9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析



湖北省武汉外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)下列命题是真命题的为() A.若 ,则 x=y B. 若 x =1,则 x=1 D.若 x<y,则 x <y
2 2 2

C. 若 x=y,则
<

br />2. (5 分)已知向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) ,则 ⊥ 的充要条件是() A.x=﹣ B.x=﹣1 C.x=5 D.x=0

3. (5 分)命题“若 α= A.若 α≠ ,则 tan α≠1

,则 tan α=1”的逆否命题是() B. 若 α= ,则 tan α≠1

C. 若 tan α≠1,则 α≠
2

D.若 tan α≠1,则 α=

4. (5 分)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为() 2 2 2 2 A.y =±4x B.y =4x C.y =±8x D.y =8x 5. (5 分)设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=() A.e
2

B. e

C.

D.ln2

6. ( 5 分)双曲线 A.



=1 的渐近线与圆(x﹣3) +y =r (r>0)相切,则 r=() C. 3 D.6

2

2

2

B. 2

7. (5 分)设图 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,双曲线上

存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.3

8. (5 分) 设椭圆 C:

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, P 是 C 上的点 PF2⊥F1F2,

∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为() A. B. C.
2

D.

9. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是() A.2 B. 3 C. D.

10. (5 分)△ ABC 的顶点 A(﹣5,0) ,B(5,0) ,△ ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则 顶点 C 的轨迹方程是() A. ﹣ =1 B. =1

C.



=1(x>3)

D.

=1(x>4)

三、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 11. (5 分)若 a≤b,则 ac ≤bc ,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的 个数是. 12. (5 分)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的条件. 13. (5 分)如果直线 l 将圆 C: (x﹣2) +(y+3) =13 平分,那么坐标原点 O 到直线 l 的最 大距离为.
2 2 2 2

14. (5 分)若函数

存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是.

15. (5 分)椭圆

的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2 的大小为.

16. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p=. 17. (5 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(﹣1,0) ,B(0, 满足| |=1,则| + + |的最大值是. ) ,C(3,0) ,动点 D

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (6 分)已知命题 P:函数 y=loga(1﹣2x)在定义域上单调递增;命题 Q:不等式(a﹣2) 2 x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立.若 P∨Q 是真命题,求实数 a 的取值范围. 19. (6 分)已知命题 p:方程 2x +ax﹣a =0 在上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 2 x0 +2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取值 范围. 20. (12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 ) (Ⅰ)求双曲线方程; (Ⅱ)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (Ⅲ)由(Ⅱ)的条件,求△ F1MF2 的面积. 21. (13 分)已知椭圆 C:x +2y =4. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度 的最小值. 22. (14 分)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区, 规划要求: 新桥 BC 与河岸 AB 垂直; 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m, 经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸) ,tan∠BCO= . (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?
2 2 2 2

且过点(4,﹣

23. (14 分)设抛物线 Γ:y =2px(p>0)过点(t, (Ⅰ)求抛物线 Γ 的方程;

2

) (t 是大于 0 的常数) .

(Ⅱ)若 F 是抛物线 Γ 的焦点,斜率为 1 的直线交抛物线 Γ 于 A,B 两点,x 轴负半轴上的点 C,D 满足|FA|=|FC|,|FD|=|FB|,直线 AC,BD 相交于点 E,当 AB 的方程. 时,求直线

湖北省武汉外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)下列命题是真命题的为() A.若 ,则 x=y B. 若 x =1,则 x=1 D.若 x<y,则 x <y
2 2 2

C. 若 x=y,则 考点: 四种命题的真假关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 逐一判断即可. 解答: 解:A、由
2



=0,则 x=y,为真命题;

B、由 x =1 得 x=±1,x 不一定为 1,为假命题; C、若 x=y, 不一定有意义,为假命题; 2 2 D、若 x<y<0,x >y ,为假命题; 故选 A. 点评: 本题较简单,A 显然正确,其它可不看.

2. (5 分)已知向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) ,则 ⊥ 的充要条件是() A.x=﹣ B.x=﹣1 C.x=5 D.x=0

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;数量积判断两个平面向量的垂直关系.

专题: 计算题. 分析: 直接利用向量垂直的充要条件,通过坐标运算求出 x 的值即可. 解答: 解:因为向量 =(x﹣1,2) , =(2,1) , ⊥ , 所以 2(x﹣1)+2=0,解得 x=0. 故选 D. 点评: 本题考查向量垂直条件的应用,充要条件的应用,考查计算能力.

3. (5 分)命题“若 α= A.若 α≠ ,则 tan α≠1

,则 tan α=1”的逆否命题是() B. 若 α= ,则 tan α≠1

C. 若 tan α≠1,则 α≠

D.若 tan α≠1,则 α=

考 点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,直接写出它的逆否命题即可. 解答: 解:命题“若 α= “若 tan α≠1,则 α≠ ”. ,则 tan α=1”的逆否命题是

故选:C. 点评: 本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题,解题时应根据四种命题之 间的关系进行解答,是基础题. 4. (5 分)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为() 2 2 2 2 A.y =±4x B.y =4x C.y =±8x D.y =8x 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线方程表示出 F 的坐标,进而根据点斜式表示出直线 l 的方程,求得 A 的坐标, 进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得 a, 则抛物线的方程可得. 解答: 解:抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为 则直线 l 的方程为 它与 y 轴的交点为 A 所以△ OAF 的面积为 解得 a=±8. 2 所以抛物线方程为 y =±8x, , , ,
2 2



故选 C. 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程,点斜式求直线方程等.考查学生的数形结合的 思想的运用和基础知识的灵活运用. 5. (5 分)设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=() A.e
2

B. e

C.

D.ln2

考点: 导数的乘法与除法法则. 分析: 利用乘积的运算法则求出函数的导数,求出 f'(x0)=2 解方程即可. 解答: 解:∵f(x)=xlnx ∴ ∵f′(x0)=2 ∴lnx0+1=2 ∴x0=e, 故选 B. 点评: 本题考查两个函数积的导数及简单应用.导数及应用是高考中的常考内容,要认真 掌握,并确保得分.

6. (5 分)双曲线 A.



=1 的渐近线与圆(x﹣3) +y =r (r>0)相切,则 r=() C. 3 D.6

2

2

2

B. 2

考点: 双曲线的简单性质;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 求出渐近线方程, 再求出圆心到渐近线的距离, 根据此距离和圆的半径相等,求出 r. 解答: 解:双曲线的渐近线方程为 y=± 圆心(3,0)到直线的距离 d= x,即 x± = , y=0,

∴r= . 故选 A. 点评: 本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式.

7. (5 分)设图 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,双曲线上

存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.3

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 要求离心率,即求系数 a,c 间的关系,因此只需用系数将题目已知的条件表示出来 即可.本题涉及到了焦点弦问题,因此注意结合定义求解. 解答: 解:由双曲线的定义得:|PF1|﹣|PF2|=2a, (不妨设该点在右支上) 又|PF1|+|PF2|=3b,所以 两式相乘得 故 e= . 故选 B 点评: 本题考查了双曲线的定义,离心率的求法.主要是根据已知条件找到 a,b,c 之间的 关系化简即可. .结合 c =a +b 得
2 2 2

, .

8. (5 分) 设椭圆 C:

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, P 是 C 上的点 PF2⊥F1F2,

∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF2|=x,在直角三角形 PF1F2 中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的 性质即可求得答案. 解答: 解:|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, ∴|PF1|=2x ,|F1F2|= x, 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c ∴2a=3x,2c= x, ∴C 的离心率为:e= = .

故选 D. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力, 属于中档题. 9. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是() A.2 B. 3 C. D.
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;点到直线的距离公式. 专题: 计算题.

分析: 先确定 x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线,再由抛物线的定义得到 P 到 l2 的距离等于 P 2 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离,进而转化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F (l2,0)和直线 l2 的距离之和最小,再由点到线的距离公式可得到距离的最小值. 2 解答: 解:直线 l2:x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离, 2 故本题化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(l2,0)和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(l2,0)到直线 l2:4x﹣3y+6=0 的距离, 即 d= ,

2

故选 A. 点评: 本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,考查基础知识的综合应用.圆锥曲线 是高考的热点也是难点问题,一定要强化复习. 10. (5 分)△ ABC 的顶点 A(﹣5,0) ,B(5,0) ,△ ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则 顶点 C 的轨迹方程是() A. ﹣ =1 B. =1

C.



=1(x>3)

D.

=1(x>4)

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据图可得:|CA|﹣|CB|为定值,利用根据双曲线定义,所求轨迹是以 B 为焦点,实 轴长为 6 的双曲线的右支,从而写出其方程即得. 解答: 解:如图设△ ABC 与圆的切点分别为 D 、E、F, 则有|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 B 为焦点, 实轴长为 6 的双曲线的右支, 方程为 故选 C ﹣ =1(x>3) .

点评: 本题考查轨迹方程,利用的是定义法,定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨 迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等) ,可用定义直接探求. 三、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.

11. (5 分)若 a≤b,则 ac ≤bc ,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的 个数是 2. 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 首先,判断原命题为假命题,然后,分别写出它的其它三种形式的命题,然后,分 别判断真假. 解答: 解:若 a≤b,则 ac ≤bc ,为真命题; 2 2 逆命题为:若 ac ≤bc ,则 a≤b,为假命题; 2 2 否命题:若 a>b,则 ac >bc ,为假命题; 2 2 逆否命题:若 ac >bc ,则 a>b,为真命题; 故正确命题的个数为 2, 故答案为:2. 点评: 本题重点考查了四种命题的真假判断,属于中档题. 12. (5 分)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的必要不充分 条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据复合命题之间的关系进行判断即可. 解答: 解:若“p 或 q”为真命题,则 p,q 至少有一个为真,则此时“p 且 q”不一定为真命题, 若“p 且 q”为真命题,则 p,q 同时为真,必要性成立, 故“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的必要不充分条件, 故答案为:必要不充分 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复合命题之间的关系是解决本题的 关键. 13. (5 分)如果直线 l 将圆 C: (x﹣2) +(y+3) =13 平分,那么坐标原点 O 到直线 l 的最 大距离为 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先考虑斜率不存在时,的情况,再看斜率存在时,设出直线的方程,利用点到直线 的距离建立关于 k 的一元二次方程,利用判别式法求得 d 的范围. 解答: 解:当直线的斜率不存在时,直线的方程为 x=2,原点到直线 l 的距离为 2, 当斜率存在时,设为 k,则直线的方程为 y+3=k(x﹣2) ,整理得 kx﹣y﹣2k﹣3=0, 原点到直线 l 的距离 d= ,
2 2 2 2

2

2

d=

2

,整理得(4﹣d )k +12k+9﹣d=0,
2

2

2

△ =144﹣4(4﹣d ) (9﹣d)≥0, 求得 0<d≤ ,

故坐标原点 O 到直线 l 的最大距离为 . 故答案为: 点评: 本题主要考查了直线的位置关系.解题的过程中不要忘了斜率不存在的情况.

14. (5 分)若函数
2

存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是

16. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p=2. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 抛物线的方程可求得焦点坐标,进而根据斜率表示出直线的方程,与抛物线的方程 联立消去 y,进而根据韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,进而利用配方法求得|x1﹣x2|,利用弦长 公式表示出段 AB 的长求得 p. 解答: 解:由题意可知过焦点的直线方程为 ,

联立有



∴x1+x2=3p,x1x2= ∴|x1﹣x2|= =



求得 p=2

故答案为 2 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.涉及直线与抛物线的关系时,往往是利用韦达 定理设而不求. 17. (5 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(﹣1,0) ,B(0, 满足| |=1,则| + + |的最大值是 +1. ) ,C(3,0) ,动点 D

考点: 参数方程化成普通方程;向量在几何中的应用. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由题意可得,点 D 在以 C(3,0)为圆心的单位圆上,设点 D 的坐标为(3+cosθ, sinθ) ,求得| =2 + + |= + + |的最大值. .根据 4cosθ+2 sinθ 的最大值为

,可得|

解答: 解:由题意可得,点 D 在以 C(3,0)为圆心的单位圆上,设点 D 的坐标为(3+cosθ, sinθ) , 则| + + |= sinθ 的最大值为 |的最大值是 = =2 , = .

∵4cosθ+2 ∴| + +

+1,

故答案为: +1. 点评: 本题主要考查参数方程的应用,求向量的模,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (6 分)已知命题 P:函数 y=loga(1﹣2x)在定义域上单调递增;命题 Q:不等式(a﹣2) 2 x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立.若 P∨Q 是真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 根据对数函数的函数性,复合函数的单调性,我们可以可以得到命题 P 为真时,实 数 a 的取值范围;根据二次不等式恒成立的条件,我们可以得到命题 Q 成立时,实数 a 的取 值范围;再根据 P∨Q 是真命题时,两个命题中至少一个为真,进而可以求出实数 a 的取值范 围. 解答: 解:∵命题 P 函数 y=loga(1﹣2x)在定义域上单调递增; ∴0<a<1(3 分) 又∵命题 Q 不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立; ∴a=2(2 分) 或 , (3 分)
2

即﹣2<a≤2(1 分) ∵P∨Q 是真命题, ∴a 的取值范围是﹣2<a≤2(5 分) 点评: 本题考查的知识点是命题真假判断与应用,其中根据对数函数的函数性,复合函数 的单调性,及二次不等式恒成立的条件,判断命题 P 与 Q 的真假是解答本题的关键. 19. (6 分)已知命题 p:方程 2x +ax﹣a =0 在上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 2 x0 +2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 推理和证明. 分析: 首先求出命题 p 与 q 的等价命题,再 根据命题“p∨q”是假命题求解即可. 解答: 解:由 2x +ax﹣a =0,得(2x﹣a) (x+a)=0,∴x= 或 x=﹣a, ∴当命题 p 为真命题时,| |≤1 或|﹣a|≤1,∴|a|≤2.即 p?﹣2≤a≤2 又“只有一个实数 x0 满足不等式 x +2ax0+2a≤0”,
2 2 2 2

即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, 2 ∴△=4a ﹣8a=0,∴a=0 或 a=2. 即 q?a=0 或 a=2. ∴命题“p∨ q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2 或 a<﹣2. 即 a 的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 点评: 本题借助命题考查才一元二次方程的区间根问题,属于基础题. 20. (12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 ) (Ⅰ)求双曲线方程; (Ⅱ)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (Ⅲ)由(Ⅱ)的条件,求△ F1MF2 的面积. 考点: 双曲线的标准方程;圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题. 分析: (1)双曲线方程为 x ﹣y =λ,点代入求出参数 λ 的值,从而求出双曲线方程, (2)先求出 ? 的解析式,把点 M(3,m)代入双曲线,可得出 ? =0,即
2 2

2

且过点(4,﹣

可证明. (3)求出三角形的高,即 m 的值,可得其面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵离心率 e= 2 2 ∴设所求双曲线方程为 x ﹣y =λ(λ≠0) 则由点(4,﹣ )在双曲线上 2 2 知 λ=4 ﹣(﹣ ) =6 2 2 ∴双曲线方程为 x ﹣y =6 (Ⅱ)若点 M(3,m)在双曲线上 则 3 ﹣m =6∴m =3 2 2 由双曲线 x ﹣y =6 知 F1(2 ∴ ∴ ,故点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. × =6
2 2 2

,0) ,F2(﹣2

, 0)

(Ⅲ)S△ F1MF2= ×2C×|M|=C|M|=2

点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用.解答的关键是对双曲 线标准方程的理解和向量运算的应用. 21. (13 分)已知椭圆 C:x +2y =4. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度 的最小值. 考点: 椭圆的简单性质;两点间的距离公式.
2 2

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)椭圆 C:x +2y =4 化为标准方程为
2 2

,求出 a,c,即可求椭圆 C 的

离心率; (Ⅱ)先表示出线段 AB 长度,再利用基本不等式,求出最小值. 解答: 解: (Ⅰ)椭圆 C:x +2y =4 化为标准方程为 ∴a=2,b= ,c= , ;
2 2



∴椭圆 C 的离心率 e= =

(Ⅱ)设 A(t,2) ,B(x0,y0) ,x0≠0,则 ∵OA⊥OB, ∴ =0, ,

∴tx0+2y0=0,∴t=﹣ ∵
2


2 2 2

∴|AB| =(x0﹣t) +(y0﹣2) =(x0+

) +(y0﹣2)

2

=x0 +y0 +

2

2

+4=x0 +

2

+

+4=

+4(0<x0 ≤4) ,

2

因为

≥4(0<x0 ≤4) ,当且仅当

2

,即 x0 =4 时等号成立,所以|AB| ≥8.

2

2

∴线段 AB 长度的最小值为 2 . 点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题. 22. (14 分)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区, 规划要求: 新桥 BC 与河岸 AB 垂直; 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m, 经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸) ,tan∠BCO= . (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

考点: 圆的切线方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)在四边形 AOCB 中,过 B 作 BE⊥OC 于 E,过 A 作 AF⊥BE 于 F,设出 AF, 然后通过解直角三角形列式求解 BE,进一步得到 CE,然后由勾股定理得答案; (2)设 BC 与⊙M 切于 Q,延长 QM、CO 交于 P,设 OM=xm,把 PC、PQ 用含有 x 的代数 式表示,再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 列式求得 x 的范围, 得到 x 取最小值时圆的半径最大,即圆形保护区的面积最大. 解答: 解: (1)如图,

过 B 作 BE⊥OC 于 E,过 A 作 AF⊥BE 于 F, ∵∠ABC=90°,∠BEC=90°, ∴∠ABF=∠BCE, ∴ .

设 AF=4x(m) ,则 BF=3x(m) . ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°, ∴OE=AF=4x(m) ,EF=AO=60(m) , ∴BE=(3x+60)m. ∵ ∴CE= ∴ ∴ , , (m) . (m) .

解得:x=20. ∴BE=120m,CE=90m, 则 BC=150m; (2)如图,

设 BC 与⊙M 切于 Q,延长 QM、CO 交于 P, ∵∠POM=∠PQC=90°, ∴∠PMO=∠BCO. 设 OM=xm,则 OP= ∴PC= 设⊙M 半径为 R, ∴R=MQ= m= m. m,PM= m,PQ= m. m.

∵A、O 到⊙M 上任一点距离不少于 80m, 则 R﹣AM≥80,R﹣OM≥80, ∴136﹣ ﹣(60﹣x)≥80,136﹣ ﹣x≥80.

解得:10≤x≤35. ∴当且仅当 x=10 时 R 取到最大值. ∴OM=10m 时,保护区面积最大. 点评: 本题考查圆的切线,考查了直线与圆的位置关系,解答的关键在于对题意的理解, 是中档题. 23. (14 分)设抛物线 Γ:y =2px(p>0)过点(t, ) (t 是大于 0 的常数) . (Ⅰ)求抛物线 Γ 的方程; (Ⅱ)若 F 是抛物线 Γ 的焦点,斜率为 1 的直线交抛物线 Γ 于 A,B 两点,x 轴负半轴上的点 C,D 满足|FA|=|FC|,|FD|=|FB|,直线 AC,BD 相交于点 E,当 AB 的方程. 时,求直线
2

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: (Ⅰ)根据抛物线 R:y =2px(p>0)过点(t, 的方程;
2

) ,求出 p,即可得出抛物线 Γ
2

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=x﹣m 代入抛物线方程,可得 x ﹣2(m+1)x+m =0,求出直线 AC、BD 的方程,可得 E 的坐标,求出相应三角形的面积,利用 直线 AB 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵抛物线 R:y =2px(p>0)过点(t, ∴2t=2pt, ∴p=1,
2 2

,即可求

) ,

∴抛物线 R 的方程为 y =2x; (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=x﹣m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 直线方程代入抛物线方程,可得 x ﹣2(m+1)x+m =0, △ =8m+4>0,∴m>﹣ , x1+x2=2(m+1) ,x1x2=m , ∴|x1﹣x2|=2 ,y1+y2=2,y1y2=﹣2m, ∵|FA|=|FC|,∴xC=﹣x1, ∴kAC= = ,直线 AC 的方程为 x﹣y1y+x1=0,①
2

同理直线 BD 的方程为 x﹣y2y+x2=0,② 由①②可得 E(﹣m,1) , ∴S△ AEF= ( +x1) (y1﹣1) ,S△ BEF= ( +x2) (y2﹣1) , ∴S△ AE FS△ BEF= (2m+1) , |x1﹣x2|=2 , ,

在△ ABF 中,|AB|=

F 到直线 AB 的距离为 d= ∴S△ ABF= ∵ |2m﹣1|





= ,

∴m= 或 m=﹣ , ∴直线 AB 的方程为 y =x﹣ 或 y=x+ . 点评: 本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查三角形面积的计算, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.



更多相关文章:
湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省武汉二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省武汉二中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)一...
湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省武汉市部分重点中学联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省武汉市部分重点中学联考 2014-2015 学年...
四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。四川省乐山外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学...
湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省武汉市部分重点学校 2014-2015 学年高二上学期...
2014-2015学年湖北省武汉二中、麻城一中高一(下)期中数学试卷(文科) Word版含解析
2014-2015学年湖北省武汉二中、麻城一中高一(下)期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年湖北省武汉二中、麻城一中高一(下)期中...
2014-2015学年吉林省长春外国语学校高二(下)期中数学试卷(文科)Word版含解析
2014-2015学年吉林省长春外国语学校高二(下)期中数学试卷(文科)Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年吉林省长春外国语学校高二(下)期中数学试卷(...
广东省广州市英豪学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
广东省广州市英豪学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。广东省广州市英豪学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学...
湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_...湖北省武汉外国语学校20... 暂无评价 5页 1下载券 湖北省武汉三十九中2014...
湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_...湖北省武汉外国语学校20... 暂无评价 5页 1下载券 湖北省黄冈中学2014-201...
更多相关标签:
高二上学期文科教材    湖北省天门外国语学校    湖北省七校联考高二    湖北省文科状元    高二物理上学期学什么    高二数学上学期学什么    高二化学上学期学什么    高二上学期家长会ppt    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图