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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第六章 不等式 第四节 基本不等式及其应用习题 理



第四节
[基础达标] 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

基本不等式及其应用

1. (2015·福建德化一中、安溪一中摸底考试) 已知 a,b∈R 且 a+b=1,则 ab 的最大值等于( A.1 B. C. D.

*

)

1.B 【解析】由于 a,b∈

R*,则 1=a+b≥2

,得 ab≤ ,当且仅当 a=b= 时等号成立.

2. (2015·武汉调研) 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为

v,则
A.a<v< B.v=

(

)

C.

<v<

D.v=

2.A 【解析】设甲、乙两地相距 S,则平均速度 v=

,又∵a<b,∴v=

=a.

∵a+b>2

,∴

<0,即 v<

,∴a<v<

.

3.已知 x>0,y>0,且 A.(-4,2)

=1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是
B.(-4,2] C.(-∞,8] D.(-∞,8)

(

)

3.A 【解析】要使 x+2y>m2+2m 恒成立,则(x+2y)min>m2+2m,而

x>0,y>0,x+2y=(x+2y)·1=(x+2y)· -4<m<2.

=4+

≥8,所以(x+2y)min=8,m2+2m<8,解得

4.若不等式 x -2ax-b +4≤0 恰有一个解,则 ab 的最大值为 A. B.2 C.4 D.8

2

2

(

)

1

4.B 【解析】因为不等式 x -2ax-b +4≤0 恰有一个解,所以抛物线 y=x -2ax-b +4 与 x 轴相 切,即(2a)2-4(-b2+4)=0,化简得 a2+b2=4,所以 ab≤ 取等号,即 ab 的最大值为 2. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 5. (2015·成都摸底考试) 当 x>1 时,函数 y=x+ 的最小值是

2

2

2

2

=2,当且仅当 a=b=

或 a=b=-

时,

.

5.3 【解析】因为 x>1,y=x+

=(x-1)+

+1≥2

+1=3,当且仅当 x-1=

,且

x>1,即 x=2 时等号成立,故函数 y 的最小值为 3.
6. (2015·唐山月考) 实数 x,y 满足 x+2y=2,则 3 +9 的最小值是 6.6 【解析】利用基本不等式可得 3x+9y=3x+32y≥2
x y

.
,∵x+2y=2,∴

=2

3x+9y≥2

=2

=6,当且仅当 3x=32y,即 x=1,y= 时,取等号,即 3x+9y 的最小值为 6.

7. (2015·湖南长郡中学月考) 设 x,y,z 均为正数,满足 x-2y+3z=0,则 是

的最小值

.
,∴

7.3 【解析】∵x-2y+3z=0,∴y= 取“=”.

=3.当且仅当 x=3z 时

8. (2016·长春外国语学校质检) 已知第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y-1=0 上,则代数式 的最小值为

.

8.25 【解析】由题意可得 2a+3b=1,a>0,b>0,则

(2a+3b)=13+ 小值为 25.

≥13+2

=25,当且仅当 a=b= 时取等号,所以代数式

的最

2

9. (2015·广东惠州一中等六校联考) 若不等式 的最大值是

≥a 对任意的 x∈(0,1)恒成立,则 a

.

9.9 【解析】∵x∈(0,1),∴1-x>0,∴

=5+

≥5+2

=5+4=9,当且仅当

,即

x= 时,取等号,所以

的最小值为 9,所以 a≤9,所以 a 的最大值为 9.

[高考冲关] 1.(5 分) (2016·沈阳四校联考) 对于使 f(x)≤M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值叫 做 f(x)的“上确界”,若 a,b∈R*且 a+b=1,则的“上确界”为 ( )

A.-

B.

C.

D.-4

1.A 【解析】因为

(a+b)=

+2

,当且仅当

b=2a= 时取等号,所以-

≤- ,即-

的“上确界”为- .

2.(5 分)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,

=2(其中 O 为坐标原点),则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
A. B. C. D.

(

)

2.B 【解析】由题意,设 A(a2,a),B(b2,b),ab<0,∴

=a2b2+ab=2,∴ab=-2.又∵F 为

抛物线 y2=x 的焦点,∴F

,∴S△AFO+S△BFO=

×|b-a|.∵

3

|b-a|2=a2+b2-2ab≥-2ab-2ab=-4ab=8,当且仅当 a=-b 时,等号成立,∴|b-a|min=2

,∴

(S△AFO+S△BFO)min=

.

3.(5 分) (2015·肇庆检测) 若 a>0,b>0,且

,则 a3+b3 的最小值为

.

3.4

【解析】因为 a>0,b>0,所以

,则 ab≥2,所以

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2

·(2ab-ab)=2(

)3≥2(

)3=4

,当且仅当 a=b 时取等

号,即 a3+b3 的最小值为 4

.

4.(5 分) (2015·河南实验中学质检) 已知△ABC 的面积 S 和三边 a,b,c 满 足:S=a -(b-c) ,b+c=6,则△ABC 面积 S 的最大值为 4.
2 2

.

【解析】由 S=a2-(b-c)2 得 b2+c2-a2+S=2bc,则 2bccos A+ bcsin A=2bc,所以 cos

A=1- sin A,代入 cos2A+sin2A=1 中解得 sin A=

.又 b+c=6≥2

,则 bc≤9,当且仅当

b=c=3 时取等号,所以△ABC 面积 S 的最大值为 bcsin A≤ ×9×
2 2 2

.
2

5.(5 分) (2016·沈阳四校联考) 设 x,y 均为正数,且方程(x +xy+y )·a=x -xy+y 成立,则 a 的取值范围是 5.

. =1=1,又

【解析】由(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2 可得 a=

x,y 均为正数,所以

+1≥2+1=3,0<

≤1-

<1,则 a 的取值范围是

.

4



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