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内蒙古北方重工三中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年内蒙古北方重工三中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 A=[x|﹣1≤x<2},B={x|x﹣a≤0},若 A?B,则实数 a 的取值范围是() A.a≤2 B.a≥﹣1 C.a>﹣1 D.a≥2 2. (5 分)设 U=R 全集,集合 A={y|y=x +1},B={x

|x ﹣2x﹣3≥0},则 A∩(?UB)=() A.{x|x≤﹣1} B.{x|x≤1} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|1≤x<3} 3. (5 分)给出下列函数(1)y=x +|x|+2,x≤0(2)y=t ﹣t+2,t≤0(3)y=x ﹣|x|+2,x≥0(4) y=( )+
4 2 2 2 2 2

+2,其中与函数 y=x ﹣x+2,x≤0 相等的有() B.(1) (2) C.(1) (2) (4) D.(1) (3) (4)

2

A.(1)

4. (5 分)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(2﹣x)的图象 为()

A.

B.

C.

D.
2

5. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(1)=() A.﹣3 B . ﹣1 C. 1 D.3 6. (5 分)幂函数的图象过点 A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,0) ,则它的单调递增区间是() C.(0,﹣∞) D.(﹣∞,+∞)
2

7. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,且为减函数,又知 f(1﹣a)+f(1﹣a )<0,则 a 的取值范围为() A.(﹣2,1) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C. (0,1) D. (0, 2)

8. (5 分)已知函数 f(n)=k, (n∈N ) ,k 是 则 =() A.1 B. 2

*

小数点后第 n 位数字,

=1.414213562…,

C. 4
2

D.6

9. (5 分)若函数 y=f(x)值域为(0,8],则 F(x)=[f(x)] ﹣10f(x)﹣4 的值域为() A.[﹣20,﹣4) B.[﹣20,﹣4] C.[﹣29,﹣20] D.[﹣29,﹣4) 10. (5 分)已知 f(x)=x +ax +bx﹣8,且 f(﹣2)=10,那么 f(2)等于() A.﹣26 B.﹣18 C.﹣10 D.10
5 3

11. (5 分)对实数 a 与 b,定义新运算“?”:
2

.设函数 f(x)=(x ﹣2)

2

?(x﹣x ) ,x∈R.若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围 是() A. C. D. B.

12. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2(a+2)x+a ,g(x)=﹣x +2(a﹣2)x﹣a +8.设 H1(x) =max{f(x) ,g(x)},H2(x)=min{f(x) ,g(x)}, (max{p,q})表示 p,q 中的较大值, min{p,q}表示 p,q 中的较小值) ,记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A﹣ B=() 2 2 A.16 B.﹣16 C.﹣16a ﹣2a﹣16 D.16a +2a﹣16

2

2

2

2

二.填空题: (共 4 小题,每题 5 分,共计 20 分) 2 13. (5 分)已知函数 f(x)=﹣2x +mx+1 在区间[﹣1,4]上是单调函数,则实数 m 的取值范 围为. 14. (5 分)函数 f(x)=a
x+1

+1, (a>0,a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点坐标为.

15. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f(b)= ,则 b=.

16. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣|x|+a,若存在 x1,x2,x3,x4(x1,x2,x3,x4 互不相同) , 使 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=1,则 a 的取值范围是.

2

三.简答题(本大题共计 6 小题,共计 70 分) 17. (10 分)已知全集 U=R,A={x|﹣1≤x<2},B={x|1<x≤3},求:A∩B,A∪B,?UA. 18. (12 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)的表达式是指数函数,且 f (2)= . (1)当 x>0 时,求 f(x)的表达式; (2)当 x≤0 时,求 f(x)的表达式; (3)画 y=f(x) ,x∈[﹣4,0]的图象,并指出函数的值域.

19. (12 分)已知 f(x)=

是奇函数,且 f(2)=4.

(1)求实数 p,q 的值; (2)判断函数 f(x)在区间(0,2)上的单调性,并加以证明. 20. (12 分)已知函数 f(x)=log3(x +ax+a+5) (1)当 a=﹣3 时,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(﹣∞,1)上是递减函数,求实数 a 的取值范围. 21. (12 分) 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 3500 元的 部分不必纳税,超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 税率(%) 不超过 1500 元的部分 3 过 1500 元至 4500 元的部分 10 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 (1)某人一月份的工资、薪金所得是 4500 元,那么他应缴纳税款是多少? (2)某人当月份的工资、薪金所得是 x 元(3000 元≤x≤8000 元) ,应交税款为 y 元,写出 y 关于 x 的函数解析式; (3)已知某人一月份应交税款 303 元,那么他这个的工资、薪金所得是多少? 22. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+4 (1)当 a= 时,求函数 y=f(x) ,x∈[0,2]的最大值及最小值 (2)若对任意 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|<4 恒成立,求 a 的取值围 (3)若 f(x)对 中的每一个数 a,都有 f(x)>0 恒成立,求 x 的取值范围.
2 2

2014-2015 学年内蒙古北方重工三中高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 A=[x|﹣1≤x<2},B={x|x﹣a≤0},若 A?B,则实数 a 的取值范围是() A.a≤2 B.a≥﹣1 C.a>﹣1 D.a≥2 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 先将集合 B 化简,然后将集合 A、B 表示在同一数轴上,利用数轴求解. 解答: 解:B={x|x﹣a≤0}={x|x≤a},A=[x|﹣1≤x<2},若 A?B,用数轴表示如图 ,则 a≥2.

点评: 本题考查集合的包含关系,利用数轴数形结合解题属于数学中常用的数学思想. 2. (5 分)设 U=R 全集,集合 A={y|y=x +1},B={x|x ﹣2x﹣3≥0},则 A∩(?UB)=() A.{x|x≤﹣1} B.{x|x≤1} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|1≤x<3} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 分别化简集合 A,B 中的不等式的解集,确定出集合 A,B,根据全集 U=R,找出集 合 B 的补集,然后找出集合 B 补集与集合 A 的公共部分,即可求出所求的集合. 2 解答: 解:集合 A={y|=x +1}={y|y≥1}, 2 由集合 B 中的不等式 x ﹣2x﹣3≥0, 分解因式得: (x﹣3) (x+1)≥0, 解得:x≥3 或 x≤﹣1, ∴B={x|x≥3 或 x≤﹣1},又全集 U=R, ∴CUB={x|﹣1<x<3},又 A={x|x≥1}, ∴A∩CUB={x|1≤x<3}. 故选:D 点评: 此题考查了集合交、并、补集的混合运算,是一道基本题型,求集合补集时注意全 集的范围. 3. (5 分)给出下列函数(1)y=x +|x|+2,x≤0(2)y=t ﹣t+2,t≤0(3)y=x ﹣|x|+2,x≥0(4) y=( )+
4 2 2 2 2 2

+2,其中与函数 y=x ﹣x+2,x≤0 相等的有() B.(1) (2) C.(1) (2) (4) D.(1) (3) (4)

2

A.(1)

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断四个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 2 2 2 解答: 解: (1)y=x +|x|+2=x ﹣x+2,x≤0,定义域和对应法则,与函数 y=x ﹣x+2,x≤0 一 致,故为同一函数; (2)y=t ﹣t+2,t≤0,定义域和对应法则,与函数 y=x ﹣x+2,x≤0 一致,故为同一函数; 2 2 2 (3)y=x ﹣|x|+2=x +x+2,x≥0,定义域与函数 y=x ﹣x+2,x≤0 不一致,故不为同一函数; (4)y=( 函数; 故与函数 y=x ﹣x+2,x≤0 相等的有(1) (2) , 故选:B 点评: 本题主要考查判断两个函数是否是相同函数,判断的标准是判断函数的定义域和对 应法则是否一致. 4. (5 分)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(2﹣x)的图象 为()
2 2 2

)+

4

+2=x +x+2,x≥0,定义域与函数 y=x ﹣x+2,x≤0 不一致,故不为同一

2

2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 由(0,2)上的函数 y=f(x)的图象可求 f(x) ,进而可求 y=f(2﹣x) ,根据一次函 数的性质,结合选项可可判断 解答: 解:由(0,2)上的函数 y=f(x)的图象可知 f(x)= 当 0<2﹣x<1 即 1<x<2 时,f(2﹣x)=2﹣x 当 1≤2﹣x<2 即 0<x≤1 时,f(2﹣x)=1 ∴y=f(2﹣x)= ,根据一次函数的性质,结合选项可知,选项 A 正确

故选 A. 点评: 本题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用,属于基础试题

5. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(1)=() A.﹣3 B . ﹣1 C. 1 D.3 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 要计算 f(1)的值,根据 f(x)是定义在 R 上的奇函数,我们可以先计算 f(﹣1) 的值,再利用奇函数的性质进行求解,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,代入即可得到答案. 2 解答: 解:∵当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x, 2 ∴f(﹣1)=2(﹣1) ﹣(﹣1)=3, 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数 ∴f(1)=﹣f(﹣1)=﹣3 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题 的关键.
2

2

6. (5 分)幂函数的图象过点 A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,0)

,则它的单调递增区间是() C.(0,﹣∞) D.(﹣∞,+∞)

考点: 幂函数的性质. 专题: 待定系数法. 分析: 设幂函数为 y=x ,把点 得到幂函数的单调递增区间. 解答: 解:设幂函数为 y=x , 把点 解得 a=﹣2. ∴幂函数为 y=x . ∴它的单调递增区间是(﹣∞,0) . 故选 B. 点评: 本题考查幂函数的性质和应用,解题时要注意待定系数法的合理运用. 7. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,且为减函数,又知 f(1﹣a)+f(1﹣a )<0,则 a 的取值范围为() A.(﹣2,1) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C. (0,1) D. (0, 2) 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 本题由于已知函数为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x) ,而 f(1﹣a)+f(1﹣a )<0 2 2 2 得到 f(1﹣a)<﹣f(1﹣a )=f(a ﹣1) ,根据函数的单调递减可知,1﹣a>a ﹣1,求出解 集得到本题结论.
2
﹣2

a

,求出 a 的值,从而得到幂函数的方程,由此能

a

,得



解答: 解:∵函数 y=f(x)为奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∵f(1﹣a)+f(1﹣a )<0, 2 2 ∴f(1﹣a)<﹣f(1﹣a )=f(a ﹣1) , ∵f(x)在 R 的奇函数 f(x) ,在[0,+∞)上单调递减, 由奇函数的对称性可知,f(x)在 R 上单调递减, ∴根据函数单调递减可知 1﹣a>a ﹣1, 2 ∴a +a﹣2<0, 解得﹣2<a<1, 故选:A. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性、单调性在解决抽象不等式中的应用,灵活应用函数 知识是解答本题的关键,本题难度不大,属于基础题. 8. (5 分)已知函数 f(n)=k, (n∈N ) ,k 是 则 =() A.1 B. 2
* 2 2

小数点后第 n 位数字,

=1.414213562…,

C. 4

D.6

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的性质求解. * 解答: 解:∵函数 f(n)=k, (n∈N ) , k 是 小数点后第 n 位数字, =1.414213562…, ∴f(8)=6, f[f(8)]=f(6)=3, f{f[f(8)]}=f(3)=4, f{f{f[f(8)]}}=f(4)=2, f{f{f{f[f(8)]}}=f(2)=1, f{f{f{f{f[f(8)]}}=f(1)=4, ∵2013=2+670×3+1, ∴ =f(1)=4, 故选:C. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 9. (5 分)若函数 y=f(x)值域为(0,8],则 F(x)=[f(x)] ﹣10f(x)﹣4 的值域为() A.[﹣20,﹣4) B.[﹣20,﹣4] C.[﹣29,﹣20] D.[﹣29,﹣4) 考点: 函数的值域. 专题: 计算题;集合. 分析: 由函数 y=f(x)值域为(0,8]可知 f(x)∈(0,8],用配方法求函数的值域. 2 2 解答: 解:F(x)=[f(x)] ﹣10f(x)﹣4=(f(x)﹣5) ﹣29, ∵函数 y=f(x)值域为(0,8], 2 ∴0≤(f(x)﹣5) <25,
2

∴﹣29≤(f(x)﹣5) ﹣29<﹣4, 故选 D. 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单调 性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意选择. 10. (5 分)已知 f(x)=x +ax +bx﹣8,且 f(﹣2)=10,那么 f(2)等于() A.﹣26 B.﹣18 C.﹣10 D.10 考点: 奇函数. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 函数 f(x)不具备奇偶性,但其中 g(x)=x +ax +bx 是奇函数,则可充分利用奇函 数的定义解决问题. 5 3 解答: 解:令 g(x)=x +ax +bx,由函数奇偶性的定义,易得其为奇函数; 则 f(x)=g(x)﹣8 所以 f(﹣2)=g(﹣2)﹣8=10 得 g(﹣2)=18 又因为 g(x)是奇函数,即 g(2)=﹣g(﹣2) 所以 g(2)=﹣18 则 f(2)=g(2)﹣8=﹣18﹣8=﹣26 故选 A. 点评: 本题较灵活地考查奇函数的定义.
5 3 5 3

2

11. (5 分)对实数 a 与 b,定义新运算“?”:
2

.设函数 f(x)=(x ﹣2)

2

?(x﹣x ) ,x∈R.若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围 是() A. C. D. B.

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 根据定义的运算法则化简函数 f(x)=(x ﹣2)?(x﹣x )的解析式,并求出 f(x) 的取值范围,函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f(x) ,y=c 图象的交 点问题,结合图象求得实数 c 的取值范围. 解答: 解:∵ ,

∴函数 f(x)=(x ﹣2)?(x﹣x )=

2

2



由图可知,当 c∈ 函数 f(x) 与 y=c 的图象有两个公共点, ∴c 的取值范围是 故选 B. ,

点评: 本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用,及数形结合的思想.属于 基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2(a+2)x+a ,g(x)=﹣x +2(a﹣2)x﹣a +8.设 H1(x) =max{f(x) ,g(x)},H2(x)=min{f(x) ,g(x)}, (max{p,q})表示 p,q 中的较大值, min{p,q}表示 p,q 中的较小值) ,记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A﹣ B=() 2 2 A.16 B.﹣16 C.﹣16a ﹣2a﹣16 D.16a +2a﹣16 考点: 函数的值域. 专题: 压轴题;新定义;函数的性质及应用. 分析: 先作差得到 h(x)=f(x)﹣g(x)=2(x﹣a) ﹣8.分别解出 h(x)=0,h(x)> 0,h(x)<0.画出图形,利用新定义即可得出 H1(x) ,H2(x) .进而得出 A,B 即可. 2 2 2 2 2 解答: 解:令 h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣2(a+2)x+a ﹣[﹣x +2(a﹣2)x﹣a +8]=2x 2 2 ﹣4ax+2a ﹣8=2(x﹣a) ﹣8. 2 ①由 2(x﹣a) ﹣8=0,解得 x=a±2,此时 f(x)=g(x) ; ②由 h(x)>0,解得 x>a+2,或 x<a﹣2,此时 f(x)>g(x) ; ③由 h(x)<0,解得 a﹣2<x<a+2,此时 f(x)<g(x) . 综上可知: 2 (1)当 x≤a﹣2 时,则 H1(x)=max{f(x) ,g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)] ﹣4a﹣4,
2 2 2 2 2

H2(x)=min{f(x) ,g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)] ﹣4a+12, (2)当 a﹣2≤x≤a+2 时,H1(x)=max{f(x) ,g(x)}=g(x) ,H2(x)=min{f(x) ,g(x)}=f (x) ; (3)当 x≥a+2 时,则 H1(x)=max{f(x) ,g(x)}=f(x) ,H2(x)=min{f(x) ,g(x)}=g (x) , 2 故 A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)] ﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12, ∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16. 故选:B.

2

点评: 熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形 结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键. 二.填空题: (共 4 小题,每题 5 分,共计 20 分) 2 13. (5 分)已知函数 f(x)=﹣2x +mx+1 在区间[﹣1,4]上是单调函数,则实数 m 的取值范 围为(﹣∞,﹣4]∪[16,+∞) . 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数的对称轴,结合函数的单调性,得到不等式解出即可. 解答: 解:∵对称轴 x= , ∴ ≤﹣1,或 ≥4 解得:m≤﹣4,或 m≥16, 故答案为: (﹣∞,﹣4]∪[16,+∞) . 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了函数的单调性,是一道基础题. 14. (5 分)函数 f(x)=a
x+1

+1, (a>0,a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点坐标为(﹣1,2) .

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 解析式中的指数 x+1=﹣1 求出 x 的值,再代入解析式求出 y 的值,即得到定点的坐 标. x 解答: 解:由于函数 y=a 经过定点(0,1) ,令 x+1=0,可得 x=﹣1,求得 f(﹣1)=2, x+1 故函数 f(x)=a +1(a>0,a≠1) ,则它的图象恒过定点的坐标为(﹣1,2) ,

故答案为(﹣1,2) 点评: 本题主要考查指数函数的图象过定点(0,1)的应用,即令解析式中的指数为 0,求 出对应的 x 和 y 的值,属于基础题.

15. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 f(b)= ,则 b=﹣ 或



考点: 分段函数的应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数的表达式以及已知条件列出方程求解即可.

解答: 解:f(x)=

,若 f(b)= ,

当 b≤﹣1 时,b+2= ,解得 b=﹣ ,满足题意.当﹣1<b<2 时,b = ,解得 b= 题意. 当 b≥2 时,2b= ,解得 b= ,不满足题意. 综上:b=﹣ 或 故答案为:﹣ 或 . .

2

,满足

点评: 本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 16. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣|x|+a,若存在 x1,x2,x3,x4(x1,x2,x3,x4 互不相同) , 使 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=1,则 a 的取值范围是(1, ) .
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;数形结合;函数的性质及应用. 2 分析: 在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a 的图象,观察有四个交点的情 况即可得到. 解答: 解:如图,在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与 2 曲线 y=x ﹣|x|+a, 观图可知,a 的取值必须满足 解得 1 . ,

故答案为: (1, )

点评: 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思 想. 三.简答题(本大题共计 6 小题,共计 70 分) 17. (10 分)已知全集 U=R,A={x|﹣1≤x<2},B={x|1<x≤3},求:A∩B,A∪B,?UA. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由已知中全集 U=R,A={x|﹣1≤x<2},B={x|1<x≤3},进而结合集合交集,并集, 补集的定义,代入运算后,可得答案. 解答: 解:∵A={x|﹣1≤x<2},B={x|1<x≤3}, ∴A∩B={x|1<x<2}, A∪B={x|﹣1≤x≤3}, ?UA={x|x<﹣1,或 x≥2}. 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 18. (12 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)的表达式是指数函数,且 f (2)= . (1)当 x>0 时,求 f(x)的表达式; (2)当 x≤0 时,求 f(x)的表达式; (3)画 y=f(x) ,x∈[﹣4,0]的图象,并指出函数的值域. 考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)求解即可得到 y=a ,a = ,a= , (2)当 x=0 时,f(0)=0,当 x<0 时,﹣x >0,转化为当 x>0 时,f(x)=( ) 求解. (3)画出图象,利用图象求解. 解答: 解: (1)∵当 x>0 时,f(x)的表达式是指数函数,且 f(2)= . ∴y=a ,a = ,a= , 当 x>0 时,f(x)=( ) ;
x x 2 x x 2

(2)∵定义在 R 上的奇函数 f(x) , ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 当 x=0 时,f(0)=0, 当 x<0 时,﹣x>0, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣( ) =﹣2
﹣x

x

∴当 x≤0 时,f(x)= (3)y=f(x) ,x∈[﹣4,0]的图象 值域为: (﹣1, ]∪{0}

点评: 本题考查了函数的概念,性质,属于中档题,有点难度.

19. (12 分)已知 f(x)=

是奇函数,且 f(2)=4.

(1)求实数 p,q 的值; (2)判断函数 f(x)在区间(0,2)上的单调性,并加以证明. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由奇函数得 f(﹣2)=﹣4,联立 f(2)=4 解得方程组即可, (2)先判断函数 的单调性,然后利用导数证明即可. 解答: 解: (1)f(x)是奇函数,f(2)=4,则 f(﹣2)=﹣4

联立方程组得

,解之得



(2)由(1)得 f(x)=

=x+ ,

函数 f(x)在区间(0,2)上的单调递减, 证明: 由题意求导数得 f′(x)=1﹣ ∵x∈(0,2) , ∴ >1, ,

∴f′(x)<0, ∴函数 f(x)在区间(0,2)上的单调递减. 点评: 本题考察函数的奇偶性和单调性,利用导数符号判断和证明单调性是常用方法. 20. (12 分)已知函数 f(x)=log3(x +ax+a+5) (1)当 a=﹣3 时,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(﹣∞,1)上是递减函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合函数的单调性;对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)当 a=﹣3 时,令对数的真数 x +3x+8>0,求得 x 的范围,可得函数的定义域. (2)由题意可得,函数 t=x +ax+a+5 在区间(﹣∞,1)上是递减函数且真数 t>0,可得﹣ ≥1 且 1+a+a+5≥0,由此求得 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=﹣3 时,f(x)=log3(x ﹣3x+2) ,令对数的真数 x +3x+8=(x﹣1) (x ﹣2)>0, 求得 x<1,或 x>2,故函数的定义域为(﹣∞,1)∪(2,+∞) . (2)∵f(x)在区间(﹣∞,1)上是递减函数,∴函数 t=x +ax+a+5 在区间(﹣∞,1)上是 递减函数且真数 t>0, ∴﹣ ≥1 且 1+a+a+5≥0,求得﹣3≤a≤﹣2. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. 21. (12 分) 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 3500 元的 部分不必纳税,超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 税率(%) 不超过 1500 元的部分 3 过 1500 元至 4500 元的部分 10 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 (1)某人一月份的工资、薪金所得是 4500 元,那么他应缴纳税款是多少?
2 2 2 2 2

(2)某人当月份的工资、薪金所得是 x 元(3000 元≤x≤8000 元) ,应交税款为 y 元,写出 y 关于 x 的函数解析式; (3)已知某人一月份应交税款 303 元,那么他这个的工资、薪金所得是多少? 考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意可得,运用不超过 1500 元的部分的,就可求得; (2)根据公民全月工资、薪金所得不超过 3500 元的部分不必纳税,超过 3500 元的部分为全 月应纳税所得额,此项税款按表分段累计计算,从而得到当月纳税款与当月工资、薪金所得 的函数关系式; (3)根据(2)可得当月的工资、薪金介于 5000 元﹣8000 元,然后代入第三段解析式进行求 解即可. 解答: 解: (1)4500﹣3500=1000(元) ,则由表可知,1000×3%=30(元) , 则他应缴纳税款 30 元; (2)当 3000≤x≤3500,y=0;当 3500<x≤5000,y=0.03(x﹣3500) ; 当 5000<x≤8000,y=0.03×1500+0.1(x﹣5000) ,

则有 y=



(3)由(2)可知,3500<x≤5000 时,y 最大值为 45 元, 5000<x≤8000 时,y 最大为 355 元, 故可设 0.1x﹣455=303,解得 x=7580. 则他这个月的工资、薪金所得是 7580 元. 点评: 正确理解题意是本题的一个难点,能根据题目条件写出分段函数的解析式并能根据 解析式判断利用哪一段来求自变量的值,进而解决实际问题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+4 (1)当 a= 时,求函数 y=f(x) ,x∈[0,2]的最大值及最小值 (2)若对任意 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|<4 恒成立,求 a 的取值围 (3)若 f(x)对 中的每一个数 a,都有 f(x)>0 恒成立,求 x 的取值范围.
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先求出函数的对称轴,得到函数的单调区间,从而求出函数的最值; (2)通过讨论 a 的范围,得到不等式,综合解出即可; 2 (3)将问题转化为解不等式 x +5x+4>0,解出即可. 解答: 解: (1)a= 时,f(x)=x ﹣x+4,对称轴 x= , ∴函数 f(x)在[0, )递减,在( ,2]递增,
2





(2)



对任意 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|<4 恒成立,即 ymax﹣ymin<4, (i)a≤0 时,8﹣4a﹣4<4∴a>0 不合题意, 2 (ii)0<a<1 时,8﹣4a﹣(﹣a +4)<4,0<a<4∴0<a<1, 2 (iii)1≤a≤2 时,4﹣(﹣a +4)<4∴﹣2<a<2∴1≤a<2, (iv)a≥2 时,4﹣(8﹣4a)<4∴a<2 不合题意, 综上:0<a<2; (3)由 f(x)>0,得:x +4>2ax, a=﹣ 时,得:x +5x+4>0,解得:x>﹣1 或 x<﹣4, 故 x 的范围是: (﹣∞,﹣4)∪(﹣1,+∞) . 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查了转化 思想,是一道中档题.
2 2



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