1.4正弦函数、余弦函数的图象
复习：三角函数线
1、作出 135o 的三角函数线: 135
o
y P 135o 角的 正弦线为 MP； M A(1,0) 余弦线为 OM； x 正切线为 AT；
o
T
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM tan?=AT
y P
T
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
-1
O
?
M
A(1,0)
x
注意：三角 函数线是有 向线段！
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
正弦函数： y ? sin x ( x ? R)
y ? cos x ( x ? R) 余弦函数：
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
思考：
⑴画出角 ? ? 找到点 (
?
3
?
,sin ) 吗？ 3 3
?
的正弦线，你能在直角坐标系中
5? ⑵画出角 ? ? 的正弦线，你能在直角坐标系中 5? 6 5?
找到点(
6
,sin
6
) 吗？
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
5? 6
p2
? 3 p1
y
( ,sin ) 5? 1 3 3 ( ,sin 5? )
6 6
?
?
7? 6
M2
o1
4? 3? 5? 11? 3 2 3 6 2?
M1
0 ?
6
-1
?
3
?
2
2? 5? 3 6
?
x
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
一、用几何方法作正弦函数 y ? sin x ( x ?[0,2? ]) 的图象：
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
2? 5? 3 6
? 2
?
7? 6 4? 3
? 3 ? 6
y
1
7? 6
o1
3? 2
4? 3? 5? 11? 3 2 3 6 2?
A 0 ?
11? 5? 6 3 6
-1
?
3
?
2
2? 5? 3 6
?
x
y ? sin x ( x ?[0,2? ])
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
说明：
我们利用上述方法（三角函数线）来做 正弦函数的图象，比较准确，但花费的时间 较多，在画图的精确度要求不高的情况下我 们可以采用“五点法”来得到正弦函数的图 象。
简图作法 （五点作图法）
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
问题：在 [0, 2? ] 内找出五个特殊角
? 2
y
?
O
3? 2
0 x 2?
这就是[0,2?]内我们 取的五个特殊角.
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
x
y=sinx
y 1
0
0
? 2
?
0
3? 2
2?
0
1
-1
y=sinx,x∈[0,2π]
? ( 图象的最高点 ,1) 2
与x轴的交点 (0,0) (? ,0) (2? ,0)
O -1
? 2
?
3? 2
图象的最低点 (
2? x
3? , ?1) 2
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
问题：在[?2? ,0] 内找出五个特殊角
y 3? 2
-?
0 x -2?
? 2
O
练习:
利用五点法作出函数y=sinx,x∈[-2π,0]的图象
x
y=sinx
-2?
3? 2
-?
? 2
0
0
1
0
-1
? 2
0
y
y=sinx,x∈[-2π,0]
1
Ox -1
-2?
3? 2
-?
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
y=sinx,x∈[-2π,0]
y
? 2
y 1
X
-?
-2?
3? 2
1 O x -1
y=sinx,x∈[0,2π]
? 2
O
?
-1 说明： ①比较上述两图，可以发现它们的形状完全一样，只是位置不同。
②因为终边相同的角的同一三角函数值相同，所以函数 y ? sin x
x ?[2k? , 2(k ? 1)? ] ， k ? Z 且k ? 0 的图象与函数 y ? sin x , x ?[0, 2? ]
3? 2
2? x
的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数
y ? sin x , x ?[0, 2? ] 的图象向左、右平移，就可得到函数 y ? sin x
x ? R 的图象。
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
终边相同角的三角函数值相等
即： sin(x+2k?)=sinx, k?Z
y ? sin x ( x ?[0,2? ])
y ? sin x ( x ? R)
利用图象平移
y
1
? 5? 2 ?
正弦曲线
3? 2
? 2
?4?
?
7? 2
?3?
?2?
?
3? 2
??
o
-1
? 2
?
2?
5? 2
3?
7? 2
4?
x
y ? sin x ( x ? R)
正弦函数的图象叫做正弦曲线
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
二、利用变换法作余弦函数的图像
y
1
正弦曲线 y ? sin x ( x ? R)
2?
4?
? 6?
? 4?
? 2?
o
-1
6?
x
? ? 由于y ? cos x ? cos(? x) ? sin[ ? ( ? x)] ? sin( x ? ) 2 2 ? 所以余弦函数 y ? cos x, x ? R与函数 y ? sin( x ? ), x ? R
2
是同一个函数；
余弦曲线 y ? cos x ( x ? R)
? 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个单位长度得到． 2
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
y
1
正弦曲线 y ? sin x ( x ? R)
2?
4?
? 6?
? 4?
? 2?
o
-1
6?
x
余弦曲线 y ? cos x ( x ? R)
1
y
? 6?
? 4?
? 2?
o
-1
2?
4?
6?
x
请观察正弦曲线、余弦 曲线的形状和位置,说出 它们的异同点.
它们的形状相同，且都夹在两 条平行直线y=1与y=-1之间。 但它们的位置不同，正弦曲线 交y轴于原点，余弦曲线交y轴 于点（0，1）. ??
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
在作函数 y ? cos x, x ?[0,2? ] 的图像中起关键作用的点有哪些？
y
-
图象的最高点 (0,1) (2? ,1) 与x轴的交点 x ( ? , 0) 3?
2
1-
-1
o
-1 -
? 6
?
3
?
2
2? 3
5? 6
?
(0,1), ( , 0), (? , ?1), ( 关键点： 2
-
7? 6
4? 3
3? 2
5? 3
11? 6
2?
(
2
,0)
图象的最低点 (? ,?1)
?
3? , 0), (2? ,1) 2
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]
（2）y=－cosx , x∈[0,2π] 解:（1 2）列表
x
sin cosx x sin x ?x 1 ? cos
0
? ? 2 2
描点作图
? 0 -1 11
3 ? 3 ? 2 2
2 2? ?
yy
2-
10 1 -1
01 02
?1 0 00
1 0 1 -1
1 1oo ?1 - ?1
? 2
y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2
??
3? 3? 2
y ? sin x, x ?[0,2? ]
2
2? 2?
xx
y ? ? cos x, x ?[0,2? ]
§1.4.1正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x?[0, 2?] 和 y= cosx，x?[ ? 2 ,
?
3? 2
]的简图：
3? 22 ?
x
cosx sinx
? 0
?
2
?
0 2
?2 0 -1
?
3? ? 2
0 1 1 0 ? y 向左平移 个单位长度 2 2
1
-1 0
0 1
y=sinx，x?[0, 2?]
? ? 2
o -1
? 2
?
3? ] 2 2
3? 2
2?
x
y= cosx，x?[? ? ,
小结：
1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的 图象。 2、利用五点法作正弦函数和余弦函数的 简图。 3、正弦函数与余弦函数图象的关系。
作业：课本P46第一题
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