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2012届华师一附中高一下学期课外综合训练题(二)---解三角形答案



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高一课外综合训练题(二)
1. 已知函数 f ( x ) ? 2 cos (1)求函数 f ( x ) 在 [ ?
2

x ? 2 3 sin x cos x 。

?
6

,

?
3

] 上

的值域;

(2)在 ? ABC 中,若 f ( C ) ? 2 , 2 sin B ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ,求 tan A 的值。 解: (1) f ( x ) ? 2 cos
? ?
2

x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ?

3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?1

?
6

? x ? ,

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5 6

? ,?

1 2

? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ,? 0 ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ? 3 , f ( x ) 在区

间[?

?
6

?
3

] 上的值域为 [ 0 , 3 ]

(2) f ( c ) ? 2 sin( 2 c ?
? 2c ?

?
6

) ? 1 ? 2 , sin( 2 c ?

?
6

) ?

1 2

,? o ? c ? ? ,?

?
6

? 2c ?

?
6

? 2? ?

?
6

?
6

?

5? 6

,c ?

?
3

.? 2 sin B ? cos( A ? c ) ? cos( A ? C ) ? 2 sin A sin C

? sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin A cos C ? cos A sin C ? sin A sin C

tan A ?

sin C sin C ? cos C

sin ? sin

?
3

?
3

? cos

?
3

?

3? 2

3

2.在 ? A B C 中, A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 a co s C ? c co s A ? 2 b co s B . (I)求 B 的值; (II)求 2 sin A ? co s( A ? C ) 的范围。
2

解:? a co s C , b co s B , c co s A 成等差数列,? a co s C ? c co s A ? 2 b co s B . 由正弦定理得, a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C . 代入得,
2 R sin A co s C ? 2 R co s A sin C ? 4 R sin B co s B ,即: sin ( A ? C ) ? sin B .? sin B ? 2 sin B co s B .

又在 ? A B C 中, sin B ? 0 ,? c o s B ? (II)? B ?
? 1 ? cos 2 A ? 1 2

1 2

,? 0 ? B ? ? ,? B ?
2

?
3

.
2? 3 ) 2? 3

?
3

,? A ? C ?
3 2

2? 3

,? 2 sin A ? c o s( A ? C ) ? 1 ? c o s 2 A ? c o s( 2 A ?
3 2 s in 2 A ? 3 2
2

cos 2 A ?

s in 2 A ? 1 ?

cos 2 A ? 1 ?

3 sin ( 2 A ?

?
3

) .∵ 0 ? A ?

∴?

?
3

? 2A ?

?
3

? ? ,? ?

3 2

? sin ( 2 A ?
?

?
3

) ? 1 ,? 2 sin A ? co s( A ? C ) 的范围是 ( ?

1 2

,1 ?

3] .

3. 已知 A , B 是△ABC 的两个内角, a ?
? 6 2

2 cos

? ? A? B? A?B ? i ? s in j (其中 i , j 是互相垂直的单位向量) , 2 2

若 | a |?



(1)试问 tan A ?tan B 是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由; (2)求 tan C 的最大值,并判断此时三角形的形状。

1

解:(1) | a | ? 2 c o s
2

?

2

A? B 2

? s in

2

A?B 2

?

3 2

,1 ? c o s ( A ? B ) ?
? 0 1 2 ?

1 ? cos( A ? B ) 2

?

3 2 1 3

c o s A c o s B ? s in A s in B ?

c o s A c o s B ? s in A s in B 2

3 ta n A ta n B 2

? 0 , ta n A ta n B ?

.(定值)

(2)由(1)可知 A、B 为锐角, ∴ ta n C ? ? ta n ( B ? A ) ? ?
ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ta n B ? ? 3(ta n A ? ta n B ) 2 ? ? 3 ta n A ta n B ? ? 3 ,所以 tan C 的

最大值为 ? 3 ,此时三角形 ABC 为钝角三角形。 4. 设 a ? ( 2 cos wx , 3 sin wx ), b ? (cos wx , 2 cos wx ) ( w ? 0 ) ,函数 f ( x ) ? a ? b 的最小正周期为 ? : (Ⅰ) 求 f ? x ? 的单调增区间 (Ⅱ) 在 ? ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ? A ? ? 2 , b ? 1 , ? ABC 的面积为 求
b? c sin B ? sin C

3 2



的值
2

解:(Ⅰ) f ( x ) ? 2 cos
T ? 2? 2?

? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2 sin( 2 ? x ?
?
6 ) ? 1.

?
6

) ? 1,

? ? , ? ? 1, f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ? ? 2x ?

2k? ? ?

?
6

2

? 2k? ? ?

2

? k? ?

?
3

? x ? k? ? ?

6

, (k ? z )

(Ⅱ) f ( A ) ? 2 ? A ? ?
a sin A ? b sin B ?

3

, S? ?

1 2

b c sin A ?
b?c

3 2

? c ? 2. ∴ a

2

? b

2

?c

2

? 2 bc cos A ? a ?

3

由正弦定理

c sin C

?

sin B ? sin C 1 3

? 2.

5. 在 ? ABC 中, sin ( C ? A ) ? 1 , (I)求 sinA 的值;
?
2 1 2 1 3

sinB=

.

(II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.
?
4 B 2

解: (Ⅰ)由 C ? A ?

,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ?

?

,∴ sin A ? sin ( ?
4

?

B 2

)?

2 2

(co s

B 2

? sin

B 2

),

∴ sin A ?
2

(1 ? sin B ) ?

,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ?

3 3

.

(Ⅱ)∵

AC s in B

?

BC s in A

,∴ B C ?

A C sin A sin B

6? ? 1 3

3 3 ?3 2 ,

2

又 sin C ? sin ( A ? B ) ? sin A co s B ? co s A sin B ?

3 3

?

2 3

2

?

6 3

?

1 3

?

6 3

∴ S ?ABC ?

1 2

A C ? B C ? s in C ?

1 2

?

6?3 2?

6 3

?3 2 .

6. 设函数 f(x)=2 sin x cos (1) 求 ? 的值;

2

?
2

? cos x sin ? ? sin x ( 0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2) 在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x ) ? 2 s in x ?
? sin x co s ? ? co s x sin ?

2 , f ( A) ?

3 2

,求角 C..

1 ? cos ? 2

? c o s x s in ? ? s in x ? sin x ? sin x co s ? ? co s x sin ? ? sin x

? sin ( x ? ? ) ,因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin ( ? ? ? ) ? ? 1 ,由诱

导公式知 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
3 2
a s in A b s in B

?
2

.所以 f ( x ) ? sin ( x ?

?
2

) ? co s x .

(2) 因为 f ( A ) ?

,所以 c o s A ?

3 2

,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ?

?
6

.又因为 a ? 1, b ?

2,



?

,也就是 s in B ? 时, C ? ? ?
?
6 ?

b s in A a

?

2?

1 2

?

2 2

,因为 b ? a ,所以 B ?

?
4

或B ?

3? 4

.

当B ? 当B ?

?
4 3? 4

?
4 ?

? 3? 4

7? 12 ?

;
?

时, C ? ? ?

?
6

.
s in A ? s in B cos A ? cos B
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12

7. △ A B C 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , ta n C ? (1)求 A , C ; 解:(1) 因为 ta n C ? (2)若 S ? A B C ? 3 ?
s in A ? s in B

, sin ( B ? A ) ? co s C .

3 ,求 a , c .
s in A ? s in B

cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C co s A ? sin C co s B ? co s C sin A ? co s C sin B , 即 sin C co s A ? co s C sin A ? co s C sin B ? sin C co s B , 得 sin ( C ? A ) ? sin ( B ? C ) .所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).即 2C ? A ? B ,

,即

s in C

?



得C ?

?
3

,所以. B ? A ?

2? 3

.
1 2

又因为 s in ( B ? A ) ? c o s C ? (2) S ? A B C ?
1 2 a c sin B ?

,则 B ? A ?
2 ac ? 3 ?

?
6

,或 B ? A ?
a s in A ?

5? 6
c

,(舍去) 得 A ? , 即
a 2 2 ? c 3 2

?
4

,B ?

5? 12

.

6 ? 8

3 ,又



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s in C

得 a ? 2 2 , c ? 2 3.
3

8. 如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线 段为函数 y=Asin ? x(A>0, ? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点 为 S(3, 3 ); 2 赛道的后一部分为折线段 MNP, 为保证参赛运动员的安全, 限定 ? MNP=120
o

(I)求 A , ? 的值和 M,P 两点间的距离; 解: Ⅰ)依题意,有 (
? y ? 2 3 sin 2? 3 ? 3

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?
? 2?

A ? 2 3



T 4

? 3

,又 T
?
2

?
? 5

,?? .

?

?
6

。?

y ? 2 3 s in

?
6

x

,当

x ? 4

时,

,? M

( 4 , 3)

又 p (8, 3) ,? M P

4 ?3

2

(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5,设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60°,∴
? NP ? 10 3 3 s in ?

MP sin 1 2 0
0

?

NP sin ?

?

MN sin (6 0 ? ? )
0

,? M N
s in ? ?

?

10 3 3

sin (6 0 ? ? )
0

.
10 3 3 ( 1 2 s in ? ? 3 3 cos ? ) ? 10 3 3 s in (? ? 6 0 )
0

故 NP ? MN
?

?

10 3 3

10 3 3

s in (6 0 ? ? ) ?
0

,? 0°< ? <60°,

当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长.亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长. 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5,由余弦定理得 M N 2 ? N P 2 ? 2 M N ?N P ?co s ∠MNP= M P 2
? N P ? M N ?N P ? 2 5
2

即 MN 2 即MN

,故 ( M N

? N P ) ? 2 5 ? M N ?N P ? (
2

MN ? NP 2

)

2

,从而

3 4

(M N ? NP )

2

? 25



? NP ?

10 3 3

,当且仅当 M N

? NP

时,折线段道 MNP 最长.
2 2 2

9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边是 a,b,c,且 a +c -b = (1)求 sin
2

1 2

ac

.

A?C 2

+cos2B 的值;
2

(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.
a
2

解: (1)∴a +c -b = +[2cos B-1]=
2

2

2

1 2

ac

,∴cosB=
2

? c

2

?b

2

?

1 4

。∴sin
1 ?1]

2

A?C 2

? cos 2 B ?

1 2

[1-cos(A+C)]

2 ac

1 2

[1+cosB]+[2cos B-1]=
1 4

1 2

[1+

1 4

]+[2×
2 2

=-

1 4


8

16 1 2

(2)由 cosB= ∴ac≤
8 3

,得 sinB=
1 2

15 4

。∵b=2,∴a +c =
8
15 4

ac+4≥2ac(当且仅当 a2=c2= 时取“=”号) 。
3
15 3
2

。∴S△ABC=

ac·sinB≤ × ×
2 3

1

=

15 3

。故△ABC 面积的最大值为


B 2 ? 1)

m 10. ΔABC 中, 在 已知内角 A、 C 所对的边分别为 a , b , c , ? ( 2 s in B , ? 3 ), n ? (c o s 2 B , 2 c o s B、

且m ? n 。 (1)求锐角 B 的大小; 解: (1) m ? n ? 2 s in B ( 2 c o s
2

(2)如果 b ? 2 ,求 S ? A B C 的最大值。
B 2 ? 1) ? ? 3 c o s 2 B

4

? 2 sin B co s B ? ? 3 co s 2 B ? tan 2 B ? ? 3 。? 0 ? 2 B ? ? ,? 2 B ?

2? 3

,? 锐角 B ?

?
3



(2)由 tan 2 B ? ? 3 ? B ? ① 当B ?
?
3

?
3



5? 6


2 2

时, 已知 b ? 2 , 由余弦定理, 得:4 ? a ? c ? a c ? 2 a c ? a c ? a c (当且仅当 a ? c ? 2
1 2 3 4
2 2

时等号成立)? ? A B C 的面积 S ? A B C ? ② 当B ? 且仅当 a ? c ?
5? 6

a c s in B ?

ac ?

3 ,? ? A B C 面积的最大值为

3。

时,已知 b ? 2 ,由余弦定理,得:4 ? a ? c ?
2 时等号成立)? a ? 4 ( 2 ?
1 2
1 16 , 24 9 1 2 ,4 ? 1 4 ,6 ? 1 8 ,8 ? 1 16 , ?,

3ac ? 2 ac ?

3ac ? (2 ?

3 ) a c (当

6 ?

3) 。

? ? A B C 的面积 S ? A B C ?

a c s in B ?

1 4

ac ? 2 ?

3 ,? ? A B C 面积的最大值为 2 ?

3 。

11.写出下面数列的一个通项公式 (1) 2
1 2 8 5 ,4 1 4 ,6 1 8 15 7 ,8

,?,

(2)10,11,10,11,10,22,?, (4) 3
2 ?1

(3)-1, , ?

, ? 3 ,3

2 ?1

,? 3

3? 2

2

?.
1 2
n

解: (1)这是个混合数列,可看成 2 ?

,?。故通项公式 an=2n+

.

(2)该数列中各项每两个元素重复一遍,可以利用这个周期性求 an,原数列可变形为: 10+0,10+1,10+0,10+1,?。故其一个通项为:an=10+
n

1 ? ( ? 1) 2

n



(3)通项符号为(-1) ,如果把第一项-1 看做-

3 5

;则分母为 3,5,7,9?,分母通项为 2n+1;分子为
n
2

? 2n

3,6,15,24,?,分子通项为(n+1) -1 即 n(n+2),所以原数列通项为:an=(-1) 2 n ? 1 (4)该数列从首项起,各项的符号正、负相同,故通项公式中含有因子(-1) ;另幂底数为 3,幂指 数依次为 2 +1, 2 -1,3-2 2 ,?,将它们依次改写为:( 2 -1) ,( 2 -1) ,( 2 -1) ,( 2 -1) ,? 即( 2 -1) 、( 2 -1) 、( 2 -1) 、( 2 -1) ,?故该数列的通项公式为 an=(-1) · 3 12.根据下面各数列前几项,写出一个通项. (1)-1,7,-13,19,?; (4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,?; (7) 3, 5, 9,1 7 , 3 3,? ? 解: (1)an=(-1) (6n-5);
n 1-2 2-2 3-2 4-2 n+1
( 2 ?1 )
n?2

2

n

n+1

-1

0

1

2

.

(2)7,77,777,777,?; (5)1,0,1,0,1,0,?;

(3)

2

, 2

4 4

, ,

6 35

,

8

,

10

,...;

3 15

63 99

(6)

1 4 , ,.... 7 11 2 5 ,

(8) 1, 2, 2, 4, 3, 8, 4,1 6, 5,? ? (2) a n ?
7 9

?10

n

?1

?
5

(3) a n ?

2n ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 1 ? ( ? 1) 2
4 17 ? 3n
n
n ?1

(4)

a n ? 5 sin

n? 2

;

(5) a n ? (6) a n ?

?n ? N ? ; a
?

n

? sin

2

n? 2

?n ? N ?
?

? 7 ? an

? 2 ? 1;

?n ?1 ? ? 8 ? a n ? ? 2n ? 2 ? 2
n? 2

? n为 正 奇 数 ?
或 an ?

1 ? ? ? 1? 2

n

?

n ?1 2

?

1 ? ? ? 1? 2

n

n

?22

? n为 正 偶 数 ?
? cos
2

或 a n ? sin

2

?

n ?1 2

n? 2

n

?22

6



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