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圆的标准方程PPT



圆的标准方程

兆麟中学高一数学组

师生互动探究

1、什么是圆?
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.
2、确定圆有需要几个要素? 圆心--确定圆的位置(定位) 半径--确定圆的大小(定形)

探究一

已知圆的圆心c(a,b)及圆的 半径R

,如何确定圆的方程?
y R
C(a,b)

P={M||MC|=R}
M

O

x

一.圆的标准方程 如图,在直角坐标系中,圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示,半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心C (a,b) 的距离. y M(x,y) 则 |MC|= R 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R } O C x

2 ( x ? a)

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? R
2 ? ( y ? b)

?

2 R

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y)

O

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

x

圆的标准方程
若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

基础演练
1圆 (x-2)2+ y2=2的圆心A的坐标为__,半径r =__.

2圆(x+1)2+(y - 3 ) 2=a2,(a ? 0)的圆心,半径是? 3(例1) 已知圆的标准方程为 (x-2)2+(y+3)2= 25 判 断点 M (5,?7), M 2 (?5,7) 是否在这个圆上.
1

典型例题
例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1)是否在这个圆上。

解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准方 程是:

( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25

2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7)的坐标代入方程 左右两边相等,点 M 1的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

2 2 2 M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢?圆上?还是在圆外呢?
y M2 M3

C

o

M1

x

练习:

点P( 1 ,5)与圆x2+y2=25的位置关系
A在圆外 C在圆内
) B在圆上 ( D在圆上或圆外

变式演练
圆心为A(3,?1) 半径长等于5的圆的方程 (
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5

)

B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5

变式一 圆心在C(8,-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程?
变式二 以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )
A (x – 2 )2+(y +1 )2=3 C (x – 2 )2+(y +1 )2=9 B (x + 2 )2+(y -1 )2=3 D (x + 2 )2+(y – 1)2=3

变式三:

△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆

的标准方程.

例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以 它们的坐标都满足方程(1).于是

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
所求圆的方程为

?a?2 ? ? ?b ? ? 3 ? r ?5 ?

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

y
L2

A(5,1) R
O
7

D

x B(7,-3)

L1

E
C(2,-8)

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求 圆心为C的圆的标准方程.
分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆 心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),由于圆心C 与A, B 两 点的距离相等,所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C ' 在直线l 上,因此圆心C是直线l与直线 l 的交点,半径长等于 |CA|或|CB|.

一共有几种方法? 讨论:

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线 l:x -y +1=0上,求圆心为C的圆的 标准方程.
y A(1,1) O C 弦AB的垂 直平分线

D

x B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ ? ( x ? ). 2 3 2

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程: , 解得: ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y ? ?2

即:x-3y-3=0

∴圆心C(-3,-2)

? r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , 解2:设圆C的方程为

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

待定系数法

圆经过A(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ?2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

小结:
一、

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2

2

y

M

C
O

x

圆心C(a,b),半径r

x 特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为: 二、点与圆的位置关系: 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r ?0 ? ? 0 ? (1)点P在圆上
2 ? x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? (2)点P在圆内 0 0 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r (3)点P在圆外 ? 0 ? ? 0 ? 2 2

2

?y ?r
2

2

三、求圆的标准方程的方法:
1 代数方法:待定系数法求 2 几何方法:数形结合



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