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几个常用函数的导数


1.2.1几个常用函数的导数

复习 导数的定义 对于函数y=f (x),如何求它的导数呢? 导数的几何意义.

1.函数 y = f (x) =c 的导数 函数
?y f ( x + ?x ) ? f ( x ) c ? c 因 = = = 0, ?x ?x ?x

y y=c

?y 所以 y ' = lim = lim 0 = 0. ?x →0 ?x ?x →0

O

x

从几何的角度理解: 从几何的角度理解: y′=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 从物理的角度理解: 从物理的角度理解: 若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0则为某物体的 瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.

2.函数 y= f (x)=x 的导数 函数
?y f (x + ?x ) ? f (x ) x + ?x ? x 因为 = = = 1, y ?x ?x ?x ?y = lim 1 = 1. 所以 y ' = lim ?x →0 ?x ?x →0 从几何的角度理解: 从几何的角度理解: y′=1表示函数y=x图象上每 一点处的切线斜率都为1.

y=x

O

x

从物理的角度理解: 从物理的角度理解: 若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为某 物体做瞬时速度为1的匀速运动.

探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图 象,并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? y (2)这三个函数中,哪一个增加得最 快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快 慢与什么有关?
-2 -1 -1 -2 2 1

y=4x y=3x y=2x y=x

1

2

x

函数 y= f (x)= kx 的导数

kx + k?x ? kx = = k, ?x ?y 所以 y ' = lim = lim k = k . ?x →0 ?x ?x → 0

?y f (x + ?x) ? f (x) 因为 = ?x ?x k(x + ?x) ? kx = ?x

3.函数 y = f (x) = x2 的导数 函数
?y f ( x + ?x ) ? f ( x ) ( x + ?x ) ? x = = 因为 ?x ?x ?x
2 2

y y=x2

x 2 + 2 x ? ?x + (?x ) ? x 2 = ?x
2

= 2 x + ?x
?y 所以 y ' = lim = lim (2 x + ?x ) = 2 x. ?x →0 ?x ?x →0

O

x

从几何的角度理解: 从几何的角度理解:

y′ =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y′=2x 表明: 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.
从物理的角度理解: 从物理的角度理解:

若y=x2表示路程关于时间的函数,则y′=2x可 以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速 度为2x.

4.函数 y = f (x) = 函数

1 x

的导数

1 1 ? ?y f (x + ?x) ? f (x) x + ?x x 因为 = = ?x ?x ?x

x ? ( x + ?x ) 1 = =? 2 , x( x + ?x )?x x + x ? ?x

?y 1 1 ? ? 所以 y ' = lim = lim ? ? 2 ?=? 2. ?x →0 ?x ?x →0 x ? x + x ? ?x ?

探究
1 画出函数 y = 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并 x

求出曲线在点(1,1)处的切线方程.y
2 1

-2

-1 -1 -2

1

2

x

5.函数 y = f (x) = x 的导数 函数
?y f (x + ?x ) ? f ( x ) 因为 = = ?x ?x

( =

x + ?x ? x x + ?x + x ?x x + ?x + x

=

( 1

)(

x + ?x ? x ?x

)

)

1 1 ?y 所以 y' = lim = lim = . ?x→0 ?x ?x→0 x + ?x + x 2 x

x + ?x + x



小结

x = αx
α

α ?1

(α是 数 常 )

1.若 f (x)=c(c为常数), 则f ′(x)=0 ; 2.若 f (x)=x, 则f ′(x)=1 ; 3.若 f (x)=x2 ,则f ′(x)=2x ;
1 1 4.若f (x ) = , 则f ' (x ) = ? 2 ; x x 1 5.若f (x ) = x , 则f ' ( x ) = . 2 x

练习: 练习:1 求下列幂函数的导数

() y = x 1 1 (2) y = 2 x 3 ( 3) y = x
5

已 y f 2:(1) 知 = x , 求 ′(2).
3

Q 解: y′ = ( x3 )′ = 3x3?1 = 3x2

′(2) = 3×(2)2 =12 ∴f

1 (2) 知 = 2 , 求 ′(3). 已 y f x ′ = ( x?2 )′ = ?2x?2?1 = ?2x?3 Q 解: y
1 2 ∴ f ′(3) = ?2 × (3) = ?2 × = ? 27 27
?3


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