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高一数学必修1各章知识点总结



高一数学必修 1 各章知识点总结
第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ... } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 * 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c......} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1."包含"关系-子集 注意:有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2."相等"关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} "元素相同则两集合相等" 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB(或 BA) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 * 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 AB(读作'A 交 B') ,即 AB={x|xA,且 xB} . 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集. 记作: AB (读作'A 并 B') , 即 AB ={x|xA, 或 xB}).设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集

A 的补集(或余集) 记作,即 CSA= 韦 恩 图 示 性 质 AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABA ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ. 例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 3.若集合 M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A=,B=,若 AB,则的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做得正 确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 7.已知集合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩ C≠Φ,A∩C=Φ,求 m 的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的 值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有 意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. * 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ;②定义域一 致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐 标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足 函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均 在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:AB 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作"f(对应关系) :A(原象)B(象)" 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1 注意:函数的单调性是函数的 局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降 的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ○1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○2 作差 f(x1)-f(x2); ○3 变形(通常是因式分解和配方) ; ○4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ○5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:"同增 异减" 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成 其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ○1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○3 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, 则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否关 于 原 点 对 称 , 若 不 对 称 则 函 数 是 非 奇 非 偶 函 数 . 若 对 称 , (1) 再 根 据 定 义 判 定 ; (2) 由 f(-x)± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=± 1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法

3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) ○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○2 利用图象求函数的最大(小)值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴ ⑵ 2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为,则函数的定义域是 4.函数 ,若,则= 5.求下列函数的值域: ⑴ ⑵ (3) (4) 6.已知函数,求函数,的解析式 7.已知函数满足,则= 。 8.设是 R 上的奇函数,且当时,,则当时= 在 R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ⑴ ⑵ ⑶ 10.判断函数的单调性并证明你的结论. 11.设函数判断它的奇偶性并且求证: .

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*. * 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作。 当是奇数时, ,当是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: , * 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)· ; (2) ; (3) . (二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是或; (2)若,则;取遍所有正数当且仅当; (3)对于指数函数,总有; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作: (- 底数,- 真数,- 对 数式) 说明:○1 注意底数的限制,且; ○2 ; ○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○1 常用对数:以 10 为底的对数; ○2 自然对数:以无理数为底的对数的对数. * 指数式与对数式的互化 幂值 真数 = N= b 底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果,且, , ,那么: ○1 ·+; ○2 -; ○3 . 注意:换底公式 (,且; ,且; ) . 利用换底公式推导下面的结论 (1) ; (2) . (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: , 都不是对数 函数,而只能称其为对数型函数. ○2 对数函数对底数的限制: ,且. 2、对数函数的性质: a>1 0<a

(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象 下凸;当时,幂函数的图象上凸; (3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 例题: 1. 已知 a>0,a0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )

2.计算: ① ;②= ;= ; ③ = 3.函数 y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数在区间上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.已知, (1)求的定义域(2)求使的的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法: ○1 (代数法)求方程的实数根; ○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数 的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数. (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重 零点或二阶零点. (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型 </a</a</x2; </x2 时,都有 f(x1)



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