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高考数学压轴小题训练:函数与导数 菁优网



高考数学压轴小题训练:函数与导数
一、选择题(共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 1. (3 分) (2014?海口二模) 设f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且f (2) =0, 当 x>0 时, 有 恒成立,则不等式 x f(x)>0 的解集是( ) A. (﹣2,0)∪ (2,+∞) B. (﹣2,0)∪ (0,2) C. (﹣∞, ﹣2) ∪

(2, +∞) D. (﹣∞,﹣2)∪ (0,2)
2

2. (3 分)已知函数 f(x)满足:f(1)= ,f(x+y)+f(x﹣y)=2f(x)f(y) (x,y∈R) ,则 A.﹣1 B.0 C. D.1

f(i)=(



3. (3 分) (2010?温州一模)已知函数 f(x)满足 f(1)=a,且 f(n+1)=
*

,若对任意

的 n∈N 总有 f(n+3)=f(n)成立,则 a 在(0,1]内的可能值有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个



4. (3 分) (2014?安徽模拟)定义在 R 上的函数 y=f(x) ,满足 f(4﹣x)=f(x) , (x﹣2)f′ (x)<0,若 x1<x2, 且 x1+x2>4,则有( ) A. f(x1)<f(x2) B. f(x1)>f(x2) C. f(x1)=f(x2) D. 不确定 5. (3 分)已知函数 f(x)满足对任意的 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)且在区间[3,7]上是增函数,在区 间[4,6]上的最大值为 1007,最小值为﹣2,则 2f(﹣6)+f(﹣4)=( ) A.﹣2012 B.﹣2011 C.﹣2010 D.2010 6. (3 分)函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2﹣x) ,且当 x∈(﹣∞,1)时, (x﹣1)?f′ (x)<0,a=f (0) ,b=f( ) ,c=f(3) ,则( A.a<b<c B.c<b<a ) C.c<a<b D.b<c<a

7. (3 分) (2014?南昌模拟)已知定义域为 R 的函数 y=f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x+4) ,当 x>2 时,f(x)单调 递增,若 x1+x2<4 且(x1﹣2) (x2﹣2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可能等于 0 D.可正可负 二、填空题(共 3 小题,每小题 3 分,满分 9 分) 8. (3 分) (2010?重庆)已知函数 f(x)满足: (2010)= _________ .
2



,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y) (x,y∈R) ,则 f

9. (3 分) (2011?郑州二模)设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(﹣1)=0,当 x>0 时, (x +1)f′ (x)﹣2xf(x)< 0,则不等式 f(x)>0 的解集为 _________ .

1

10. (3 分) (2010?济南一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点 x 都有 ,且 f(﹣1)=1,

成中心对称,对任意实数

f(0)=﹣2,则 f(0)+f(1)+…+f(2010)=

_________ .

2

2013 年高考数学压轴小题训练:函数与导数
参考答案与试题解析
一、选择题(共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 1. (3 分) (2014?海口二模) 设f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且f (2) =0, 当 x>0 时, 有 恒成立,则不等式 x f(x)>0 的解集是( ) A.(﹣2, 0) ∪ (2, B.(﹣2, 0) ∪ (0, C.(﹣∞,﹣2)∪ D.(﹣∞,﹣2)∪ +∞) 2) (2,+∞) (0,2) 考点: 函数的单调性与导数的关系; 奇偶函数图象的对称 性;其他不等式的解法.
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2

专题:

综合题;压轴题.

3

分析:

首先根据商函数求导法则,把 化为[ ]′ <0; 然

后利用导函数的正负性, 可判断函数 y=



(0,+∞)内单调递减;再由 f(2)=0,易得 f(x) 在(0,+∞)内的正负性;最后结合奇函数的图象 特征,可得 f(x)在(﹣∞,0)内的正负性.则 2 x f(x)>0?f(x)>0 的解集即可求得.

4

解答: 解: 因为当 x>0 时, 有

恒成立,即[ 所以

]′ <0 恒成立, 在(0,+∞)内单调递减.

因为 f(2)=0, 所以在(0,2)内恒有 f(x)>0;在(2,+∞) 内恒有 f(x)<0. 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以在(﹣∞,﹣2)内恒有 f(x)>0;在(﹣2, 0)内恒有 f(x)<0. 2 又不等式 x f(x)>0 的解集,即不等式 f(x)> 0 的解集. 所以答案为(﹣∞,﹣2)∪ (0,2) . 故选 D.

5

点评:

本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数 的关系,同时考查了奇偶函数的图象特征.

2. (3 分)已知函数 f(x)满足:f(1)= ,f(x+y)+f(x﹣y)=2f(x)f(y) (x,y∈R) ,则 A.﹣1 B.0 C. D.1

f(i)=(



考点:

抽象函数及其应用;数列的求和.

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专题: 分析:

计算题;函数的性质及应用. 令 x=1,y=0,可求得 f(0) ;再令 y=1,可得 f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1) ,f(x+2)=﹣f(x ﹣1) ,从而可得函数 f(x)是以 6 为周期的周 期函数,分别求得 f(i) (i=2,3,4,5,6) 的值,利用其周期性即可求得 f(i) .

解答:

解:令 x=1,y=0,则 2f(1)f(0)=f(1+0) +f(1﹣0)=2f(1) , 所以 f(0)=1. 令 y=1,得 f(x)=f(x+1)+f(x﹣1) ,即 f (x+1)=f(x)﹣f(x﹣1) , 由此得 f(x+2)=f(x+1)﹣f(x)=f(x)﹣ f(x﹣1)﹣f(x)=﹣f(x﹣1) , 以 x+1 代替 x,得 f(x+3)=﹣f(x) ,由此可 得 f(x+6)=﹣f(x+3)=f(x) , 即函数 f(x)是以 6 为周期的周期函数,又 f (x+1)=f(x)﹣f(x﹣1) , 得 f(2)=f(1)﹣f(0)=﹣ ,

6

f(3)=f(2)﹣f(1)=﹣ ﹣ =﹣1, f(4)=f(3)﹣f(2)=﹣1+ =﹣ , f(5)=f(4)﹣f(3)=﹣ +1= , f(6)=f(5)﹣f(4)= ﹣(﹣ )=1, 即一个周期内的整点函数值是 ,﹣ ,﹣1, ﹣ , ,1,其和为 0, 又 2010=6×335, 故 点评: f(i)=f(0)+ f(i)=1.

本题考查抽象函数及其应用, 突出考查赋值法 的应用,求得函数 f(x)是以 6 为周期的周期 函数是关键,考查推理与运算能力,属于中档 题.

3. (3 分) (2010?温州一模)已知函数 f(x)满足 f(1)=a,且 f(n+1)=
*

,若对任意

的 n∈N 总有 f(n+3)=f(n)成立,则 a 在(0,1]内的可能值有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点: 专题: 分析: 函数恒成立问题. 计算题;压轴题.



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欲求出对任意的 n∈N 总有 f(n+3)=f(n)成 立时 a 在(0,1]内的可能值,只须考虑 n=1 时,使得方程 f(4)=f(1)的 a 在(0,1]内 的可能值即可.对 a 进行分类讨论,结合分段 函数的解析式列出方程求解即可.

*

7

解答:

解:∵ 0<a≤1, ∴ f(2)=2f(1)=2a, ① 当 0<a≤ 时,0<2a≤ ,0<4a≤1, ∴ f(3)=2f(2)=4a, f(4)=2f(3)=8a, 此时 f(4)=f(1)不成立; ② 当 <a≤ 时, <2a≤1,1<4a≤2, ∴ f(3)=2f(2)=4a, f(4)= = , =a? ;

此时 f(4)=f(1)?

③ 当 <a≤1 时,1<2a≤2,2<4a≤4, ∴ f(3)= ∴ f(4)=2f(3)= 此时 f(4)=f(1)? = , =a?a=1; ,

综上所述,当 n=1 时,有 f(n+3)=f(n)成 立时, 则 a 在(0,1]内的可能值有两个. 故选 B.

点评:

本小题主要考查分段函数、函数恒成立问题、 方程式的解法等基础知识,考查运算求解能 力,考查分类讨论思想、化归与转化思想.属 于基础题.

4. (3 分) (2014?安徽模拟)定义在 R 上的函数 y=f(x) ,满足 f(4﹣x)=f(x) , (x﹣2)f′ (x)<0,若 x1<x2, 且 x1+x2>4,则有( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2)D.不确定 考点: 函数的单调性与导数的关系.

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8

专题: 分析:

转化思想. 由题设中条件 f(4﹣x)=f(x)可得出函数关 于 x=2 对称,由(x﹣2)f′ (x)<0 可得出 x >2 时,导数为正,x<2 时导数为负由此可必 出函数的单调性利用单调性比较大小即可选出 正确答案

解答:

解:由题意 f(4﹣x)=f(x) ,可得出函数关于 x=2 对称 又(x﹣2)f′ (x)<0,得 x>2 时,导数为负, x<2 时导数为正, 即函数在(﹣∞,2)上是增函数,在(2,+∞) 上是减函数 又 x1<x2,且 x1+x2>4,下进行讨论 若 2<x1<x2,显然有 f(x1)>f(x2) 若 x1<2<x2,有 x1+x2>4 可得 x1>4﹣x2,故 有 f(x1)>f(4﹣x2)=f(x2) 综上讨论知,在所给的题设条件下总有 f(x1) >f(x2) 故选 B

9

点评:

本题考查函数单调性与导数的关系以及利用单 调性比较大小,求解本题的关键是根据导数的 符号判断出函数的单调性,在比较大小时根据 所给的条件灵活变形,将两数的大小比较转化 到一个单调区间上比较也很重要,本题考查了 转化化归的能力.

5. (3 分)已知函数 f(x)满足对任意的 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)且在区间[3,7]上是增函数,在区 间[4,6]上的最大值为 1007,最小值为﹣2,则 2f(﹣6)+f(﹣4)=( ) A.﹣2012 B.﹣2011 C.﹣2010 D.2010 考点: 专题: 分析: 抽象函数及其应用.

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计算题;函数的性质及应用. 先令 x=y=0 求得 f(0)=0,再令 y=﹣x,求得 f (x)+f(﹣x)=0,从而判断函数 f(x)为奇 函数;利用奇函数在区间[3,7]上是增函数,在 区间[4,6]上的最大值为 1007,最小值为﹣2, 即可求得 2f(﹣6)+f(﹣4)的值.

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解答:

解:令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0) ,解得 f(0)=0. 令 y=﹣x,得 f(0)=f(x)+f(﹣x) , 故 f(x)+f(﹣x)=0, 所以函数 f(x)为奇函数. 由函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,可知函 数 f(x)在区间[4,6]上也是增函数, 故最大值为 f(6)=1007,最小值为 f(4)=﹣2. 而 f(﹣6)=﹣f(6)=﹣1007,f(﹣4)=﹣f (4)=2, 所以 2f(﹣6)+f(﹣4)=2×(﹣1007)+2=﹣ 2012. 故选 A

点评:

本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法 的应用,突出函数奇偶性与单调性的综合应用, 考查分析与推理、运算能力,属于中档题.

6. (3 分)函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2﹣x) ,且当 x∈(﹣∞,1)时, (x﹣1)?f′ (x)<0,a=f (0) ,b=f( ) ,c=f(3) ,则( A.a<b<c 考点: 专题: B.c<b<a ) C.c<a<b D.b<c<a

导数的运算;函数单调性的性质. 函数的性质及应用.

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分析:

由题意可得,函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,在(﹣∞,1)上是增函数,再根据 c=f (﹣1) , ,利用函数的单调性判断

a、b、c 的大小关系.

解答:

解:由 f(x)=f(2﹣x)可得函数 f(x)的图 象关于直线 x=1 对称, 当 x∈(﹣∞,1)时, (x﹣1)?f′ (x)<0,∴ 函数 f(x)在(﹣∞,1)上是增函数,在(1, +∞)上是减函数, 由于 c=f (3) =f (2﹣3) =f (﹣1) , a=f(0) ,b=f( ) ,c=f(3) ,∴ b>a>c, 故选 C. ,

点评:

本题主要考查函数的图象的对称性和单调性的 应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.

7. (3 分) (2014?南昌模拟)已知定义域为 R 的函数 y=f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x+4) ,当 x>2 时,f(x)单调 递增,若 x1+x2<4 且(x1﹣2) (x2﹣2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可能等于 0 D.可正可负
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考点:

奇偶函数图象的对称性; 函数单调性的性质.
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专题: 分析:

压轴题. 先通过给定条件确定函数为关于点(2,0) 成中心对称,再由图象可得答案.

解答:

解:由函数 y=f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x+4) 得函数的图象关于点(2,0)对称, 由 x1+x2<4 且(x1﹣2) (x2﹣2)<0 不妨设 x1>2,x2<2, 借助图象可得 f(x1)+f(x2)的值恒小于 0, 故选 B.

点评:

本题主要考查函数的对称性.

二、填空题(共 3 小题,每小题 3 分,满分 9 分) 8. (3 分) (2010?重庆)已知函数 f(x)满足: (2010)= . ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y) (x,y∈R) ,则 f

考点: 专题:

抽象函数及其应用;函数的周期性. 计算题;压轴题.

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分析:

由于题目问的是 f(2010) ,项数较大,故马上 判断函数势必是周期函数,所以集中精力找周 期即可;周期的寻找方法可以是不完全归纳推 理出,也可以是演绎推理得出.

解答:

解:取 x=1,y=0 得 法一:根据已知知 取 x=1,y=1 得 f(2)=﹣ 取 x=2,y=1 得 f(3)=﹣ 取 x=2,y=2 得 f(4)=﹣ 取 x=3,y=2 得 f(5)= 取 x=3,y=3 得 f(6)= 猜想得周期为 6 法二:取 x=1,y=0 得 取 x=n,y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n﹣1) , 同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)=﹣f(n﹣1) 所以 f(n)=﹣f(n+3)=f(n+6) 所以函数是周期函数,周期 T=6, 故 f(2010)=f(0)=

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点评:

准确找出周期是此类问题 (项数很大) 的关键, 分别可以用归纳法和演绎法得出周期,解题时 根据自己熟悉的方法得出即可.

9. (3 分) (2011?郑州二模)设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(﹣1)=0,当 x>0 时, (x +1)f′ (x)﹣2xf(x)< 0,则不等式 f(x)>0 的解集为 (﹣∞,﹣1)∪ (0,1) . 考点: 专题: 分析: 奇偶性与单调性的综合. 计算题;综合题. 首先根据商函数求导法则,把 (x +1)f'(x) ﹣2xf(x)<0,化为[ ]′ <0;然后利
2

2

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用导函数的正负性, 可判断函数 y=



(0,+∞)内单调递减;再由 f(﹣1)=0, 易得 f(x)在(0,+∞)内的正负性;最后结 合奇函数的图象特征,可得 f(x)在(﹣∞, 0)内的正负性.则 f(x)>0 的解集即可求 得.

解答:

解:因为当 x>0 时,有 (x +1)f'(x)﹣2xf (x)<0 恒成立,即[ ]′ <0 恒成立,

2

15

所以 y=

在(0,+∞)内单调递减.

点评:

因为 f(﹣1)=0, 所以在(0,1)内恒有 f(x)>0;在(1,+∞) 内恒有 f(x)<0. 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以在 (﹣∞, ﹣1) 内恒有 f ( x) >0; 在 (﹣ 1,0)内恒有 f(x)<0. 即不等式 f(x)>0 的解集为: (﹣∞,﹣1) ∪ (0,1) . 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪ (0,1) . 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与 导数的关系,同时考查了奇偶函数的图象特 征,熟练掌握导数的运算法则是解题的关键, 考查运算能力,属中档题.

10. (3 分) (2010?济南一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点 x 都有 ,且 f(﹣1)=1,

成中心对称,对任意实数

f(0)=﹣2,则 f(0)+f(1)+…+f(2010)= ﹣2 考点: 专题:



函数的周期性. 计算题.

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分析:

由已知中定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于 点 成中心对称, 对任意实数 x 都有 ,我们易判断出函数 f

(x)是周期为 3 的周期函数,进而由 f(﹣1) =1,f(0)=﹣2,我们求出一个周期内函数的值, 进而利用分组求和法,得到答案.

解答:

解:∵





,所以,f

(x)是周期为 3 的周期函数. f(2)=f(﹣1+3)=f(﹣1)=1,又 ,



, , ,

∵ 函数 f(x)的图象关于点 ∴

∴ f(0)+f(1)+…+f(2010)=f(2010)=f(0) =﹣2. 故答案为:﹣2

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点评:

本题考查的知识点是函数的周期性, 其中根据已 知中对任意实数 x 都有 ,

判断出函数的周期性,是解答本题的关键.

参与本试卷答题和审题的老师有:wzj123;刘春江;wsj1012;caoqz;wfy814;xintrl;394782;lily2011;geyanli (排名不分先后)
菁优网 2014 年 10 月 11 日

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