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1.4正弦函数、余弦函数的图象



复习:三角函数线
1、作出 135o 的三角函数线: 135
o

y P 135o 角的 正弦线为 MP; M A(1,0) 余弦线为 OM; x 正切线为 AT;

o

T

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
三角函数 正弦函数
sin?=MP

/>cos?=OM tan?=AT
y P
T

三角函数线 正弦线MP

余弦函数
正切函数

余弦线OM
正切线AT

-1

O

?
M

A(1,0)

x

注意:三角 函数线是有 向线段!

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
正弦函数: y ? sin x ( x ? R)

y ? cos x ( x ? R) 余弦函数:

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
思考:
⑴画出角 ? ? 找到点 (
?
3

?

,sin ) 吗? 3 3

?

的正弦线,你能在直角坐标系中

5? ⑵画出角 ? ? 的正弦线,你能在直角坐标系中 5? 6 5?

找到点(

6

,sin

6

) 吗?

§1.4.1正弦、余弦函数的图象

5? 6

p2

? 3 p1

y

( ,sin ) 5? 1 3 3 ( ,sin 5? )
6 6

?

?

7? 6

M2

o1

4? 3? 5? 11? 3 2 3 6 2?

M1

0 ?
6
-1

?
3

?
2

2? 5? 3 6

?

x

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
一、用几何方法作正弦函数 y ? sin x ( x ?[0,2? ]) 的图象:
途径:利用单位圆中正弦线来解决。
2? 5? 3 6

? 2

?
7? 6 4? 3

? 3 ? 6

y
1

7? 6

o1
3? 2

4? 3? 5? 11? 3 2 3 6 2?

A 0 ?
11? 5? 6 3 6
-1

?
3

?
2

2? 5? 3 6

?

x

y ? sin x ( x ?[0,2? ])

§1.4.1正弦、余弦函数的图象

说明:
我们利用上述方法(三角函数线)来做 正弦函数的图象,比较准确,但花费的时间 较多,在画图的精确度要求不高的情况下我 们可以采用“五点法”来得到正弦函数的图 象。
简图作法 (五点作图法)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
问题:在 [0, 2? ] 内找出五个特殊角
? 2

y

?

O
3? 2

0 x 2?

这就是[0,2?]内我们 取的五个特殊角.

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
x
y=sinx
y 1
0
0
? 2

?
0

3? 2

2?
0

1

-1

y=sinx,x∈[0,2π]

? ( 图象的最高点 ,1) 2
与x轴的交点 (0,0) (? ,0) (2? ,0)

O -1

? 2

?

3? 2
图象的最低点 (

2? x
3? , ?1) 2

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
问题:在[?2? ,0] 内找出五个特殊角
y 3? 2
-?
0 x -2?
? 2

O

练习:
利用五点法作出函数y=sinx,x∈[-2π,0]的图象

x
y=sinx

-2?

3? 2

-?

? 2

0

0

1

0

-1
? 2

0

y
y=sinx,x∈[-2π,0]

1
Ox -1

-2?

3? 2

-?

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
y=sinx,x∈[-2π,0]

y
? 2

y 1
X

-?
-2?
3? 2

1 O x -1

y=sinx,x∈[0,2π]
? 2

O

?

-1 说明: ①比较上述两图,可以发现它们的形状完全一样,只是位置不同。
②因为终边相同的角的同一三角函数值相同,所以函数 y ? sin x
x ?[2k? , 2(k ? 1)? ] , k ? Z 且k ? 0 的图象与函数 y ? sin x , x ?[0, 2? ]

3? 2

2? x

的图象的形状完全相同,只是位置不同,于是只要将函数

y ? sin x , x ?[0, 2? ] 的图象向左、右平移,就可得到函数 y ? sin x

x ? R 的图象。

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
终边相同角的三角函数值相等

即: sin(x+2k?)=sinx, k?Z

y ? sin x ( x ?[0,2? ])

y ? sin x ( x ? R)

利用图象平移

y
1
? 5? 2 ?

正弦曲线
3? 2

? 2

?4?

?

7? 2

?3?

?2?

?

3? 2

??

o
-1

? 2

?

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

y ? sin x ( x ? R)

正弦函数的图象叫做正弦曲线

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
二、利用变换法作余弦函数的图像
y
1

正弦曲线 y ? sin x ( x ? R)
2?
4?

? 6?

? 4?

? 2?

o

-1

6?

x

? ? 由于y ? cos x ? cos(? x) ? sin[ ? ( ? x)] ? sin( x ? ) 2 2 ? 所以余弦函数 y ? cos x, x ? R与函数 y ? sin( x ? ), x ? R
2
是同一个函数;

余弦曲线 y ? cos x ( x ? R)

? 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个单位长度得到. 2

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
y
1

正弦曲线 y ? sin x ( x ? R)
2?
4?

? 6?

? 4?

? 2?

o

-1

6?

x

余弦曲线 y ? cos x ( x ? R)
1

y

? 6?

? 4?

? 2?

o

-1

2?

4?

6?

x

请观察正弦曲线、余弦 曲线的形状和位置,说出 它们的异同点.

它们的形状相同,且都夹在两 条平行直线y=1与y=-1之间。 但它们的位置不同,正弦曲线 交y轴于原点,余弦曲线交y轴 于点(0,1). ??

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
在作函数 y ? cos x, x ?[0,2? ] 的图像中起关键作用的点有哪些?
y
-

图象的最高点 (0,1) (2? ,1) 与x轴的交点 x ( ? , 0) 3?
2

1-

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

(0,1), ( , 0), (? , ?1), ( 关键点: 2

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

(

2

,0)

图象的最低点 (? ,?1)
?
3? , 0), (2? ,1) 2

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
例1.画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0,2π] 解:(1 2)列表
x
sin cosx x sin x ?x 1 ? cos
0
? ? 2 2

描点作图
? 0 -1 11
3 ? 3 ? 2 2

2 2? ?

yy
2-

10 1 -1

01 02

?1 0 00

1 0 1 -1

1 1oo ?1 - ?1
? 2

y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2

??

3? 3? 2

y ? sin x, x ?[0,2? ]

2

2? 2?

xx

y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

§1.4.1正弦、余弦函数的图象
练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx,x?[0, 2?] 和 y= cosx,x?[ ? 2 ,
?
3? 2

]的简图:
3? 22 ?

x
cosx sinx

? 0

?
2

?

0 2

?2 0 -1

?

3? ? 2

0 1 1 0 ? y 向左平移 个单位长度 2 2
1

-1 0

0 1

y=sinx,x?[0, 2?]
? ? 2

o -1

? 2

?
3? ] 2 2

3? 2

2?

x

y= cosx,x?[? ? ,

小结:
1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的 图象。 2、利用五点法作正弦函数和余弦函数的 简图。 3、正弦函数与余弦函数图象的关系。

作业:课本P46第一题



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