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2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准



2012 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 参考解答及评分标准
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、选 B.
解:
a
2

?

b

2

x

1? x

? ( x ? 1 ? x )(
<

br />a

2

?

b

2

x

1? x

) ? a ?b ? a ?
2 2 2

1? x x

?b ?
2

x 1? x

? (a ? b) .
2

当x

?

a a ?b

时,取得最小值 ( a

? b) .
2

2、选 C. 解:令 x
? 1 ,得
1? 2 ? 2 ?? ? 2
2 3 n

? a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2

n ?1

?3

. ,an
? 1 ,从而

又由 a 1 是 x 的系数, a n 是 x n 的系数知: a 1
60 ? n ( n ? 1) 2 ? a 0 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? 2
n ?1

?1? 2 ? 3?? ? n ? n ( n ? 1) 2

n ( n ? 1) 2

? 3?1?

,故

2

n ?1

? 64



n ? 5.

3、选 A. 解:由已知得
f ( ? 1 ) ? 1, f ( 0 ) ? 0 , f (1 ) ? f ( 0 ) ? f ( ? 1 ) ? ? 1, f ( 2 ) ? f (1 ) ? f ( 0 ) ? ? 1 ,而函数

f(x)的

值以 6 为周期重复性出现,所以 f(2012)= f(2)=-1, 故选 A .

4、选 D. 解:由题设知
f (x)

为偶函数,则考虑在 ? 1 ?

x ? 1 时,恒有

f ( x ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 0 1 2 ) ? 2 0 1 2 ? 2 0 1 3

. .

所以当 ? 1 ?

a ? 3 a ? 2 ? 1 ,且 ? 1 ? a ? 1 ? 1 时,恒有 f ( a ? 3 a ? 2 ) ? f ( a ? 1)
2
2

由于不等式 ? 1 ?

a ? 3 a ? 2 ? 1 的解集为
2

3? 2

5

? a ?

3? 2

5

,不等式

? 1 ? a ? 1 ? 1 的解集为 0 ? a ? 2

.因此当

3? 2

5

? a ? 2

时,恒有

f ( a ? 3 a ? 2 ) ? f ( a ? 1)
2

. 故满足条件的 a 值有无数多个.
1

5、选 B. 解:因为 2 0 1 2 ?
? 5 ? 360 ? 180 ? 32
?

?

?

?

,所以, ;b
? s in ( ? c o s 3 2 ) ? ? s in ( c o s 3 2 ) ? 0 ? c o s( ? c o s 3 2 ) ? c o s(c o s 3 2 ) ? 0
? ? ? ?

a ? s in ( ? s in 3 2 ) ? ? s in (s in 3 2 ) ? 0 c ? c o s ( ? s in 3 2 ) ? c o s (s in 3 2 ) ? 0
? ?

?



;d



又 s in 3 2 ?

? cos 32

?

,故 b

? a ? d ? c . 故选

B.

6、选 B. 解:将 1~5 如图排列, a 1
? 1, a 2 ? 4 , a 3 ? 3, a 4 ? 2 , a 5 ? 5

,此时最大数 5 两边是 1, 2 ,次大

数 4 两边是 1, 3 ,所求和值 a 1 a 2 大;此时 a 1 ?

? a 2 a 3 ? a 3 a 4 ? a 4 a 5 ? a 5 a 1 最小,任何调整都将使“和值”变

a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 15

,但是要和为 17,因此还得增加 2,由于 5 个数两两不

同,故 2 增加在最大数 5 上,此时“和值”最小,最小值为:
a1 a 2 ? a 2 a 3 ? a 3 a 4 ? a 4 a 5 ? a 5 a1 ? 1 ? 4 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 7 ? 7 ? 1 ? 4 3

.

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1、
120
?

.
2 2

解: ( a

? 3b ) ? ( a ? 5b ) ? 0 ? 7 a
2

? 16 a b ? 15 b
?? ? ? 30ab ? 8 b
2

? 0
? 0

(1) (2)

? ? ? ? ? (a ? 4b ) ? (7 a ? 2b ) ? 0 ? 7 a

(1)-(2)化简得 a ? b ?

1 2

b
2

2

; (3)
2

(1)×15+(2)×8 化简得 a
2 2

? b
2

; (4)
2

a. ? b
?

? (a - b)

2

? a

? 2a· ? b b

? b

设a

? ? ? b与 b

的夹角为 ? ,则 Cos

? ?

( a ? b )· b a ?b· b

? ?

1 2

,?

? 120

?

.

2、 .
8
2

3

解: 在
VB
? EFG

D 1 A1
? VE?B

的延长线上取一点
1F G

H

, 使

A1 H ?
S ?B ?

1 4
9 8

H . 易证, E

|| B 1 G

, E || 平面 B 1 F G . 故 H 的距离为
1.

1

? VH

? B1 F G

? VG ?B

1F H

.而

1FH

,G 到平面

B1 F H



VB

1

? E F G

?

3 8



3、 .
3

1

解:画树状图可得

P ( A 染 蓝 色 )=

4 12

?

1 3

.

4、 6 2 5 . 解: 由已知及韦达定理,有 数式 ( x 12
2
2 2

x1 ? x 2 ? x 3 ? 5

, x1 x 2
3
2

? x 2 x 3 ? x 3 x1 ? 5
3

, x1 x 2 x 3
3

? ?1

,从而代

? x1 x 2 ? x 2 ) ( x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 ) ( x 3 ? x 3 x1 ? x1 )
2 2

=

x1 ? x 2 x1 ? x 2
3

?

x2 ? x3
3

3

x2 ? x3

?

x 3 ? x1
3

x 3 ? x1
3

(5 x ? 5 x 1 ? 1) ? (5 x 2 ? 5 x 2 ? 1) (5 x 2 ? 5 x 2 ? 1) ? (5 x 3 ? 5 x 3 ? 1) (5 x 3 ? 5 x 3 ? 1) ? (5 x 1 ? 5 x 1 ? 1) = 1 ? ? x1 ? x 2 x2 ? x3 x 3 ? x1
3 2 2

=1 2 5 ( x1 ? =1 2 5 ( 4 ? =625.

x 2 ? 1) ( x 2 ? x 3 ? 1) ( x 3 ? x 1 ? 1) x 3 ) ( 4 ? x1 ) ( 4 ? x 2 )

5、

2 3

3

.

解:易知 a 又右焦点 (

? 2

,c
2

?

4?b

2

,e

?

4?b 2

2

.
? b

而渐近线方程为 ,故

x 2

?

y b

? 0 ? bx ? 2 y ? 0

.

4 ? b , 0)

到渐近线的距离为 d
4? ? e ? 2 4 3

b ?

4?b 2

2

? b ?

2 3

3

?

2 3

3

.

6、 9 0 . 解:由 6
? 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 及题设知,个位数字的选择有 5 种.
3

因为 3 ? 2 ? 1 ? 7 ? 6 ? 1 0 ,故 (1) 由 3 ? 2 ? 1 知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 1 0 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ? 1 0 及 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2 ? 4 ? 8 种. 于是,符合题设的不同点的个数为 5 ? (1 0 ? 8 ) ? 9 0 .

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 1、解: (I)若 a 5 为偶数,则 (i)若 a 4 为偶数,则
a5 2 a4 2 ? 1 ? a5 ? 2 ? 2 ? a4 ? 4 a3 2 ? 4 ? a3 ? 8 a2 2



[1]若 a 3 为偶数,则

???????????5 分

(1)若 a 2 为偶数,则

? 8 ? a 2 ? 16 a1 2 ? 16 ? m ? a 1 ? 32

①若 a 1 为偶数,则

符合 符合

②若 a 1 为奇数,则 3 m (2)若 a 2 为奇数,则 3a 2

? 1 ? 16 ? m ? a 1 ? 5
7 3

? 1 ? 8 ? a2 ?

,但不论 m 是奇数还是偶数,均

不会使 a 2 的分母出现 3. [2]若 a 3 为奇数,则 3a 3 (1)若 a 2 为偶数,则

????????10 分

? 1 ? 4 ? a3 ? 1

a2 2

? 1 ? a2 ? 2 a1 2 ? 2 ? m ? a1 ? 4

①若 a 1 为偶数,则

符合
1 3

②若 a 1 为奇数,则 3 m (2)若 a 2 为奇数,则 3a 2

? 1 ? 2 ? m ? a1 ?

舍去

? 1 ? 1 ? a2 ? 0

,但不论正整数 m 是奇数还是偶

数,均不会使 a 2 等于 0. ???????????15 分 (ii)若 a 4 为奇数,则 3a 4 母出现 3
? 1 ? 2 ? a4 ? 1 3

,但从正整数 m 递推不可能使 a 4 的分

(II)若 a 5 为奇数,则 3 a 5 使 a 5 等于 0.

? 1 ? 1 ? a5 ? 0

,但不论正整数 m 是奇数还是偶数,均不会

4

综上所述 m 所有可能的取值为{32,5,4}.

??????????20 分

2、证明:如图,连结 P A 、 P B ,分别取 P A 、 P B 的中点 E 、 F ,则四边形 P E M F 是平 行四边形. ??????????5 分 于是,得 ? P E M 从而 故
?DEM ? ?PFM

, 又由 M E

?

1 2

BP ? CF

,MF

?

1 2

AP ? DE

,MD

? MC

,

≌ ?M FC ,?DEM

? ?M FC

.

????????10 分 , ,

?PED ? ?DEM ? ?PEM ? ?M FC ? PFM ? ?PFC



? PED ? 2? PAD

,?PFC
?

? 2? PBC

,得

?PAD ? ?PBC
?

由于 从而
P

? PQ A ? 2? PD A ? 90

,? PQB

? 2? PC B ? 90



、 Q 、 A 、 D 和 P 、 Q 、 B 、 C 分别四点共圆.????????15 分
? ?PAD

于是, ? P Q D 故

,?PQC

? ?PBC



?PQC ? ?PQD

??????????????20 分

3、解:(1) 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,所以焦距 2c=|AB|=6. ??????5 分 因为 又
cos C ? | CA |
2

? | CB |

2

?6

2

?

(| CA | ? | CB |)

2

? 2 | CA || CB | ? 36

?

2a

2

? 18

?1

2 | CA || CB |

2 | CA || CB |

| CA || CB |

| CA | ? | CB |? (

2a 2

)

2

? a

2

,所以

cos C ? 1 ?

18 a
2

,由题意得

1?

18 a
2

?

7 25

,a

2

? 25

.

此时,|PA|=|PB|,P 点坐标为 P(0,±4). 所以 C 点的轨迹方程为
x
2

?

y

2

?1

( y ? 0)

????????????10 分

25

16

(2) 不妨设 A 点坐标为 A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 900
5

时,设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得
2 2

(

1 25

?

k

2

)x

2

?

3 8

k x ? (
2

9k 16

2

? 1) ? 0

16 225 k
2

显然有 △≥0, 所以

x1 ? x 2 ? ?

150 k

16 ? 25 k

,

x1 x 2 ?

? 400
2

16 ? 25 k

而由椭圆第二定义可得
| BM | ? | BN | ? ( 5 ? 3 5 450 k
2 2

x 1 )( 5 ?

3 5

x 2 ) ? 25 ? 3 ( x 1 ? x 2 ) ?

9 25

x1 x 2 k ? k
2 2

? 25 ?

16 ? 25 k

?

81 k

2

? 144
2

16 ? 25 k

? 25 ?

531 k

2

? 144
2

16 ? 25 k

? 25 ?

531 25

? ?

144 531 16 25

??????15 分

k

2

? ?

144 531 16 25

16

?
2

144 531 16 25

只要考虑
k
2

的最小值,即考虑 1 ?

25 k ?

取最小值.

当 k=0 时, | BM

| ? | BN | 取最小值

16.
| BM | ? | BN | ? ( 34 5 )
2

当直线 MN 的倾斜角为 900 时,x1=x2=-3,得 但 在
x
2

? 16

.

?

y

2

?1 上 y ? 0

,故 k

? 0

,这样的 M、N 不存在,即 | BM

| ? | BN | 的最小值的集

25

16

合为空集.

????????20 分

6



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