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概率与统计解答题的解法(2)



?第二部分

专题九 概率与统计解答题的解法

概率与统计解答题的解法

试题特点 >> 应试策略 >>

03

06

考题剖析 >>

12

概率与统计解答题的解法
试题特点
1.近三年高考

各试卷概率与统计考查情况统计 2008年高考各地的16套试卷中,出现概率统计解答题的有15套,具体

涉及的知识点是等可能事件、相互独立事件同时发生、独立重复实验的概
率、分布列与期望. 2009年高考各地的18套试卷里,有15道此类型的解答题,其中有3道是

关于概率计算的,1道涉及到正态分布的数据表格(湖北卷),其余的均为
分布列和数学期望. 2010年高考各地的19套试卷中,有16道概率解答题,一般是以实际背

景为载体进行考查,也有一道题是以二次方程根的情况为载体,主要是考
查三种概率,即:等可能事件的概率、独立事件的概率、独立重复实验的 概率、分布列与期望.但广东卷涉及到线性回归方程的应用问题,北京、湖

北卷涉及到抽样统计问题.

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试题特点
2.主要特点

(1)概率知识与实际生活密切相关,高考对概率内容的考查,
往往以实际问题为背景,结合排列、组合等知识,考查学生对知识 的运用能力,这既是这类问题的特点,也符合高考发展方向. (2)随机变量的考查稳中求新,稳中求活. 随机变量在命题中涉及的知识及题型有: ①简单随机变量的分布列; ②简单随机变量的期望与方差的计算. 随机变量分布列试题的解法规律性强,但试题涉及的知识面广、设 问方式新,特别是与工农业生产、生活、科研、文化、体育等实际 知识相结合,因此显得形式活泼、内容新颖,解法灵活.

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试题特点

(3)统计考查.
此 类型题 主 要 考查简 单 抽 样的三 种 方 法 ,但 由 于统 计的 内 容 在 今后的工作、生活中有很大的应用,在突出应用数学的今天,可能加大

考查力度,在正态分布等内容上作文章.
(4)考查“或然与必然思想”,面对随机现象的不确定性(或然 性),我们更要掌握其中的规律性(必然性).近年来,高考突出了对

概率与统计内容的考查,使学生亲历于“或然”中抓住“必然”的实
践,是符合实际需要的.

应试策略

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应试策略
1.正确理解有关概念

(1)随机试验与随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事
件叫随机事件;条件每实现一次,叫做一次试验;如果试验结果预先无 法确定,这种试验叫做随机试验.

(2)频率与概率:对于一个事件来说概率是一个常数;频率则随着试
验次数的变化而变化,试验次数越多,频率就越接近于事件的概率. (3)互斥事件与对立事件:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不

一定是对立事件.
(4)互斥事件与相互独立事件:不可能同时发生的事件叫做互斥事 件;而相互独立事件则是指两个事件发生与否相互之间没有影响.

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应试策略
2.从集合的角度看概率

若把一次试验所有可能的结果组成集合I,事件A,B包含的结果分
别组成集合A,B,则事件A的概率就是P(A)=

card ( A) ;事件A与B互斥, card( I )

就是A∩B= ? ,A与B对立就是A=CI B,即 A=B. 3.公式的使用 (1)常用公式:
m A中所含基本事件数 ①等可能事件的概率:P(A)= ? n 基本事件总数

②互斥事件的概率:P(A+B)=P(A)+P(B).

k n

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应试策略
③对立事件的概率:P(A+ A )=P(A)+P( A )=1. ④相互独立事件的概率:P(A·B)=P(A)·P(B). ⑤n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率: Pn(k)=C k pk(1-p)n-k. n (2)注意事项: ①每个公式都有其成立的条件,若不满足条件,则这些公式将不再成立. ②对于一个概率问题,应首先弄清它的类型,不同的类型采用不同的计 算方法.一般题中总有关键语句说明其类型,对于复杂问题要善于进行分解, 或者运用逆向思考的方法.

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应试策略
4.掌握离散型随机变量的期望与方差的概念及性质: (1)期望:若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

… …

则ξ的数学期望(或平均数、均值、简称期望)为:
Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+… 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 数学期望有如下性质: E(aξ+b)=aEξ+b(a,b为常数).

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应试策略
(2)方差:如果离散型随机变量ξ的所有可能取值是 x1,x2,…,xn,…,且取这些值的概率分别是p1,p2,…,pn,…,那么 Dξ=(x1-Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(xn-Eξ)2·pn+…,叫ξ的方差. Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度.(标准差与随机变量本身有相同的单位)

方差的性质:设a,b为常数,则D(aξ+b)=a2Dξ;Dξ=Eξ2-(Eξ)2.
(3)若ξ服从二项分布,即ξ~B(n,p),则Eξ=np,Dξ=np(1-p).

考题剖析

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考题剖析
1.(2007·韶关摸底考试)如图所示, 有两个独立的转盘(A)、(B).两个图

中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进
行玩游戏,规则是:依次随机转动两个转盘再随机停下(指针固定不会 动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始),记转盘(A)

指针对的数为x,转盘(B)指针对的数为y.设x+y的值为ξ,每转动一次则得
到奖励分ξ分.

(Ⅰ)求x<2且y>1的概率; (Ⅱ) 某人玩12次,求他平均可以得到多少奖励分?

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考题剖析
[解析](Ⅰ)由几何概率模型可知:

1 1 ,P(x=2)= ,P(x=3)= 6 3 1 1 P(y=1)= ,P(y=2)= ,P(y=3)= 3 2 1 则P(x<2)= P(x=1)= , 6
P(x=1)=

1 ; 2 1 6

P(y>1)= P(y=2)+ P(y=3)=

1 1 2 ? ? 2 6 3
1 9

所以P(x<2且y>1)= P(x<2)·P(y>1)=

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考题剖析
(Ⅱ)由条件可知ξ的取值为:2、3、4、5、6.则ξ的分布列为:

ξ P

2
1 18

3
7 36

4
13 36

5
11 36

6
1 12

他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值:
Eξ= 2 ?

1 7 13 11 1 25 ? 3? ? 4? ? 5? ? 6? ? 18 36 36 36 12 6

所以给他玩12次,平均可以得到12·Eξ=50分
[点评]本题主要考查互斥事件的概率、随机变量分布列和期望.注 意指针落在1、2、3区域不是一个等可能事件而是与落在区域的面积大

小有关,审题要仔细,最后是求12次的平均得分.

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考题剖析
2. (2007·昆明质检二)如图所示,质点P在正方形ABCD的四个顶点上

按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正
方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P从A点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点P前

进一步(如由A到B);当正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步
(如由A到C),当正方体上底面出现的数字是3,质点P前进三步(如由 A到D).在质点P转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止.

(Ⅰ)求点P恰好返回到A点的概率;
(Ⅱ)在点P转一圈恰能返回到A点的所 有结果中,用随机变量ξ表示点P恰能返 回到A点的投掷次数,求ξ的数学期望.

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考题剖析
[解析] (Ⅰ)投掷一次正方体玩具,上底面每个数字的 出现都是等可能的,其概率为P1=

2 1 ? 因为只投掷一次不可能返回到A点;若投掷两次点P就恰好 6 3 能返回到A点,则上底面出现的两个数字应依次为:(1,3)、
(3,1)、(2,2)三种结果,其概率为P2=
1 1 ( )2 ? 3 ? 若投掷三次点P恰能返回到A点,则上底面出现的三个数字 3 3

应依次为:(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结 果,其概率为P3=

1 1 ( )3 ? 3 ? 若投掷四次点P恰能返回到A点,则上底面出现的四个数字 3 9

应依次为:(1,1,1,1),其概率为P4=

1 1 ( )4 ? 所以,点P恰好返回到A点的概率为P=P2+P33 4= +P 81

1 1 1 37 ? ? ? 3 9 81 81

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考题剖析
(Ⅱ)在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中 的7种,

因为:P(? ? 2) ?

3 3 1 , P(? ? 3) ? , P(? ? 4) ? 7 7 7

3 3 1 19 所以:E? ? 2 ? ?. 3 ? ? 4 ? ? 7 7 7 7
[点评]在求较复杂事件的概率时往往转化为求某几个事件 的“和事件”或“积事件”,如事件“点P恰好返回到A点”,就分 解为“投掷两次点P恰能返回到A点”、“投掷三次点P恰能返回到A

点”、“投掷四次点P恰能返回到A点”三个互斥事件的和,而这三
个事件又可以进一步分解,但要区分是不是互斥事件或独立事件,否 则容易漏分和重复导致出错.

概率与统计解答题的解法
考题剖析
3.(2007·成都市质检二)一种电脑屏幕保护画面,只有符号

“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化
只出现“○”和“×”之一,其中出现“○”的概率为p,出现 “×”的概率为q,若第k次出现“○”,则记ak=1;出现“×”, 则记ak=-1,令Sn=a1+a2+…+an. (Ⅰ)当p=q= 时,记ξ=|S3|,求ξ的分布列及数学期望;

1 2

1 2 (Ⅱ)当 p ? , q ? 时,求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率. 3 3

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考题剖析
[解析](Ⅰ)∵ξ=|S3|的取值为1,3,又p=q= ,

1 2

1 1 3 ∴P(ξ=1)= C1 ( ) ? ( )2 ? 2 ? 3 2 2 4 ∴ξ的分布列为
ξ

P(ξ=3)=

1 1 1 ( ) 3 ? ( )3 ? 2 2 4
3

1

P

3 4

1 4

∴ξ的数学期望Eξ=

3 1 3 1? ? 3 ? ? 4 4 2

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考题剖析
(Ⅱ)当S8=2时,即前八秒出现“○”5次和“×”3次,又已知

Si≥0(i=1,2,3,4),
若第一、三秒出现“○”,则其余六秒可任意出现“○”3次; 若第一、二秒出现“○”,第三秒出现“×”,则后五秒可任

出现“○”3次.
故此时的概率为 P ? (C3 ? C3 ) ? ( 1 ) 5 ? ( 2 ) 3 ? 30 ? 8 ? 80 (或 80 ) 6 5 3 3 38 37 2187 [点评]本题主要考查随机变量的分布列和期望,考查限制条件下 的概率计算.处理离散型变量时,注意正确判断随机变量的取值,全面 剖析各个随机变量所包含的各种事件及相互关系,准确计算变量的每个 取值的概率.有限制条件的概率计算要认清限制条件对事件的影响.

概率与统计解答题的解法
考题剖析
4. (2007·西安中学三模)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概 率分别是

每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响.

2 3 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响; 和 3 4

(1)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; (2)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射 击5次后,被中止射击的概率是多少? (3)若甲连续射击5次,用ξ表示甲击中目标的次数,求ξ的数

学期望Eξ.

[解析](1)记“甲连续射击4次,至少1次未击中目标”为事件A1,

由题意,射击4次,相当于4次独立重复试验,
故P(A1)= 1 ? P( A1) ? 1 ? ( )4 ?
65 答:甲射击4次,至少1次未击中目标的概率为 ; 81

2 3

65 81

概率与统计解答题的解法
考题剖析
(2) 记“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件A3,“乙第i次 射击未击中” 为事件Di,(i=1,2,3,4,5),

1 则 A3 ? D5 D4 D3 ( D2 D1), 且P( Di ) ? ,由于各事件相互独立, 4
故 P( A3 ) ? P( D5 ) P( D4 ) P( D3 ) P( D2 D1)

1 1 3 1 1 45 ? ? ? ? (1 ? ? ) ? , 4 4 4 4 4 1024 45 答:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是 . 1024

概率与统计解答题的解法
考题剖析
(3)根据题意ξ服从二项分布;Eξ=5×

2 10 ? 3 3

[点评]概率题常常有如下几种类型:①等可能性事件的概率;②

互斥事件的概率;③独立事件同时发生的概率;④独立重复试验事件
的概率.弄清每种类型事件的特点,区分使用概率求法,如本题的第一 问是一个独立事件同时发生的问题,满足几何显著条件:每次射中目

标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生
或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条 件的意义.

概率与统计解答题的解法
考题剖析
5.(2007·湖北武汉四月调研)一袋中装有分别标记着1、2、3、4 数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为ξ. (1) 求ξ=3时的概率; (2) 求ξ的概率分布列及数学期望.
[解析] (1) ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3 ①三次取球均出现最大数字为3的概率 P1=( 1 )3 4

2 6 2 1 ②三取取球中有2次出现最大数字3的概率 P2 ? C3 ( )2 ( ) ? 4 4 64 1 1 2 2 12 ③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率 P ? C3 ? ? ( ) ? 3 4 4 64

19 P(? ? 3) ? P ? P2 ? P3 ? 1 64

概率与统计解答题的解法
考题剖析
(2) 在ξ=k时, 利用(1)的原理可知:

1 3 3k 2 ? 3k ? 1 2 1 2 k ?1 1 1 1 k ?1 2 P(? ? k ) ? ( ) ? C3 ( ) ( ) ? C3 ? ? ( ) ? 4 4 4 4 4 64
(k=1,2,3,4). ξ 的概率分布列为: ξ P 1 2 3 4

1 64

7 64

19 64

37 64

1 7 19 37 55 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 64 64 64 64 16 [点评]本小题主要考查等可能事件概率的计算、离散型随机变
量的分布列、数学期望的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问

题的能力.这也可以用排列组合中的分堆知识来理解.

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考题剖析
6. (2007·湖北黄冈骆驼坳中学5月模拟)有一种密码,明文是由三个字符组 成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则如下表:明文由表中每 一排取一个字符组成,且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符放 在第二位,第三排取的字符放在第三位,对应的密码由明文对应的数字按 相同的次序排成一组成.
第一排
第二排 第三排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 A 11 E 21 B 12 F 22 C 13 G 23 D 14 H 24

明文字符
密码字符

M
1

N
2

P
3

Q
4

设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数. (Ⅰ)求P(ξ=2); (Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.

概率与统计解答题的解法
考题剖析
[解析](Ⅰ)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两 个数字,注意到密码的第1,2列分别总是1,2,即只能取表格第1,2 列中的数字作为密码.

23 1 ∴P(ξ=2)= ? 3 8 4
(Ⅱ)由题意可知,ξ的取值为2,3,4三种情形. 若ξ=3,注意表格的第一排总含有数字1,第二排总含有数字2则密码中 只可能取数字1,2,3或1,2,4.
2 2(22 A1 ? 2C3 ? 1) 3

∴P(ξ=3)=

43

19 . ? 32

若ξ=4,则P(ξ=4)=

2 A1 A 2 ? A 3 A 2 3 2 2

43

9 ? (或用1-P(ξ=2)-P(ξ=3)求得). 32

概率与统计解答题的解法
考题剖析
∴ξ的分布列为: ξ P ∴Eξ= 2 ? 2 3 4

1 8

19 32

9 32

1 19 9 101 ? 3? ? 4 ? ? 8 32 32 32

[点评]本小题主要考查概率的计算、离散型随机变量的分布列、 数学期望的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问题的能力,读题、 想题、审题的能力,求随机变量的概率在某种程度上就是正确求出相应 事件的概率,因此必须弄清每个取值的含义,本概率题跟排列组 合知识联系紧密,其实高中概率题往往以排列组合知识为前提.



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