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等比数列前n项和



2.5 等比数列的前n项和 (一)

学习目标
1.会推导等比数列的前n项和公式,并体会其中 的方法。 2.能够用等比数列的前n项和公式解决等比数列 中的一些问题。

复习回顾
1. 等比数列的定义:

定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公 比通常用字母 q 来表示. 即 an?1 ? q (an ? q ? 0, n ? N *) ?
an

2.

等比数列的通项公式:
an ? a1 ? qn?1 (n ? N*)

an ? am ? q

n ?m

(n、m ? N*, q ? 0);

思考探究
? 相传国王要奖励国际象棋发明者,问他有什

么要求,发明者说:“请在棋盘上的64格中 的第1格放入1粒麦粒,第2格放入2粒麦粒, 第3格放入4粒麦粒,第4格放入8粒麦粒,依 此类推,每一个格子放的麦粒数都是前一个 格子里放的麦粒数的2倍,直到放完64个格 子为止.”国王立即答应了. ? 问国王将会给发明者多少粒麦粒? 国王能否 实现他的诺言?

新 课 学习
解决关于国际象棋的传说问题: 也就是求数列: 1,2,4,8,· · 63 的和. · ,2 S 64 = 1 + 2 + 4 + 8 + · ·+ 263 · ①. 两边同时乘以等比数列的公比 2 , 2 S 64 = 2 + 4 + 8 + 16 + · ·+ 263 +264 ②. · 比较这两个式子: ② - ① 得, S 64 = 264 –1 . 264 –1 ? 1.84×1019(粒),假定千粒重为40g, 那么麦粒的总重量约为7378.7亿吨,若铺在地球表 面上,可以得出一个麦粒层,厚度约为9毫米.国 王是拿不出这么多麦子的.

等比数列的前 n 项和公式的推导:

设有等比数列

a 1 ,a 2 ,a 3 ,· · n ,· · · ,a ·.

它的公比是 q ,它的前 n 项和为 Sn=a1 +a2 +a3 +·· an . ·+ 由等比数列的通项公式,上式可以写成: S n = a 1+ a 1q+ a 1q 2+ · · a 1q n –2+ a 1q n –1 ·+ ① ②

两边同时乘以公比 q,
q S n = a 1q+ a 1q 2+ · · a 1q n –2+ a 1q n –1 +a 1q n ·+ ① - ② 得, ( 1 - q ) S n = a 1– a 1q n.

( 1 - q ) Sn = a1 – a1 qn .

当 q ? 1 时,等比数列an} 的前n 项和公式为 {

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1?q
因为 a 1 q n = ( a 1 q n-1 ) q = a n q , 所以等比数列的前 n 项和公式还可以写成

a1 ? an q Sn ? . 1?q
当 q = 1 时,S n = n a 1 .

等比数列的前n项和公式:

na
Sn=

1

(q=1)

a1 (1 - q ) a1 - an q ? (q≠1) 1- q 1- q

n

注:
(1)当已知 a 1,q,n 时用第一个公式,当 已知 a 1,q,a n 时用第二个公式 . (2)如果公比 q 是一个字母,在求和时要 对公比是否为 1 进行讨论. (3)要把公式记准,通项公式 a n 中,q 的 指数是 n -1,前 n 项和公式 S n 中, q 的指数 是n.

例题解析
1 1 1 例1:已知等比数列 , , ??. 2 4 8 (1)求前8项之和. (2)求第5项到第10项的和. (3)求此数列前2n项中所有偶数项的和. 解:

1 1 (1 ? 8 ) 2 2 ? 255 , (1) S8 ? 1 256 1? 2

1 1 1 例1、已知等比数列 , , ??. 2 4 8 (2)求第5项到第10项的和. 解: 2)S ? a ? a ? a ? a ? a ? a , ( 5 6 7 8 9 10

1 1 5 ?1 1 5 1 但首项是 确定 ? 6, q ? , a5 ? ? ( ) ? ( ) , n 2 2 2 2 1 1 10 1 1 4 1 1 6 此题也可用5 (1 ? ( ) ) (1 ? ( ) )
( ) [1 ? ( ) ] S ? S10 ? S 4 ? 2 1 2 10 2 2 ? ( 1 ) 4 ? ( )1 . ?S ? 1? 1 2 2 解得. 1? 2 2
?2 2 1 1? 2

1 1 1 例1、已知等比数列 , , ??. 2 4 8
(3)求此数列前2n项中所有偶数项的和. 1 1 , 解:(3)确定项数为n,公比为 4 , 首项为a2 ? , 4 1 1 n (1 ? ( ) ) 4 ? ? S ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n ? 4 1 1? 4
注意:将等比数列中拿出角标码成等差数列 的项会组成一个新的等比数列,要确定好新 数列的首项、公比及项数,才不会出错.

例 2 、某商场第 1 年销售计算机 5000 台,如果平均 每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第 1 年起, 约几年内可使总销售量达到 30 000台(保留到个位)? 分析:根据题意,每年销售量比上一年增加的 百分数相同,所以从第一年起,每年的销售量组成 一个等比数列 { a n },其中, a 1 = 5000 ,q = 1+10% = 1.1,S n = 30000, 代入等比数列求和公式,即可得 关于 n 的一个方程, 解方程即可求得 n .(解答见教材)

例3 、等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4. 解:由题设有:当q=1时,不满足上面条件, 2 当q≠1时,

(1 ? q 6 ) ? 13,? q 4 ? q 2 ? 1 ? 13, (2)÷(1)得: 1 ? q2 解得 q 2 ? 3, q 2 ? ?4 (舍去).

? a1 (1 ? q ) ? S 2 ? 1 ? q ? 7 (1) ? ? a1 (1 ? q 6 ) ?S 6 ? ? 91 (2) ? 1? q ?

4 a1 7 a1 (1 ? q ) 2=3代人(1)得 ? ? ?? S 4 ? 将q ? 28. 1?q 2 1? q

? 说明:

(1)前面在等比数列一节中,已经分析了 在等比数列解题中的运算特点,在本节牵涉 到和的运算中,仍要注意消元方法;

(2)另外在和的运算中,还要注意整体意 a1 识,即将 1?q 作为一整体求解; (3)另外还要注意:套用求和公式时是在 q≠1的时候成立的,要注意讨论 q是否能为 1.

例4.(2009 辽宁 理)设等比数列{an}的前n 项和为Sn,若 S9 S6 =3 ,则 = B S6 S3 7 8 (A) 2 (B) (C) (D)3 3 3
S6 (1 ? q3 ) S3 ? 解析: 设公比为q ,则 =1+q3=3 ? q3=2 S3 S3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

于是

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? 3 S6 1? q 1? 2 3

例5、已知{an}为等比数列, 且Sn=a, S2n=b,(ab≠0), 求S3n. 解法一:设等比数列{an}的公比为q. 若q=1(此时数列为常数列),则 Sn=na1=a, S2n=2na1=b, 从而有2a=b ∴S3n=3na1=3a (或 S3n= 3 b ).
2

若q≠1(即2a≠b),由已知
a1 (1 ? q 2 n ) a1 (1 ? q ) ?b (2) Sn ? ? a (1) S2 n ? 1? q 1? q b n b n 又 ab ≠0 (2)÷(1)得 1 ? q ? q ? ? 1 (3) a a 2
n

将(3)代入(1),得

a1 a ? 1 ? q 2a ? b

a1 (1 ? q ) a1 3n ? S3 n ? ? ? (1 ? q ) 1? q 1? q
3n

a2 b 3 ? ? [1 ? ( ? 1) ] 2a ? b a 2 2 a ? ab ? b ? a
(解法二:见练习)

练习
? 1.

教科书 练习 1、2. 2.辨析下面证法:
已知数列{an}是等比数列,Sn是前n项和,证明: S7, S14-S7, S21-S14成等比数列.

a1 (1 ? q 21 ) a1 (1 ? q ) a1 (1 ? q ) , 证明:S 7 ? , S 21 ? , S14 ? 1? q 1? q 1? q a1q 7 (1 ? q 7 ) S ? S ? a1q14 (1 ? q 7 ) , ? S14 ? S7 ? , 21 14 1? q 1? q
7
14

a12 q14 (1 ? q 7 ) 2 ( S14 ? S 7 ) 2 ? , 2 (1?q)

a1 (1 ? q 7 ) a1q14 (1 ? q 7 ) a12 q14 (1 ? q 7 ) 2 S7 (S 21 ? S14 ) ? ? ? , 2 (1?q) 1? q 1? q

? S7 (S21 ? S14 ) ? (S14 ? S7 ) ,
2

? S7 , S14 ? S7 , S21 ? S14 成等比数列.
评析: 套用求和公式时是在q≠1的时候成立的,要注 意讨论q是否能为l.所以,上面的证明是在q≠1的时 候成立,当q=1时,S7=7a1,S14=14a1,S21=21a1,…可证 之.

所以对公比q为字母时一定要有讨论意识.

3、{an}是等比数列,Sn是其前n项和,数列Sk, S2k-Sk, S3k-S2k,(k∈N*)是否仍成等比数列?
解析:①当q=-1且k为偶数时, Sk, S2k-Sk,S3k-S2k,不 是等比数列.∵此时, Sk= S2k-Sk=S3k-S2k=0



( =

王新敞
奎屯

新疆

评述:应注 意等比数列 ②当q≠-1或k为奇数时, 中的公比q的 Sk=a1+a2+a3+· · k≠0 ·+a 各种取值情 况的讨论, S2k-Sk=pk(a1+a2+a3+· · k)≠0 ·+a 还易忽视等 S3k-S2k=p2k(a1+a2+a3+· · k)≠0 ·+a 比数列的各 项应全不为0 ? Sk, S2k-Sk,S3k-S2k,(k∈N*)成等比数列 的前提条件. (

例5 解法二: 由Sn, S2n-Sn,S3n-S2n,(n∈N*)成等比数列
即 a, b-a, S3n-b成等比数列,所以a(S3n -b)=( b-a)2

从而有 S3n=

a 2 ? ab ? b 2 (包含了q=1的情况) a

小 结
1.等比数列前n项和公式
a1 (1 ? q ) Sn ? (q ? 1) ? 1? q
n

a1 ? an q Sn ? 1? q

(q ? 1). ?
(q ? 1)

Sn ? na1

2.熟悉并应用公式,要掌握好错位相减法.



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