ab ? 0) , a b

? ?a ? b2? 10 ?a ? 6 ?a ? 5 得 或? ,????10 分 ? ?1 ? b ? 4 ?b ? 5 ? ? ?a b x y x y 所以直线 l 的方程为 ? ? 1 或 ? ? 1 . 6 4 5 5 2 即 y ? ? x ? 4 或 y ? ? x ? 5 ???????12 分 3
(也可以设斜截式方程,请参照上述过程给相应步骤赋分) 19. (1) 由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1, 解方程可得 x=0.0075,∴直方图中 x 的值为 0.0075; ???????4 分 (2)月平均用电量的众数是(220+240)/2=230, ∵ (0.002+0.0095++0.011) ×20=0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220, 240) 内, 设中位数为 a,由(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5 可得 a=224 ∴月平均用电量的中位数为 224; ???????8 分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有 0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有 0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有 0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有 0.0025×20×100=5, ∴抽取比例为 11/(25+15+10+5)=1/5, ∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25×1/5=5 户???????12 分 20.解:要使函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,

? 4b ? 1 ,即 a ? 0 且 2b ? a . 2a (Ⅰ)所有 ( a, b) 的取法总数为 6 ? 6 ? 36 个, 满足条件的 ( a, b) 有 (1,?2) , (1,?1) , (2,?2) , (2,?1) , (2,1) , (3,?2) , (3,?1) , (3,1) , (4,?2) , (4,?1) , (4,1) , (4,2) , (5,?2) , (5,?1) , (5,1) , (5,2) 共 16 个, 16 4 ? . 所以,所求概率 p ? ???????6 分 36 9 ? x ? y ? 8 ? 0, 1 ? y (Ⅱ)如图,求得区域 ? x ? 0, 的面积为 ? 8 ? 8 ? 32 . 2 ?y ? 0 8 x ? 2y ? 0 ? P ? x ? y ? 8 ? 0, 16 8 由? 求得 P ( , ) O 3 3 ?x ? 2 y ? 0 8 x 1 8 32 所以区域内满足 a ? 0 且 2b ? a 的面积为 ? 8 ? ? . 2 3 3 32 1 所以,所求概率 p ? 3 ? . ????????12 分 32 3
则a ? 0且?

6

21.证明: (Ⅰ)连接 A1C 交 AC1 于 E 点,则 A1 E ? EC . 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,∴CC1⊥AD, 又 AD⊥C1D,CC1∩C1D=C1, ∴AD⊥侧面 BCC1B1,∴AD⊥BC. ∵△ABC 是正三角形,∴D 是 BC 的中点. ∴ED∥A1B. ∵A1B ? 平面 AC1D,ED? AC1D. ∴A1B∥平面 AC1D.?????6 分 (Ⅱ)在棱 CC1 上存在一点 P,P 为 CC1 的中点,使直线 PB1⊥平面 AC1D.下面给出证明: 由(Ⅰ)可知:AD⊥平面 BCC1B1,∴AD⊥B1P. 又 D 为边 BC 的中点.设 C1 P ? B1 P ? Q ,如图,在正方形 BCC1B1 中,可得 Rt△CC1D≌Rt△ C1B1P,∴∠CC1D=∠C1B1P,易得 ?C1QP ? 90? ,即 B1P⊥C1D. 又 AD∩DC1=D,∴B1P⊥平面 AC1D.?????12 分

22.解: (1)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 联立方程得 ?

? y ? kx ? 1
2 2 ? x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0

化简为: (1 ? k 2 ) x2 ? (?4 ? 4k ) x ? 7 ? 0

? ? (?4 ? 4k )2 ? 4 ? 7 ? (1 ? k 2 ) ? ?12k 2 ? 32k ?12
直线 l 与圆相交于 M , N 两点,故 ? ? ?12k ? 32k ? 12 ? 0
2

解得

4? 7 4? 7 ?k? 3 3

4分

(2)设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,

???? ? ???? AM ? AN ? x1x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1)
= x1 x2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 1 = x1 x2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? ?k ( x1 ? x2 ) ? 2? ? 1 = x1 x2 ? k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1
2

= (1 ? k ) x1 x2
2

又 x1 x2 ?

7 4 ? 4k , x1 ? x2 ? , 2 1? k 1? k 2
7

故 AM ? AN ? 7

???? ? ????

8分

(3 设中点 P( x, y) , 易知 CP ? MN ,即 CP ? AP , 故动点 p 在以 AC 为直径的圆上运动, 又 A(0,1) , C (2,3) ,故以 AC 为直径的圆的方程为 ( x ? 0)(x ? 2) ? ( y ? 1)( y ? 3) ? 0 , 化简 得 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 , 而 中 点 p 必 在 圆 C 内 , 故 点 p 的 轨 迹 方 程 为

x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 (在圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 内的部分)

12 分

8



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