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2014年高考数学模拟新题分类汇编专题二+++函数与导数


专题二
函数的概念及其表示 1.(2014 广州高三第二次质检)

函数与导数

函数﹑基本初等函数 I 的图像与性质

【答案】B 【解析】由 ? í 2.

ì ? 2x > 1 得 x > 1 ,故函数的定义域是 (1, + ? ? ? x - 1> 0

)

【答案】C 【解析】当转动角度不超过 45°时,阴影面积增加的越来越快,图象下凸;当转动角度超 过 45°时,阴影面积增加的越来越慢,图象上凸,故选 C 3.(2014 成都高三月考)

【答案】D 【解析】 f (- 2) = 10- 2 ,所以 f [ f (- 2)] = f (10- 2 ) = lg10- 2 = - 2 5.

1 / 28

【答案】A 【 解 析 】 因 为 a1 = 4 , 所 以 由 函 数 定 义 知 : a2 = f (a1 ) = f (4) = 1 ;

a3 = f (a2 ) = f (1) = 5 ; a4 = f (a3 ) = f (5) = 2 ; a5 = f (a4 ) = f (2) = 4 ,??,数列
是以 4 为周期的数列,故 a2014 = a2 = 1 二、填空题 6. (合肥市 2014 年第一次教学质量检测)函数 f ( x) ? ln

1 的值域是__________ x ?1

【答案】 (-

,0]

【解析】因为 x ? 0 ,所以

1 1 ?( ? (0,1] ,所以 f ( x) ? ln x ?1 x+1

,0]

7. (珠海市 2013-2014 学年度第一学期期末学生学业质量监测)定义在 R 上的函数 f ( x) 满 足 f ( x) ? ?

x?0 ?log3 (1 ? x) ,则 f (2014) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) x ? 0



【答案】 log3 2 【解析】 因为当 x > 0 时,f (x) = f (x - 1)- f (x - 2) , 所以 f (x + 1) = f (x)- f (x - 1) , 所 以 f (x + 1) = - f (x - 2) , 即 f ( x+ 3) = - f ( )x , 所 以 函 数 的 周 期 为 6 , 故

f (0)- f (- 1) f (2014) ? = f (4) = f (3)- f (2) = f (2)- f (1)- f (2) = - f (1) = - 轾 臌

= - (log3 1- log3 2) = log3 2
函数的性质及其应用
1. (浙江绍兴 2014 届高三月考) 同时满足两个条件:①定义域内是减函数;②定义域内是奇函 数的函数是( ) B.f(x)=x
3

A.f(x)=-x|x| C.f(x)=sinx 【答案】A

lnx D.f(x)=

x

【解析】:为奇函数的是 A、B、C,排除 D. A、B、C 中在定义域内为减函数的只有 A.

2. (汕头市 2014 年普通高中高三教学质量监控测评试题)设 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时,
2 / 28

f ( x) ? x 2 ? x ,则 f ?? 1? ?
A. ? 2 【答案】A 【解析】因为 f ( x) 为奇函数,所以 f ?? 1? ? - f (1) = ? 2 B. 0 C. 2 D. ? 1

3.

【答案】

ì ? ? 【解析】 ? í ? ? ? ? ?

f (lg 2) = sin (lg 2) + 1 骣 1鼢 骣1 ,所以 f (lg 2) + f 珑 lg 鼢 = sin (lg 2) + sin lg + 2 , 骣 1鼢 骣1 珑 鼢 珑 桫2 桫2 f珑 lg 鼢 = sin lg + 1 珑 珑 桫 2鼢 桫 2

而 y = sin x 是奇函数, lg

骣 1÷ 1 = - lg 2 ,所以 f (lg 2) + f ? lg ÷= 2 ? ? 桫 2÷ 2

4

【答案】C 【 解 析 】 当

x< 0





- x> 0









f ( )x =
5.

- ( f )-

3 轾 x = ) - l (n x ( 犏 臌

1 ) +

3

x(-

l )xn= 1 -

x

-

? ?-x+3a, x<0, 函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 ?a , x≥0, ?

(

) 1 B.[ ,1) 3 1 C.(0, ] 3 2 D.(0, ] 3

A.(0,1) 【答案】B

?0<a<1, ? 1 【解析】据单调性定义,f(x)为减函数应满足:? 即 ≤a<1. 0 3 ?3a≥a , ?

二、填空题

3 / 28

1,x>0 ? ? 6.(成都外国语学院 2014 届高三月考)函数 f(x)=?0,x=0 ? ?-1,x<0 g(x)的递减区间是________. 【答案】[0,1) x ,x>1 ? ? 【解析】由条件知,g(x)=?0,x=1 ? ?-x2,x<1.
如图所示,其递减区间是[0,1).
2

,g(x)=x2f(x-1),则函数

7 (河南省商丘市 2014 届高三数学上学期期末统考试) 设偶函数 f(x) 满足 f(x)=2x-4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为________ 【答案】{x|x<0,或 x>4} - 【解析】由于 f(x)是偶函数,故当 x<0 时,f(x)=2 x-4, - - 当 x-2<0 时,由 f(x-2)=2 (x 2)-4>0,解得 x<0; - 当 x-2≥0 时,由 f(x-2)=2x 2-4>0,解得 x>4. 综上可知不等式解集为{x|x<0 或 x>4}. 8. (湖北省黄冈中学 2014 年高三数学期末考试) .已知 f ( x ) 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? log 1 (1 ? x) ,
2

2011 ) =___________. 则 f (? 4
【答案】2 【解析】因为 f ( x ) 的周期为 2,所以 f ( ? 函数,所以 f ( ?

骣 骣3 2011 3 ) =f 珑 ,又 f ( x ) 是偶 - 502 - 鼢 = f 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫4 4 4

2011 ) 4

一次函数与二次函数 1. (成都七中 2014 届高三上期中考试) 函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 3 在区间 ?? 1, ? ? ? 上
2

是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A. ? ? ?, 【答案】 :D

? ?

1? 3? ?

B. ?? ?, 0?

C. ? 0,

? ?

1? 3? ?

D. ?0,

? ?

1? 3? ?

ì a> 0 ? ? ? 【解析】当 a = 0 时, f ( x) = x- 3 符合题意;当 a ? 0 时,由题意 í a - 1 ,解得 ? ? 1 ? ? ? 2a
4 / 28

0< a

1 1 ,综上 a ? [0, ] 3 3

2. (山东省青岛市 2014 届高三上学期期中考试数学)若函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间

(?1,1) 上存在一个零点,则 a 的取值范围是
A. a ? 【答案】B 【解析】要使函数在 (?1,1) 上存在一个零点,则有 f (?1) f (1) ? 0 ,即 (a ?1 ) ( 5 ? a1 ? ) 0 ? 所以 (a ? 1)(5a ? 1) ? 0 ,解得 a ? ,

1 5

B. a ?

1 或 a ? ?1 5

C. ? 1 ? a ?

1 5

D. a ? ?1

1 或 a ? ?1 ,故选 B. 5

3.

【答案】B 【解析】函数的对称轴为 x = - 1,而当 0 < a < 3 时,

x1 + x2 1- a = ? 2 2

骣 1÷ ? 1, ÷,故 x1 比 ? ? 桫 2÷

x2 离对称轴近,所以 f (x1 ) < f (x2 )
4. (沈阳 2014 届高三上学期摸底)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? ) 的图象与 x 轴的交点分 别为(a, 0)和(b,0) ,则函数 g ( x) ? a ? b 图象可能为
x

1 2

【答案】 :C

ì a= 2 ì b= 2 ? ? ? ? ? 【解析】由函数 f ( x) 的图象知, í ①或 ? í 1 1 ,当①成立时,C 符合题意;当②成 ? ? b= a= ? ? ? ? 2 2 ? ?
立时,没有图象符合题意
5. (2014 武昌模拟).若不等式 x 2 ? a | x | ?1 ≥0 对 x ? ? ?

? 1 1? , 恒成立,则实数 a 的取值范围 ? 2 2? ?
是( )

A.

??2, ???

B.

??2, 2?

C.

? ??, ?2?

D. ? ?

? 5 ? , ?? ? ? 2 ?

【答案】D

5 / 28

【 解 析 】 不 等 式 x 2 ? a | x | ?1 ≥ 0 对 x ? ? ?

2 ? 1 1? , ? 恒成立等价于 x + a x + 1 0 对 ? 2 2?

? 1? 2 x ? ?0, ? 恒成立,设 f ( x ) = x + a x + 1 ,只需 ? 2?

骣 1÷ f? ÷? 0 ,解得 a ? ? ? 桫 2÷

5 2

6. (石家庄 2014 届高三上学期月考)某公司在甲乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万 元)分别为 L1

? 5.06x ? 0.15x2 和 L2 ? 2x ,其中 x 为销售量(单位:辆) 。若该公司在这两

地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 A.45.606 【答案】B 【解析】设在甲地销售 x 辆车,则在乙地销售 15- x 辆车.获得的利润为 B.45.6 C.45.56 D.45.51

y ? 5.06x ? 0.15x 2 ? 2(15 ? x) ? ?0.15x 2 ? 3.06x ? 30, 当 x ? ?

3.06 ? 10.2. 时, 2 ? (?0.15)

y 最大,但 x ? N ,所以当 x ? 10 时, ymax ? ?15 ? 30.6 ? 30 ? 45.6. 故选 B.
二、填空题 7. ( 2014 杭 州 第 一 次 统 测 )

【答案】 【解析】 因为 cos a ?

[ 1,1],2 - sin b [1,2],所以结合二次函数的图象可得 ? í ?

ì ? f (- 1) 0 , f 1 = 0 ( ) ? ?

解得 b = 8.

1 2
2014 浙 江 宁 波 市 高 三 第 一 学 期 期 末 考 试 ) 设 函 数



?2 x ? a, x ? 1 f ( x) ? ? , 若f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则实数 a 的取值范围是 ?? x ? 2a, x ? 1
【答案】 -



3 < a < 0或a > 0 4

ì ? 1- a > 1 【 解 析 】 显 然 a ? 0 , 当 a < 0时, ? , 所 以 由 - (1- a)- 2a < 2(1+ a)+ a 得 í ? ? ? 1+ a < 1

6 / 28

-

ì 1- a < 1 ? 3 < a < 0 ;当 a > 0时, ? ,由 - (1+ a)- 2a < 2(1- a)+ a 得 a > 0 ,综上实 í ? 4 ? ? 1+ a > 1
3 < a < 0或a > 0 4

数 a 的取值范围是 -

9. (西安 2014 届高三第二次诊断性测试数学)对于函数 f ( x) ? x | x | ? px ? q ,现给出四 个命题: ① q ? 0 时, f ( x ) 为奇函数 ② y ? f ( x) 的图象关于 (0, q ) 对称 ③ p ? 0, q ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有且只有一个实数根 ④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为 【答案】①②③ 【解析】若 q ? 0 ,则 .

f (x) ? x | x | ?px ? x ( x ? p )

,为奇函数,所以①正确。由①知,当

q ? 0 时 , 为 奇 函 数 图 象 关 于 原 点 对 称 , f ( x) ? x | x | ? px ? q 的 图 象 由 函 数

f ( x) ? x | x | ? px 向上或向下平移 q 个单位,所以图象关于 (0, q ) 对称,所以②正确。当

? x 2 ? q, x ? 0 ? f ( x) ? x | x | ? q ? ? 2 ? p ? 0, q ? 0 时, ?? x ? q, x ? 0 ,当 f ( x) ?0 ,得 x ? ?

q ,只有一解,

2 ? ? x ? x, x ? 0 f ( x) ? x | x | ? x ? ? 2 ? 所以③正确。取 q ? 0, p ? ?1 , ?? x ? x, x ? 0 ,由 f ( x ) ? 0 ,可得

x ? 0, x ? ?1 有三个实根,所以④不正确,综上正确命题的序号为①②③。

指数与指数函数、幂函数 1. (山东省实验中学 2014 届高三第二次诊断性测试)已知幂函数 f ( x) 的图像经过(9,3) , 则 f (2) ? f (1) = A.3 【答案】C 【 解 析 】 设 幂 函 数 为 f ( x)=x , 则 f (9)=9 =3 , 即 32? =3 , 所 以 2? =1,? =
?

B. 1 ? 2

C. 2 ? 1

D.1

?

1 ,即 2

7 / 28

1

f ( x)=x 2 = x ,所以 f (2) ? f (1)= 2 ?1 ,故选 C.
2.( 广州 2014 届高三七校第二次联考)设函数 f ( x) ? x? ? 1 ( ? ? Q )的定义域为

??b, ?a? ?a, b? ,其中 0 ? a ? b ,且 f ( x) 在 ? a, b? 上的最大值为 6 ,最小值为 3 ,
则 f ( x) 在 ? ?b, ?a? 上的最大值与最小值的和是 A. ?5
【答案】C 【解析】设 h( x) = f (x)- 1 = x ,则由题意知 h( x) 为奇函数或偶函数。当 h( x) 为奇函数
a

(

)

B. 9

C. ?5 或 9

D. 以上不对

时,由 f ( x ) 在 a, b 上的最大值为 6 ,最小值为 3 得 h( x) 在 ? ?b, ?a? 上的最大值与

?

?

最小值-2 和-5,从而 f ( x) 的最大值和最小值为-1 和-4,其和为-5;当 h( x) 为偶
函数时,由 f ( x ) 在 a, b 上的最大值为 6 , 最小值为 3 得 h( x) 在 ? ?b, ?a? 上的最大值

?

?

与最小值 5 和 2,从而 f ( x) 的最大值和最小值为 6 和 3,其和为 9.
3. (成都七中 2014 届高三上期中考试)若函数 f ( x) ? 1 ? 3 ? a ? 9 ,其定义域为
x x

?? ?, 1? ,则 a 的取值范围是(
A. a ? ? 【答案】 :A



4 9

B. a ? ?

4 9

C. a ? ?

4 9

D. ?

4 ?a?0 9

9 【解析】由题意得 1+ 3 + a 壮
1鼢 ?? ?, 1? 。 设 h( x) = 珑 珑 鼢+ 珑x 鼢 骣 桫 3
2

x

x

骣 1÷ 1 0 的解集为 ?? ?, 1? ,即 ? ÷+ +a ? ? 桫 3x ÷ 3x
2

2

0 的解集为

骣 1 1 1 1 , 因 为 x? ( + a= x + + ax 桫 3 3 2 4
4 9
2? m

,所以 , 1]

1 1 ?[ , x 3 3

) ,故只需 h(1) = 0 ,所以 a ? ?

4. (武汉 2014 届高三 11 月月考)已知函数 f ( x) ? x 奇函数,则下面成立的是( A ) A. f (m) ? f (0) 【答案】 :A B. f (m) ? f (0)

定义在区间 [?3 ? m, m ? m] 上的
2

C. f (m) ? f (0)

D. f (m) 与 f (0) 大小不确定

【解析】因为函数是奇函数,所以 - 3 - m + m2 - m = 0 ,解得 m = 3或 - 1 。当 m = 3 时,
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-1 3 函数为 f (x) = x ,定义域不是[-6,6],不合题意;当 m = - 1 时,函数为 f (x) = x 在定义

域[-2,2]上单调递增,又 m < 0 ,所以 f (m) ? f (0) 5.(2014 届安徽省蚌埠市高三第一次质量检查考试) 设a ? 0, 且 a ? 1, 则 “函数 f ( x) ? a x ” 在 R 上是增函数”是“函数 g ( x) ? xa ”在 R 上是增函数”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】D. 【解析】函数 f ( x) ? a 在 R 上是增函数,即 a ? 1 ;但当 a ? 2 时,函数 g ( x) ? x 在 R 上不
x 2 a 是增函数. 函数 g ( x) ? x 在 R 上是增函数时,可有 a ?



(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 x ,此时函数 f ( x) ? a 在 R 上不是 3

增函数.选 D. 二、填空题. 6.

【答案】2 【解析】由幂函数定义知 m2 - m - 1 = 1,所以 m = - 1或m = 2 ,当 m = - 1 时,函数为

y = x0 在区间 (0, +
减函数,符合题意。

) 上不是减函数;当 m = 2 时,函数为 y = x- 3 在区间 (0, + ) 上是

7.(厦门 2014 届高三 11 月诊断检测)若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大 值为 4,最小值为 m,且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=___. 【答案】

1 4 1 。若 a ? 1 , 4

【解析】 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 1 ? 4m ? 0 ,所以 m ? 则函数 y ? a 单调递增,此时有 a ? 4, a ? 2 , m ? a
x 2
?1

1 1 ? ,此时不成立,所以 a 2 1 a ? 2 不 成 立 。 若 0 ? a ? 1 , 则 函 数 y ? a x 单 调 递 减 , 此 时 有 a ?1 ? 4, a ? , 4 1 1 1 m ? a 2 ? ( ) 2 ? ,此时成立,所以 a ? . 4 16 4 ?
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对数与对数函数 1. (湖南长沙 2014 届高三第一次教学质量诊断) 2lg 2 ? lg A.1 【答案】 :B 【解析】 2lg 2 ? lg B.2
1 = lg 4 + lg 25 = lg100 = 2 25 1 的值为 25

C.3

D.4

2(陕西西安 2014 届高三上学期期中)若函数 y ? log 2 的取值范围是 A. ? 0,3? 【答案】 :B B. 0,3?

? mx

2

? 2 mx ? 3

?

的定义域为 R,则实数 m D. ?0,3?

?

C. ? 0,3

?

2 【 解 析 】 由 题 意 mx - 2mx + 3 > 0 恒 成 立 。 当 m = 0 时 符 合 题 意 ; 当 m ? 0 时 只 需

ì m> 0 ? ? í 2 ? m ? ? V= (- 2m) - 4? 3

0

,解得 0 < m < 3 ,综上应选 B

【答案】B 【解析】因为 y = log5 x 在定义域内是单递增函数,所以 b < a ,又 log5 4 < 1 < log4 5 , 所以 a < c 4. (山东省实验中学 2014 届高三第二次诊断性测试)若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则 A. 0 ? a ? b ? 1 C. a ? b ? 1 【答案】B B. 0 ? b ? a ? 1 D. b ? a ? 1

1 1 ? ?0 【解析】由 log , 即 log2 b ? log2 a ? 0 , 所 以 log 2 b a 2?log b 2 ? 0 得 log 2 a

0 ? b ? a ? 1 ,选 B.
5. (2014 届江西省师大附中、临川一中高三上学期 1 月联考)设 a,b,c 依次是方程

2 x ? x ? 0, log 2 x ? 2 ? x, log 1 x ? x 的根,则(
2

) D. b ? c ? a

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c
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【答案】D 【解析】

6. (浙江省宁波市 2014 届高三上学期期末考试数学文试题)设函数 f ( x ) 定义在实数集 R 上, f (2 ? x) ? f ( x) ,且当 x ? 1 时 f ( x ) = 1nx ,则有

1 1 3 2 1 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 2 3
【答案】C

A. f ( ) ? f (2) ? f ( )

1 3 1 1 D. f (2) ? f ( ) ? f ( ) 2 3
B. f ( ) ? f (2) ? f ( )

1 2

【 解 析 】 由 f( 2 ? x ?)

f (可 x )知 函 数 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 所 以

1 3 1 5 3 5 f ( ) ? f ( ), f ( ) ? f ( ) , 且当 x ? 1 时, 函数单调递增, 所以 f ( ) ? f ( ) ? f (2) , 2 2 3 3 2 3 1 1 即 f ( ) ? f ( ) ? f (2) ,即选 C. 2 3
二、填空题、 7. (蚌埠市 2014 届高三年级第一次教学质量检查考试)

若 loga2=m,loga3=n,则 a2m n=________. 【答案】12


【解析】由题意 a = 2, a = 3 ,所以 a

m

n

2 m+ n

= (a m ) 2 ?a n

(2) ? 3 12
3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为 3 ?1 3
x

2

8. (2014 届江西省南昌一中、南昌十中高三上学期联考)方程 __________________ 【答案】 x ? log3 4 【解析】两边同乘以 3(3x ? 1) ,整理得: ? (3 ) ?
x 2

1 3

4 x ? 3 ? 8 ? 0 ,解得 x ? log3 4 。 3

函数与方程﹑函数模型及其应用
函数的图象、函数与方程
x 1. (福建厦门 2013-2014 年度上学期高三第一次考试) 函数 f ? x ? ? 2 ?

1 的零点所在的大致区间 x

是(


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A. (0,

1 ) 2

B. (

1 ,1) 2

C. (1,

3 ) 2

D. (

3 ,2) 2

【答案】B

1÷ 2 1 【解析】因为函数单调递增,且 f ? ? ÷=2 - 2 < 0, f (1) = 2 - 1 > 0 ,所以函数的零点在 ? ÷
区间(

骣 桫 2

1

1 ,1)内 2

2. (合肥市 2014 年第一次教学质量检测) 函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 在区间 ( , 3) 上有零点, 则实数 a 的取值范围是( A. (2, ??) 【答案】D ) B. [2, ??) C. [ 2,

1 2

5 ) 2

D. [2,

10 ) 3

÷? f (3) 【解析】当 f ? ? ÷ ? ÷

骣 1 桫 2

1 0 时 , 函 数 在 区 间 ( , 3) 上 有 且 仅 有 一 个 零 点 时 , 解 得 2

ì 1 a ? ? < <3 ? ? 2 2 ? ? 2 ? V = a 4 0 5 10 1 ? < a< ;当 í 时 , 函 数 在 区 间 ( , 3) 上 有 一 个 或 两 个 零 点 , 解 得 骣 1÷ ? 2 3 2 ? f? >0 ÷ ? ? ÷ ?2 ? 桫 ? ? ? ? ? ? f (3) > 0 5 5 1 10 2? a ;当 a = 时,函数的零点为 或2 符合题意,当 a = 时,函数的零点为 2 2 3 2 1 或 3 ,不符合题意,故选 D 3
3.

【答案】A 【解析】函数为偶函数且当 x = 0时,f (0) = 0 ,故选 A 4.(汕头市 2014 年普通高中高三教学质量监控测评试题)已知函数 y ? sin ax ? b(a ? 0) 的 图象如左图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能是(
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【答案】C 【解析】由函数 y ? sin ax ? b(a ? 0) 的图象知:? í

ì 0< a< 1 ? ,故函数 y ? loga ( x ? b) 的图 ? ? ? 0< b< 1

象可以由 y = log a x 左移 b 个单位得到,所以应选 C 5. 湖 北 省 部 分 重 点 中 学 2014 届 高 三 第 二 次 联 考 ) 已 知 f ( x)? l nx? x? 2 ,

g ( x) ? x ln x ? x ? 2 在 ?1, ?? ? 上都有且只有一个零点, f ( x) 的零点为 x1 , g ( x) 的

零点为 x2 ,则(

) B. 1 ? x1 ? x2 ? 2 C. 1 ? x1 ? 2 ? x2 D. 2 ? x2 ? x1

A. 1 ? x2 ? x1 ? 2
【答案】A 【解析】

f ( x) ? ln x ? x ? 2 的 零 点 是 函 数 y = ln x与y = 2 - x 的 交 点 的 横 坐 标 ,

g ( x) ? x ln x ? x ? 2 的零点是函数 y = ln x与y =
中画出这些函数的图象,可以看出 1 ? x2 ? x1 ? 2

2 - 1的交点的横坐标,在同一个坐标系 x

6. (2014 吉林一中高三年级 11 月教学质量检测) 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增 长 9.5%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y ? f ( x) 图象大致为 ( )

13 / 28

【答案】D 【解析】设原来森林蓄积量为 a ,因为某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 9.5%,所以一年后,森林蓄积量为 a ?1 ? 9.5%? ,两年后,森林蓄积量为 a ?1 ? 9.5% ? ,
2

经过 y 年,森林蓄积量为 a ?1 ? 9.5% ? ,因为要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,
y

所以 a ?1 ? 9.5% ? ? ax, 即y ? log1.095 x ,所以答案应选 D。
y

二、填空题 7.(福建周宁一中、政和一中 2014 届高三第四次联考)已知函数 f ( x) ? ?

?2 x

( x 0), ?
.

?log 2 x ( x ? 0),



直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图象有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 【答案】 (0,1)

?2 x ( x ? 0), 【解析】在坐标系中画出函数 f ( x) ? ? 的图象,可见当 0 < m < 1 时,直线 ?log 2 x ( x ? 0),
y ? m 与函数 f ( x) 的图象有两个不同的交点

8.

(中山市高三级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试)
0)
有 3 个零点,则实数

?ax 2 ? 2 x ? 1, ? ( ? 2x? 已 知 函 数 f ( x) ? ? ?ax ? 3, ( x ? 0)
是 .

a 的取值范围

3 【答案】 ( ,1) 4
【解析】因为二次函数最多有两个零点,所以函数 y = ax - 3( x > 0) 必有一个零点,从而
14 / 28

a > 0 ,所以函数 y = ax2 + 2x + 1(- 2 < x

ì 2 ? ? - 2< - < 0 ? ? a ? ? ? 0) 必有两个零点,故需要 í f (- 2) > 0 , ? ? f (0) > 0 ? ? ? ? ? ? V= 4 - 4a > 0

解得

3 < a< 1 4

导数及其应用
导数运算及其几何意义的应用
2 1.( 2014 吉林一中高三年级 11 月教学质量检测)函数 y ? 2 x 的导数是

x2 ? 1





2 2 A. y ? ? 4 x( x ? 1) ? 4 x ( x 2 ? 1)2

B. y ? ?

4 x( x 2 ? 1) ? 4 x3 ( x 2 ? 1)2

2 3 C. y ? ? 4 x( x ? 1) ? 4 x 2 2 ( x ? 1)

2 D. y ? ? 4 x( x ? 1) ? 4 x

( x 2 ? 1)2

【答案】B
2 2 2 4 x( x 2 ? 1) ? 4 x3 【解析】因为 y ? 2 x ,所以 y? ? 4 x ? x ? 1? ? 2 x ? 2 x ? ,因此选 B。 2 2 2 2

x ?1

?x

2

? 1?

( x ? 1)

2. (湖北省襄阳市四校 2014 届高三数学上学期期中联考试题) 函数 A、

f ?x ? ? e x cos x 的图像在点 ?0, f ?0??处的切线的倾斜角为(
B、0 C、

)

? 4

3? 4

D、1

【答案】A 【解析】

3.

【答案】D 【解析】由 f ( x) =

x 1 1 ' = - 1得: f ( x) = ,所以 f ? 2? = ? 2, f ' ? 2? ? 1 , 2 1- x x- 1 (x - 1)

15 / 28

所以

f ' ? 2? ? ?2 f ? 2?

4. (2014 长沙教学质量检测) 若曲线 f ( x) ? x 4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x ? y ? 0 , 则点 P 的坐标为( A. (—1,2) 【答案】C 【解析】 设点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? , 因为 f ?( x) ? 4x3 ?1 , 所以 f ?( x0 ) ? 4x03 ?1 ? 3,即x0 ? 1, 把 x0 ? 1代入函数 f ( x) ? x 4 ? x 得 y0 ? 0 ,所以点 P 的坐标为(1,0) 。 5. 已知函数 f ( x) ? ) B. (1,—3)

C. (1,0)

D. (1,5)

1 3 x ? 2 x 2 ? 2 x ,若存在满足 0 ? x0 ? 3 的实数 x0 ,使得曲线 y ? f ( x) 在 3


点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与直线 x ? my ? 10 ? 0 垂直,则实数 m 的取值范围是( A. [6, ??) 【答案】C B. (??, 2] C. [2, 6] D. [5, 6]

二、填空题 6. (江西省 2014 届高三新课程适应性考试) 已知函数 y ? f ( x) 的图象在 M (1, f (1)) 处的 切线方程是 y ? 【答案】3 【 解 析 】

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2

.

7(2014 广东清远高三月考)

16 / 28

【解析】 导数的几何意义,切线的斜率为 nx 直线 l 的方程为 9 x ? y ? 6 3 ? 0 . 8. (2014 山东省实验中学高三适应训练) 已知 f ( x) ? x 2 ? 2xf ' (1) , 则 f ' (0) ?
n ?1



|x ? 3 ? 3 ? ( 3) 2 ? 9 ,所以,由直线方程的点斜式得

.

【答案】 ?4 【解析】函数的导数为 f ' ? x ? ? 2x ? 2 f ' ?1? ,? f ' ?1? ? 2 ? f ' ?1? ,解得 f ' ?1? ? ?2 ,所以

f ' ? x ? ? 2x ? 4 ,故 f ' ? 0? ? ?4
9.(湖北省武昌区 2014 届高三 1 月调考数学) 设 f1 ( x) ? sin x ,定义 f n ?1 ( x) 为 f n ( x) 的导数,即 f n?1 ( x) ? f ' n ( x) , n ?N 若 ?ABC 的内角 A 满足 f1 ( A) ? f 2 ( A) ? ... ? f 2014 ( A) ? 2 ,则 tan A 的值是
2
*

.

【答案】 ?2 ? 3 【 解 析 】 因 为

f1 ? x ? ? sin x, f2 ? x ? ? f1' ? x ? ? cos x, f3 ? x ? ? f '2 ? x ? ? ? sin x, f4 ? x ? ? f '3 ? x ? ? ? cos x, f5 ? x ? ? f '4 ? x ? sin x,
, 所 以

f1 ? A? +f2 ? A? ? s
角 A=

A?

iA ?

2 , 所以 n ?ABC 的内 c 2

o

7? 7? ? ?2 ? 3 ,故 tan A ? tan 12 12

导数在研究函数性质中的应用 1. (河南省郑州市 2014 届高三数学第一次质量预测试题)设函数 f ?( x) ? x2 ? 3x ? 4, 则

y ? f ? x ? 1? 的单调减区间为(
A. ? ?4,1? 【答案】B B. ? ?5,0 ?

) C. ? ?

? 3 ? , ?? ? ? 2 ?

D. ? ?

? 5 ? , ?? ? ? 2 ?

17 / 28

【解析】由 f ?( x) ? x 2 ? 3x ? 4, 得函数的单调减区间是 调减区间是 ? ?5,0 ? 2. (四川内江市高中 2014 届第三次模拟考试题)

? ?4,1? ,所以 y ? f ? x ?1? 的单

1 1 已知函数 f(x)= x3- x2+cx+d 有极值,则 c 的取值范围为 3 2 1 1 1 1 A.c< B. c≤ C. c≥ D.c> 4 4 4 4
【答案】A 【解析】由题意 f ' ? x ? ? x2 ? x ? c中 ? 1? 4c ? 0 ,解得 c<

1 4

3.(成都高新区 2014 届高三 10 月统一检测)函数 f ( x) 是定义域为 R 的函数,对任意实数

x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) 成立. 若当 x ? 1 时, 不等式 ( x ? 1) ? f ?( x) ? 0 成立, 设 a ? f (0.5) ,
4 b ? f ( ) , c ? f (3) ,则 a , b , c 的大小关系是 3
A. b ? a ? c 【答案】 :A 【解析】因为对任意实数 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) 成立,所以函数的图象关于 x ? 1 对称,又 B. a ? b ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b

? 由于若当 x ? 1 时,不等式 ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 成立,所以函数在 ?1, ?? ? 上单调递减,所以

4 b? f( ) 3? 3 ? a ? f ? 0.5? ? f ? ? ? ? f ? 3? ?2?
4.(湖北省重点中学 2014 届高三 10 月阶段性统一考试)已知函数 f ? x ? ? x ? tx ? 3x ,
3 2

若对于任意的 a ? 1, 2 , b ? ? 2,3 ,函数 f ? x ? 在区间 a, b 上单调递减,则实数 t 的取值 范围是 A. ? ??,3 【答案】D ( )

? ?

?

?

?

?

B. ? ??,5

?

C. 3, ?? ?

?

D. 5, ?? ?

?

18 / 28

5.

(河南省周口市 2014 届高三数学上学期期末抽测调研试题)

3 2 ) 已 知 函 数 f ?x ? ? x ? m x ? ?m ? n ?x ? 1 的 两 个 极 值 点 分 别 为 x1 , x2 , 且 x1 ? ( 0 , 1 , 3 2

x2 ? (1, ? ?) ,点 p(m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存在
区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是( A. (1,3] 【答案】B 【解析】易知 y? ? x ? mx ?
2



B. ( 1,3)

C. (3, +?)

+?) D. [3,

m?n ? 0 的两根 x1,x2 满足 x1 (0, 1),x2 (1, + ),所以 2

?m ? n ?0 ? ?m ? n ? 0 ? 2 ,即 ? , 画出其表示的可行域 D, 因为 y ? loga ( x ? 4)(a ? 1) 的 ? ?1 ? m ? m ? n ? 0 ?3m ? n ? 2 ? 0 ? ? 2
图象上存在区域 D 内的点, 所以 loga ? ?1 ? 4? ? 1 所以实数 a 的取值范围为 (1,3) 。 ,即a ? 3 , 6. (湖南常德市 2013-2014 学年度上学期高三检测考试) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ?( x) ? f ( x) 恒成立, 若 x1 ? x2 , 则 e x1 f ( x2 ) 与 e x2 f ( x1 ) 的 大小关系为 A. ex1 f ( x2 ) ? e x2 f ( x1 ) C. B. D.

ex1 f ( x2 ) ? ex2 f ( x1 ) ex1 f ( x2 )与ex2 f ( x1 ) 的大小关系不确定
x

ex1 f ( x2 ) ? ex2 f ( x1 )

【答案】A
' x ' 【解析】设 g ( x) ? f ? x ? , 则g ' ? x ? ? f ? x ? e ? f ? x ? e ? f ? x ? ? f ? x ? ,由题意 g ' ? x ? ? 0 ,所以 2 ex ex ? ex ?

g ( x) 单 调 递 增 , 当 x1 ? x2 时 , g ( x1 ) ? g ? x2 ? , 即

f ? x1 ? f ? x2 ? ? x2 , 所 以 e x1 e

19 / 28

ex1 f ( x2 ) ? ex2 f ( x1 )
二、填空题 7.

【答案】 【 解 析 】 由 题 意 f ' (x) = 3x2 - 4ax + a2 的 两 个 零 点 x1 , x2 满 足 x1 < 2 < x2 , 所 以

f ' (2) = 12 - 8a + a2 < 0 ,解得 2 < a < 6

利用导数研究函数的单调性 1. (广东省华附、省实、广雅、深中四校 2014 届高三数学上学期期末联考)对于集合 M, 定义函数 f M ( x) ? ?

??1, x ? M ,对于两个集合 M、N,定义集合 ? 1, x ? M

M ? N ? x f M ( x) ? f N ( x) ? ?1 .已知 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , B ? ?1,3,9, 27,81? .
(Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值, (Ⅱ)用列举法写出集合 A ? B ; 【 解 析 】

?

?

2. (河南省郑州市 2014 届高三数学第一次质量预测试题)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数, 2 且当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x﹣3,求 f(x)的解析式. (2)已知奇函数 f(x)的定义域为[﹣3,3],且在区间[﹣3,0]内递增,求满足 f(2m﹣1) 2 +f(m ﹣2)<0 的实数 m 的取值范围.
20 / 28

【解析】 (1)当 x<0 时,﹣x>0,f(﹣x)=(﹣x) ﹣2(﹣x)﹣3=x +2x﹣3, 2 2 又 f(x)为奇函数,所以 f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(x +2x﹣3)=﹣x ﹣2x+3, 而 f(﹣0)=﹣f(0) ,即 f(0)=0,

2

2

所以 f(x)=



(2)因为 f(x)为奇函数,且在[﹣3,0]内递增,所以在[0,3]内也递增, 所以 f(x)在定义域[﹣3,3]内递增, 2 2 f(2m﹣1)+f(m ﹣2)<0,可化为 f(m ﹣2)<﹣f(2m﹣1) , 2 由 f(x)为奇函数,得 f(m ﹣2)<f(1﹣2m) , 又 f(x)在定义域[﹣3,3]内递增,

所以

,解得﹣1≤m<1.

故满足 f(2m﹣1)+f(m ﹣2)<0 的实数 m 的取值范围为:[﹣1,1) .

2

利用导数研究函数的极值与最值 1. (成都七中 2014 届高三上期中考试)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a .
2

(1)当 a ? 0 时,画出函数 f ( x) 的简图,并指出 f ( x) 的单调递减区间; (2)若函数 f ( x) 有 4 个零点,求 a 的取值范围. 【解析】 : (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? ?
2 ? ?( x ? 1) ? 1 , 2 ? ?( x ? 1) ? 1 ,

( x ? 0) ( x ? 0)

,

由图可知, f ( x) 的单调递减区间为 ?? ?, ? 1? 和 ?0, 1? ………………6 分

(2)由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 2 x ? a ,
2

∴曲线 y ? x ? 2 x 与直线 y ? a 有 4 个不同交点,
2

21 / 28

∴根据(1)中图像得 ? 1 ? a ? 0 ??????12 分 2. 【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文) 】 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(其中a ? 0, 且a ? 1) (Ⅰ)求函数

f ( x) ? g ( x) 的定义域; f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并予以证明;

(Ⅱ)判断函数 (Ⅲ)求使

f ( x) ? g ( x) ? 0 成立的 x 的集合.

【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? g ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x) 由?

?x ? 1 ? 0 ?1 ? x ? 0

得 ?1 ? x ? 1

??????2 分

所求定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1, x ? R? (Ⅱ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x)

??????3 分

? log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x) ? log a

x ?1 1 ? x ??????4 分

定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1, x ? R?

h?? x ? ? log

?1 1? x x ?1 ? x ?1? ? log ? ? ? h? x ? ? ? ? log a 1? x a 1? x ?1? x ?
?????8 分

∴ f ( x) ? g ( x)为奇函数 (Ⅲ) f ( x) ? g ( x) ? loga ( x ? 1)(1 ? x) ? loga 1 ? x 2 ? 0 ? loga 1

?

?

?????9 分

?当a ? 1时, 0 ? 1-x 2 ? 1, 得-1 ? x ? 0或0 ? x ? 1
当 0 ? a ? 1时,1-x ? 1 . 不等式解集为空集
2

综上:

当a ? 1时,不等式的解集为??1 ? x ? 0或0 ? x ? 1?
当 0 ? a ? 1时, 不等式的解集为空集 ?????14 分

3. 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试文】为方便游客出行,某旅游点有 50 辆自行车 供租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆.为了便 于结算,每辆自行车的日租金 x(元) 只取整数,并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一 日的管理费用,用

y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去管理
22 / 28

费用后的所得)

(1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?

, 【解析】 (1)当 x ? 6 时 y ? 50x ? 115
令 50 x ? 115 ? 0 ,解得 x ? 2.3

? x ? N *,? x ? 3,? 3 ? x ? 6, x ? N *,
当 x ? 6 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)]x ? 115 ,

???2 分

令[50 ? 3( x ? 6)]x ? 115 ? 0,3x 2 ? 68x ? 115 ? 0
上述不等式的整数解为 2 ? x ? 20( x ? N *),

? 6 ? x ? 20( x ? N *)


(3 ? x ? 6, x ? N *) ?50x ? 115 y?? 2 ?? 3x ? 68x ? 115(6 ? x ? 20, x ? N *)
???6 分

定义域为 {x | 3 ? x ? 20, x ? N *) (2)对于 y ? 50x ? 115

(3 ? x ? 6, x ? N *) ,
???8 分

显然当 x ? 6 时, y max ? 185(元)

2 2 对于 y ? ?3x ? 68 x ? 115 ? ?3( x ? 3 ) ? 3 (6 ? x ? 20, x ? N *)

34

811

当 x ? 11 时, ymax ? 270 (元)

???10 分

? 270 ? 185 ,
∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多.

导数研究函数的性质
1.( 湖北省黄冈中学 2014 届高三数学上学期 10 月月考试题 )已知函数 f(x)=x +ax +
3 2

bx+c 在点 x0 处取得极小值-5,其导函数 y=f′(x)的图象经过点(0,0),(2,0).
(1)求 a,b 的值; (2)求 x0 及函数 f(x)的表达式. 【解析】:(1)由题设可得 f′(x)=3x +2ax+b. ∵f′(x)的图象过点(0,0),(2,0),
2

23 / 28

?b=0, ? ∴? ?12+4a+b=0 ?
2

解得 a=-3,b=0.

(2)由 f′(x)=3x -6x>0,得 x>2 或 x<0, ∴在(-∞,0)上 f′(x)>0,在(0,2)上 f′(x)<0,在(2,+∞)上 f′(x)>0,∴f(x)在(- ∞,0),(2,+∞)上 递增,在(0,2)上递减,因此 f(x)在 x=2 处取得极小值,所以 x0=2,由

f(2)=-5,得 c=-1,∴f(x)=x3-3x2-1.

2. (2014 届江西省南昌一中、南昌十中高三上学期联考)设 a 为实数, 函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. 【解析】(1)由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R.令 f′(x) =0,得 x=ln 2. 于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,ln 2) - 单调递减

ln 2 0 2(1-ln 2+a)

(ln 2,+∞) + 单调递增

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞),

f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,
极小值为 f(ln 2)=2(1-ln 2+a). (2)设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln 2-1 时,g′(x)的最小值为

g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.
于是对任意 x∈R 都有 g′(x)>0, 所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.

24 / 28

3. (山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文试题)函数 f ( x) ?

1 1 1 ? 2? 3; x x x

(1)求 y ? f ( x) 在 ?? 4, ? ? 上的最值; 2

? ?

1? ?

(2)若 a ? 0 ,求 g ( x) ?

1 2 a ? 2 ? 3 的极值点 x x x

25 / 28

条件求值、条件求角 1.(四川省泸州市 2014 届高三数学第一次教学质量诊断性考试试题 ) 设函数 ( f x) = +xlnx, g(x)=x ﹣x ﹣3. (I)如果存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整 数 M; (II)如果对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.. 【解析】 (I)存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立等价于 g(x)max﹣g(x) min≥M ∵g(x)=x ﹣x ﹣3,∴ ∴g(x)在(0, )上单调递减,在( ,2)上单调递增 ∴g(x)min=g( )=﹣ ∴g(x)max﹣g(x)min= ∴满足的最大整数 M 为 4; (II)对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立等价于 f(x)≥g(x)max. 由(I)知,在[ ,2]上,g(x)max=g(2)=1 ∴在[ ,2]上,f(x)= +xlnx≥1 恒成立,等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立 记 h(x)=x﹣x lnx,则 h′(x)=1﹣2xlnx﹣x 且 h′(1)=0 ∴当 时,h′(x)>0;当 1<x<2 时,h′(x)<0
2 2 3 2 3 2

,g(x)max=g(2)=1

∴函数 h(x)在( ,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, ∴h(x)max=h(1)=1 ∴a≥1
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2. (山西省太原市 2014 届高三数学模拟考试试题) 已知函数 自然对数的底数). (1) 若曲线 (2)求函数

f ( x) ? x ? 1 ?

a (a?R ,e为 ex

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; f ( x) 的极值; y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的

(3)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 最大值. (1)a=e.(2)当 a≤0 时,函数 f(x)无极值;

当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值. 1 (3)当 a=1 时,f(x)=x-1+ x.直线 l:y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点, e 1 等价于关于 x 的方程 kx-1=x-1+ x在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: e 1 1 (k-1)x= x(*)在 R 上没有实数解.①当 k=1 时,方程(*)可化为 x=0,在 R 上没有实数 e e 解.②当 k≠1 时,方程(*)化为 1 x x x =xe .令 g(x)=xe ,则有 g′(x)=(1+x)e . k-1

令 g′(x)=0,得 x=-1,当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:

x g′(x) g(x)

(-∞,-1) -

-1 0 - 1 e

(-1,+∞) +

1 当 x=-1 时,g(x)min=- ,同时当 x 趋于+∞时,g(x)趋于+∞,从而 g(x)的取值范围为 e 1 1 1 - ,+∞.所以当 ∈?-∞,- ?时,方程(*)无实数解. e? e k-1 ? 解得 k 的取值范围是(1-e,1).综上①②,得 k 的最大值为 1.

3. ( 山 东 省 青 岛 一 中 2013 届 高 三 调 研 考 试 文 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? 3 x(a, b ? R) ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? c ,求实数 c 的
最小值; (3)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? 3 ? f (1) ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, 根据题意,得 ? 即? ? f ?(1) ? 0, ?3a ? 2b ? 3 ? 0,
【解析】:(1)?

27 / 28

解得 ?

?a ? 1, ?b ? 0.
2

? f ( x) ? x 3 ? 3 x.

(2)令 f ?( x) ? 3 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 f(1)=-2, f (?2) ? ?2, f (2) ? 2 ?当x ? [?2, 2] 时, f ( x) max ? 2, f ( x) min ? ?2. f(-1)=2, 则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x) max ? f ( x) min |? 4 所以 c ? 4. 所以 c 的最小值为 4 3 (3)设切点为 ( x0 , y0 ), 则y0 ? x0 ? 3 x0
2 f ?( x0 ) ? 3 x0 ?3, 2 ? 3. ? 切线的斜率为 3 x0

则 3 x0 ? 3 ?
2

3 x0 ? 3x0 ? m x0 ? 2

3 2 即 2 x0 ? 6 x0 ? 6? m ? 0,

因为过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线
3 2 所以方程 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解

即函数 g ( x) ? 2 x ? 6 x ? 6 ? m 有三个不同的零点,
3 2

则 g ?( x) ? 6 x ? 12 x.
2

令 g ?( x) ? 0, 解得x ? 0或x ? 2.

x
g ?( x)
g ( x)

(??, 0)
+

0 0 极大值

(0,2) —

2 0 极小值

(2,+∞) +

? g (0) ? 0 ?? ? g (2) ? 0

即?

?6 ? m ? 0 ,∴ ? 6 ? m ? 2 ?m ? 2 ? 0

4.

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