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高中数学立体几何知识点及练习题



高中数学立体几何知识点及典型题 一 空间几何体 ㈠ 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做 多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体 的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几 何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特

征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都 是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类
图 1-1 棱柱 图 1-1 棱柱

1.3 棱柱的性质 ⑴ 侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是 矩形。 1.4 长方体的性质 ⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶 点上三条棱的平方和: AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵ 长方体的一条对角线 AC1 与过定点 A 的三条棱所成 的角分别是 α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线 AC1 与过定点 A 的相邻三个面所组成的角分别为 α、 β、
1 图 1-2 长方体

γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 面周长和侧棱为邻边的矩形。 1.6 棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c·h (c 为底面周长,h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的 直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的 曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩 形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r·h S 圆柱全 = 2π r h + 2π r V 圆柱 = S 底 h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥: 有一个面是多边形, 其余各 面是有一个公共顶点的三角形, 由这些 面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥: 如果有一个棱锥的底面是 正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, 相似比等于顶点到截面的距离 与顶点到底面的距离之比; ⑵ 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ⑶ 正棱锥中的六个元素,即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射 影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH),构成四个直角三角 形(三角形 SOB、SOH、SBH、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图:正 n 棱锥的侧面展开图是由 n 个全等的等腰三角形
2 图 1-4 棱锥
2

sin2α + sin2β + sin2γ = 1

1.5 棱柱的侧面展开图:正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底

图 1-3 圆柱

(r 为底面半径,h 为圆柱的高)

组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 S 正棱锥侧 = 0.5 c h’ (c 为底面周长,h’为侧面斜高) S 正棱锥全 = 0.5 c h’ + S 底面 V 棱锥 = 1/3 S 底面·h (h 为棱锥的高) 4 圆锥的结构特征 4-1 圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的 直线为旋转轴, 其余各边旋转而形成的曲面所围成的 几何体叫做圆锥。 4-2 圆锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面都是圆, 截面直径与底面直径 之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之 比; ⑵ 轴截面是等腰三角形; ⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和: l2 = r2 + h2 4-3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径 的扇形。 4-4 圆锥的面积和体积的公式 S 圆锥侧 = π r·l (r 为底面半径,l 为母线长) (h 为圆锥高) S 圆锥全 = πr·(r + l) V 圆锥 = 1/3 πr2·h 5 棱台的结构特征 5.1 棱台的定义: 用一个平行于底面的平面去截 棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 5.2 正棱台的结构特征 ⑴ 各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是 正多边形; ⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形; ⑷ 棱台经常被补成棱锥,然后利用形似三角形进行研究。 5-3 正棱台的面积和体积公式 S 棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a 为上底边长,b 为下底边长,h’为棱台的斜高,n 为边数) S 棱台全 = S 上底 + S 下底 + S 侧 V
棱 台

图 1-5 圆锥

图 1-6 棱台

=



6 圆台的结构特征 6-1 圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间 的部分称为圆台。 6-2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆; ⑵ 圆台的截面是等腰梯形; ⑶ 圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。 6-3 圆台的面积和体积公式 S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R 为上下底面半径) (h 为圆台的高) S 圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l V 圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h 7 球的结构特征 7-1 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋 转轴, 半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。 空 间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球 面,球面所围成的几何体称为球体。 7-2 球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面; ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离 的平方差:r2 = R2 – d2 ★7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路 是: ⑴ 根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形; ⑵ 找出多面体与球体连接的地方, 找出对球的合适的切割面, 然后做出剖面图; ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题; ⑷ 注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线; 球外切正方体,球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S 球面 = 4 π R2 V 球 = 4/3 π R
3

图 1-7 圆台

图 1-8 球

(R 为球半径)

㈢ 空间几何体的视图 1 三视图:观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。 侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。 俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。


注意:⑴ 俯视图画在正视图的下方, “长度”与正视图相等;侧视图画在正视 图的右方, “高度”与正视图相等, “宽度”与俯视图相等。(正侧一样高,正 俯一样长,俯侧一样宽) ⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形,而不是直观图。 2 直观图 2-1 直观图的定义:是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形, 直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 2-2 斜二测法做空间几何体的直观图 ⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy,即取∠xOy = 90°; ⑵ 画直观图时,把它画成对应的轴 O’x’、O’y,取∠x’O’y’ = 45°或 135°, 它们确定的平面表示水平平面; ⑶ 在坐标系 x’o’y’中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不 变;平行于 x 轴的线段保持长度不变;平行于 y 轴的线段长度减半。 结论:采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的 2-3 解决关于直观图问题的注意事项 ⑴ 由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图” ; ⑵ 由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的 轮廓线和棱画成虚线。 二 点、直线、平面之间的关系 ㈠ 平面的基本性质 1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化 图形语言 文字语言 点 A 在直线 a 上 点 B 在直线 a 外 点 A 在平面 α 内 点 B 在平面 α 外 符号语言 A∈a B a A∈α B α

2 4

直线 a 在平面 α 内 直线 b 在平面 α 外

a α b α



直线 a 与平面 α 相交于点 A

a∩α=A

直线 a 与直线 b 相交于点 A

a∩b=A

平面 α 与平面 β 交于直线 a

α∩β=a

★2 平面的基本性质 公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理二:不共线的三点确定一个平面。 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 推论三:两条平行直线确定一个平面。 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集 合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡ 空间图形的位置关系 1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 即:a∥b,b∥c 相等或互补。 1.3 异面直线 ⑴ 定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 ⑵ 判定定理: 连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直 线为异 即: 面直线。 a∥c 1.2 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角



1.4 异面直线所成的角 ⑴ 异面直线成角的范围:(0°,90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法:平移法。

图 2-1 异面直线

注意: 找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的 特殊点(如中点、端点等),形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)

图 2-2 直线与平面的位置关系

3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理:

1.3 性质定理:

1.4 判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法):l ∩ α = ф ,l∥α (用于判断); ⑵ 利用判定定理:线线平行 ⑶ 利用平面的平行:面面平行 断)。 2 线面斜交和线面角:l ∩ α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平 面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角 θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0° ,90° ] 注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°;
7 图 2-3 线面角

线面平行 (用于证明); 线面平行 (用于证明);

⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判

当直线垂直于平面时,θ=90° 3 面面平行 3.1 面面平行的定义: 空间两个平面没有公共点, 则 称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理: ⑴ 判定定理 1:如果一个平面内的两条相交直线都 平行于另一个平面,那么两个平面相互平行。 即:
图 2-4 面面平行

推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一 个平面的两条线段,那么这两个平面平行。即:

⑵ 判定定理 2:垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即:

图 2-5 判定 1 推论

3.3 面面平行的性质定理 ⑴ ⑵ (面面平行 线面平行)
图 2-6 判定 2

⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线 垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定 理:

1.3 线面垂直的性质定理: ⑴ 若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。 即: ⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。 即:


1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义,用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。 ⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。 ⑸ 如果两平面垂直, 在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直于 另一平面。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理 ⑴ 斜线定理: 从平面外一点向这个平面所引的所有线段中, 斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。 如图: ⑵ 三垂线定理及其逆定理 已知 PO⊥α,斜线 PA 在平面 α 内的射影为 OA,a 是平面 α 内的一条直线。 ① 三垂线定理:若 a⊥OA,则 a⊥PA。即垂直射影则 垂直斜线。 ② 三垂线定理逆定理:若 a⊥PA,则 a⊥OA。即垂直 斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直; ② 作出和证明二面角的平面角; ③ 作点到线的垂线段。 2 面面斜交和二面角 2.1 二面角的定义:两平面 α、β 相交于直线 l,直线 a 是 α 内的一条直线,它 过 l 上的一点 O 且垂直于 l,直线 b 是 β 内的一条直线,它也过 O 点,也垂直于 l,则直线 a、b 所形成的角称为 α、β 的二面角的平面角,记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围:∠α-l-β ∈[0°,180°] 2.3 二面角平面角的作法: ⑴ 定义法:证明起来很麻烦,一般不用; ⑵ 三垂线法:常用方法; ⑶ 垂面法:常用于空间几何体中的二面角。 3 面面垂直 3.1 面面垂直的定义: 若二面角 α-l-β 的平面角为 90°, 则两平面 α⊥β。 3.2 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互 相垂直。
9 图 2-9 面面垂直 图 2-8 三垂线定理 图 2-7 斜线定理

即:

3.3 面面垂直的性质定理 ⑴ 若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为 90 ° ; ⑵

图 2-10 面面垂直性质 2



图 2-11 面面垂直性质 3



三 立体几何主要难点

1 三种角的对比 角的类 型 异面直 线 所成角 0°~ 90° 1 找:利用平移法找出异面直线所成角; ⑴ 固定一条直线,平移另一条直线, ⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。 2 证:证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角,常 需证明线线平行; 3 计算:通过解三角形,算出异面直线角的角度。 直线与 平面 所成角 0~90° 1 找:作出斜线与其在平面内射影的夹角,一般用三垂线 定理; 2 证:证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角,
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范围

解题步骤

常证明线面垂直; 3 计算:通过解三角形,求出线面角的角度。 二面角 的 平面角 6. 空间向量. (1). a.共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在 直线互相平行或重合. 注:①若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线.(×) 立] ②向量 a, b, c 共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面] ③若 a ∥ b ,则存在小任一实数 ? ,使 a ? ?b .(×)[与 b ? 0 不成立] ④若 a 为非零向量,则 0a ? 0 .(√)[这里用到 ?b(b ? 0) 之积仍为向量] b.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b ? 0) , a ∥ b 的充要条件是存在 实数 ? (具有唯一性) ,使 a ? ?b . c.共面向量: 若向量 a 使之平行于平面 ? 或 a 在 ? 内, 则 a 与 ? 的关系是平行, 记作 a ∥ ? . d.①共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充 要条件是存在实数对 x、y 使 P ? xa ? yb . ②空间任一点 和不共线三点 、 B 、 C , 则 OP ? xOA ? yOB ? zOC( x ? y ? z ? 1) ...O . ......A . . . . . 是 PABC 四点共面的充要条件. (简证:OP ? (1 ? y ? z)OA ? yOB ? zOC ? AP ? y AB ? z AC ? P、A、B、C 四点 共面) 注:①②是证明四点共面的常用方法. (2). 空间向量基本定理:如果三个向量 ,那么对空间任一向 ....a, b, c 不共面 ... [当 b ? 0 时,不成 0~π 1 作:根据二面角平面角的定义,作出这个平面角; 2 证:证明所作的角就是二面角的平面角,常用三垂线法 和垂面法; 3 计算:通过解三角形,求出二面角平面角的角度。

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量 P ,存在一个唯一的有序实数组 x、y、z,使 p ? xa ? yb ? zc . 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的 有序实数组 x、y、z 使 OP ? xOA? yOB ? zOC (这里隐含 x+y+z≠1). 注:设四面体 ABCD 的三条棱, AB ? b, AC ? c, AD ? d , 其 中 Q 是△BCD 的重心,则向量 AQ ? (a ? b ? c) 用 AQ ? AM ? MQ 即证. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 则四点 P、A、B、C 是共面 ? x ? y ? z ? 1 (3).a.空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) ,
1 3

y 轴是纵轴(对应为纵坐标) ,z 轴是竖轴(对应为竖坐标).
①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 ) , ? a ? (?a1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R) , a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ,
a ∥ b ?a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b 2 ,a 3 ? ?b 3 (? ? R) ?
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3



a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0 。

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3 2 ( 向 量 模 与 向 量 之 间 的 转 化 : a 2? a?a ? a ? a?a )
两 ? ? ? ? a ?b ? ? ?a o , b ?? s ? | a |?|b | 空 间 个 向 量 的 夹 角 公 式

c

a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b32 2 1

(a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ) 。 ②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . b.法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? , 记作 a ? ? ,如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. c.向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是

12

平面 ? 的一条射线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为

| AB ? n | |n|

.

②.异面直线间的距离 d ?

CD ? n n

( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,

C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离).

③.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin

AB ? m ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m |

④.利用法向量求二面角的平面角定理: 设 n1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面
? , ? 的法向量, 则 n1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 ( n1 , n 2 方

向相同,则为补角, n1 , n 2 反方,则为其夹角). 二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos 面 ? , ? 的法向量). d.证直线和平面平行定理:已知直线 a ? 平面 ? , A, B ? a, C , D ? ? ,且 C、 D、E 三点不共线,则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? , ? 使 AB ? ?CD ? ?CE . (常设 AB ? ?CD ? ?CE 求解 ? , ? 若 ? , ? 存在即证毕,若 ? , ? 不存在,则直线 AB 与 平面相交).
A n


m?n m?n 或 ? ? arc cos ( m , n 为平 | m || n | | m || n |

B

B

?
C A



n1

C

D E

? n2

?

?

2 立体几何知识网络

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三、例题分析 1. 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M , N 分别 1 1 在对角线 BD , AE 上, 且 BM ? BD ,AN ? AE .求证:MN // 平 3 3 面 CDE . 1 答案:证明:如图,因为 M 在 BD 上,且 BM ? BD ,所以 3 1 1 1 1 1 MB ? DB ? DA ? AB .同理 AN ? AD ? DE ,又 3 3 3 3 3 CD ? BA ? ? AB ,所以 MN ? MB ? BA ? AN 2 1 2 1 1 1 1 1 ? ( DA ? AB) ? BA ? ( AD ? DE ) ? BA ? DE ? CD ? DE .又 CD 与 3 3 3 3 3 3 3 3 DE 不共线,根据共面向量定理,可知 MN , CD , DE 共面.由于 MN 不在 平面 CDE 内,所以 MN // 平面 CDE . 考点二 证明空间线面平行与垂直 2. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的 中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//
C
1

z B
1

平面 CDB1; 答案:解法一: (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边 长 AC=3,BC=4 AB=5,
A
1

E C A

∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC, ∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D
x

B

y

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是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴ DE//AC1,∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, ∴ AC1//平面 CDB1; 3. 如图所示, 四棱锥 P—ABCD 中, AB ? AD, CD ? AD, PA ? 底面 ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M 为 PC 的中点。 (1)求证:BM∥ 平面 PAD; (2)在侧面 PAD 内找一点 N,使 MN ? 平面 PBD; (3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。 答案: (1)? M 是 PC 的中点,取 PD 的中点 E ,则 1 1 ME CD ,又 AB CD 2 2 ? 四边形 ABME 为平行四边形 ? BM ∥ EA , BM ? 平面PAD EA ? 平面PAD (4 分) ? BM ∥ 平面PAD (2)以 A 为原点,以 AB 、 AD 、 AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空 间直角坐标系, 如图, 则 B?1,0,0) ? , C ?2,2,0? ,D?0,2,0? ,P?0,0,2? , M ?1,1,1? ,E?0,1,1? 在 平 面 PAD 内 设 N ?0, y, z ? , MN ? ?? 1, y ? 1, z ? 1? , PB ? ?1,0,?2? , ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 DB ? ?1,?2,0? 由 MN ? PB ? MN ? PB ? ?1 ? 2 z ? 2 ? 0 ?z ? 2 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 由 MN ? DB ? MN ? DB ? ?1 ? 2 y ? 2 ? 0 ?y? 2 ? 1 1? (8 分) ? N ? 0, , ? ? N 是 AE 的中点,此时 MN ? 平面PBD ? 2 2? (3)设直线 PC 与平面 PBD 所成的角为 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 1? ? PC ? ?2,2,?2 ? , MN ? ? ? 1,? ,? ? ,设 PC, MN 为 ? 2 2? ?
cos? ? PC? MN
??? ??? ?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?

?2 2 3? 6 2

??

PC MN

2 3

sin ? ? ?c o ? s ?

2 3

故直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦为

2 3

(12 分)

考点三 求空间图形中的角与距离 根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三角形等方法求值,注意 “作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围:异面直线所成角的范围 是 0°<θ≤90°, 其方法是平移法和补形法; 直线与平面所成角 的范围是 0°≤θ≤90°,其解法是作垂线、找射影;二面角 0°
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≤θ≤180°,其方法是:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法 另外 也可借助空间向量求这三种角的大小. 4. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂 直,底面 ABCD 是 ?ADC ? 60 的菱形, M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证: PA ? 平面 CDM ; (Ⅲ)求二面角 D ? MC ? B 的余弦值. 答案:(I)取 DC 的中点 O,由 ΔPDC 是正三角形,有 PO⊥DC. 又∵平面 PDC⊥底面 ABCD,∴PO⊥平面 ABCD 于 O. 连结 OA,则 OA 是 PA 在底面上的射影.∴∠PAO 就是 PA 与底面所成角. ∵∠ ADC=60° ,由已知 ΔPCD 和 ΔACD 是全等的正三角形,从而求得 OA=OP= 3 . ∴∠PAO=45° . ∴PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45° . ?? 6分 (II)由底面 ABCD 为菱形且∠ADC=60° ,DC=2,DO=1,有 OA⊥DC.
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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建立空间直角坐标系如图,则 A( 由 M 为 PB 中点,∴ M ( ∴ DM ? (
3 3 , 1, ). 2 2

3, 0, 0), P(0, 0, 3), D(0, ? 1, 0)

,

B( 3, 2, 0), C (0, 1, 0) .

3 3 , 2, ), PA ? ( 3, 0, ? 3), DC ? (0, 2, 0) . 2 2 3 3 ? 3 ? 2? 0 ? (? 3) ? 0 , 2 2

∴ PA ? DM ?

PA ? DC ? 0 ? 3 ? 2 ? 0 ? 0 ? (? 3) ? 0 .

∴PA⊥DM,PA⊥DC. (III) CM ? (

∴PA⊥平面 DMC. BMC 的法向量 n ? (x, y, z) ,
n ? CB ? 0 ,从而 3x ? y ? 0 .

??4 分

3 3 , 0, ), CB ? ( 3, 1, 0) .令平面 2 2

则 n ? CM ? 0 ,从而 x+z=0; 由①、②,取 x=?1,则 y ?

??①,
3, z ? 1 .

??②

∴可取 n ? (?1,
3, 0, ? 3) ,

3, 1) .

由(II)知平面 CDM 的法向量可取 PA ? ( ∴
cos ? n, PA ?? n ? PA ?2 3 10 ? ?? 5 | n | | PA | 5? 6

. ∴所求二面角的余弦值为-

10 5



??6 分 法二: (Ⅰ)方法同上 (Ⅱ) 取 AP 的中点 N , 连接 MN , 由 (Ⅰ) 知, 在菱形 ABCD 中, 由于 ?ADC ? 60 , 则 AO ? CD ,又 PO ? CD ,则 CD ? 平面APO ,即 CD ? PA , 1 1 又在 ?PAB 中,中位线 MN // AB , CO // AB ,则 MN //CO , 2 2 则四边形 OCMN 为 ,所以 MC // ON ,在 ?APO 中, AO ? PO , 则 ON ? AP ,故 AP ? MC 而 MC CD ? C ,
16

则 PA ? 平面MCD (Ⅲ)由(Ⅱ)知 MC ? 平面PAB ,则 ?NMB 为二面角 D ? MC ? B 的平面角,
? 在 Rt ?PAB 中 , 易 得 PA ? 6, P B
2 P A ? 2

A? B6

2

2? 2

? 1, 0

cos ?PBA ?

AB 2 10 , ? ? PB 5 10
10 10 故,所求二面角的余弦值为 ? 5 5

cos ?NMB ? cos(? ? ?PBA) ? ?

5. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AD ? AA1 ? 1, AB ? 2, 点 E 在线段 AB 上. (Ⅰ) 求异面直线 D1E 与 A1D 所成的角; (Ⅱ)若二面角 D1 ? EC ? D 的大小为
45 ? ,求点 B 到平面 D1EC 的距离
A1

D1

C1

B1

D

C

答案:解法一: (Ⅰ)连结 AD1 。由已知,

A

E

B

AA1D1D 是正方形,有 AD1 ? A1D 。
∵ AB ? 平面 AA1D1D ,∴ AD1 是 D1E 在平面 AA1D1D 内的射影。 根据三垂线定理, AD1 ? D1E 得,则异面直线 D1E 与 A1D 所成的角为 90 ? 。 作 DF ? CE ,垂足为 F ,连结 D1F ,则 CE ? D1F 所以 ?DFD1 为二面角 D1 ? EC ? D 的平面角, ?DFD1 ? 45? . 于是 DF ? DD1 ? 1, D1F ? 2 易得 Rt ?BCE ? Rt ?CDF ,所以 CE ? CD ? 2 ,又 BC ? 1 ,所以 BE ? 3 。 设点 B 到平面 D1EC 的距离为 h .
1 1 1 1 ∵ VB?CED1 ? VD?BCE , 即 ? CE ? D1 F ? h ? ? BE ? BC ? DD1 , 3 2 3 2

∴ CE ? D1F ? h ? BE ? BC ? DD1 ,即 2 2h ? 3 ,∴ h ?
6 。 4
17

6 . 4

故点 B 到平面 D1EC 的距离为

解法二:分别以 DA, DB, DD1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系. (Ⅰ)由 A1 (1,0,1) ,得 DA1 ? (1,0,1) 设 E (1, a, 0) ,又 D1 (0,0,1) ,则 D1E ? (1, a, ?1) 。 ∵ DA1 ? D1E ? 1 ? 0 ?1 ? 0 ∴ DA1 ? D1E 则异面直线 D1E 与 A1D 所成的角为 90 ? 。 (Ⅱ) m ? (0,0,1) 为面 DEC 的法向量,设 n ? ( x, y, z ) 为面 CED1 的法向量, 则
n ? ( x, y, z ) | cos ? m, n ?|?

| m?n| ? | m || n |

|z| x ?y ?z
2 2 2

? cos 45? ?

2 2

∴ z 2 ? x2 ? y 2 .



由 C (0, 2, 0) ,得 D1C ? (0,2, ?1) ,则 n ? D1C ,即 n ? D1C ? 0 ∴ 2y ? z ? 0 由①、②,可取 n ? ( 3,1, 2) 又 CB ? (1,0,0) ,所以点 B 到平面 D1EC 的距离 ②

d?

| CB ? n | 3 6 。 ? ? |n| 4 2 2

考点四 探索性问题 6. 如图所示: 边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平 面互相垂直且 DE= 2 ,ED//AF 且∠DAF=90°。 (1)求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦; (2)线段 EF 上是否存在点 P 使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直,若 存在,求 EP 与 PF 的比值;若不存在,说明理由。

1 , 3 , 5
18

答案: (1)因为 AC、AD、AB 两两垂直,建立如图坐标系, 则 B(2,0,0) ,D(0,0,2) , E(1,1,2) ,F(2,2,0) , 则 DB ? (2,0,0), BE ? (?1,1,2), BF ? (0,2,0) 设平面 BEF 的法向量 n ? ( x, y, z),则 ? x
? y ? 2 z ? 0, y ? 0 ,则可取 n ? (2,1,0) ,

∴向量 DB和n ? (2,0,1) 所成角的余弦为
2?2 ? 0 ? 2 2 ?1
2 2

2 ? (?2)
2

2

?

10 。 10

即 BD 和面 BEF 所成的角的余弦

10 。 10

(2)假设线段 EF 上存在点 P 使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直,不
1 ? 2m 1 ? 2m 2 , , ), 妨设 EP 与 PF 的比值为 m,则 P 点坐标为 ( 1? m 1? m 1? m 1 ? 2m 1 ? 2m 2 1 ? 2m 1 2 , , ), ,向量 CP ? ( ,? , ), 则向量 AP ? ( 1? m 1? m 1? m 1? m 1? m 1? m 1 ? 2m 1 ? 2m 2 1 ?0 ? (?2) ? 0, 所以 m ? 。 所以 2 1? m 1? m 1? m 2

7. 如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VC ⊥底面ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点,
π? ? 且 AC ? BC ? a ,∠VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ?


(I)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ;



π B 6 D ∵ AC ? BC ? a , ∴△ ACB 是等腰三角形, 答案:解法 1: (Ⅰ) 又 D 是 AB 的中点, ∴ CD ? AB ,又 VC ? 底面 ABC .∴VC ? AB .于是 AB ? 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB ,∴ 平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ) 过点 C 在平面 VCD 内作 CH ? VD 于 H ,则由(Ⅰ)知 CD ? 平面 VAB . 连接 BH ,于是 ?CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角. π 依题意 ?CBH ? ,所以 6
A (II)试确定角 ? 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为

在 Rt△CHD 中, CH ?

2 a sin ? ; 2

19

在 Rt△BHC 中, CH ? a sin
∴sin ? ?
∵0 ? ? ?

π a ? , 6 2

2 . 2

π π ,∴? ? . 4 2 π π 故当 ? ? 时,直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 . 4 6

解法 2: (Ⅰ)以 CA,CB,CV 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所 示 的 空 间 直 角 坐 标
?




( 0


0 )

? 2 ?a a ? C( , ,, 0 A a, ,, 0 B 0 ,a,, ) D? ,, ( ?,V ? 0, , a 0 ? ?2 ? 2 ?

?? ), ?
? 2

?a a ? 2 ?a a ? , , ? a tan ? 于是, VD ? ? , CD ? ? , , 0 ? , AB ? (?a,a, 0) . ? ?2 2 ? 2 ?2 2 ? ? ?

1 1 ?a a ? 从而 AB · CD ? (?a,a, 0) ·? ,, 0 ? ? ? a 2 ? a 2 ? 0 ? 0 ,即 AB ? CD . 2 2 ?2 2 ?
z ?a a ? 2 1 2 1 2 · VD ? (?a,a, 0) ·? , , ? a tan ? ? ? a ? a ? 0 ? 0 同理 AB , ? V ?2 2 ? 2 2 2 ? ?

即 AB ? VD .又 CD VD ? D ,∴ AB ? 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB . ∴ 平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ)设平面 VAB 的一个法向量为 n ? ( x,y,z ) , 则由 n · AB ? 0,n · VD ? 0 .
A x C D

B

y

??ax ? ay ? 0, ? 得 ?a a 2 az tan ? ? 0. ? x? y? ?2 2 2
可取 n ? (11 , ,2 cot ? ) ,又 BC ? (0, ? a, 0) ,
π n · BC a 2 ? ? ? sin ? , 6 2 n· BC a · 2 ? 2 cot 2 ?
π π 2 ∵ 0 ? ? ? ,∴? = . 4 2 2
20

于是 sin

即 sin ? ?

故交 ? =

π π 时,直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 . 4 6

考点五 折叠、展开问题 8. (2006 年辽宁高考)已知正方形 ABCD
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E 、 F 分别是 AB 、CD 的中点,
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将 ADE 沿 DE 折起,如图所示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) (I) 证明 BF // 平面 ADE ; (II)若 ACD 为正三角形,试判断点 A 在平 面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上 , 证明 你的结论,并求角 ? 的余弦值
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解: (I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,
A B G E
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? EB//FD,且 EB=FD, ? 四边形 EBFD 为平行四边形
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C F D

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? BF//ED.
EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED ,? BF // 平面 ADE
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(II)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直 于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD
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? ACD 为正三角形,? AC=AD.
? CG=GD.
G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ? AHD 为二面角 A-DE-C 的平面角
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即 ?AHG ? ? .

设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF .
? AG ?
a 2 5 2 3 a. a 在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD ? AH ? 2 5

? GH ?

, cos ? ?

GH 1 ? AH 4

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