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必修② 第三章 直线与方程



§ 3.1 直线的倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率; 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式; 3.能用公式和概念解决问题.

探究任务二:在日常生活中,我们经常用“升高量 与前进量的比”表示“坡度” ,则坡度的公式是怎 样的?

新知 2:一条直线的倾斜角 ? (? ?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P90~ P91,找出疑惑之处) 复习 1: 在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢?

) 的正切值叫做 2 这条直线的斜率(slope).记为 k ? tan ? . 试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为 ⑴当 ? ? 0o 时,则 k ; o o ⑵当 0 ? ? ? 90 时,则 k ; o ⑶当 ? ? 90 时,则 k ; 0 o ⑷当 90 ? ? ? 180 时,则 k .
新知 3: 已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) y ? y1 的直线的斜率公式: k ? 2 . x2 ? x1 探究任务三: 1. 已知直线上两点 A( a1 , a2 ), B (b1 , b2 ),运用上述公式 计算直线的斜率时,与 A, B 两点坐标的顺序有关 吗?

?

复习 2:在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度 ,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水 平面之间的一个什么关系呢?

二、新课导学 ※ 学习探究 新知 1:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination). 关键:①直线向上方向;② x 轴的正方向;③小于 平角的正角. 注意 :当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾 斜角为 0 度..
试试:请描出下列各直线的倾斜角. 2.当直线平行于 y 轴时,或与 y 轴重合时,上述公 式还需要适用吗?为什么?

※ 典型例题 例 1 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: ⑴ ? ? 30? ; ⑵ ? ? 135? ; ⑶ ? ? 60? ; ⑷ ? ? 90?

变式:已知直线的斜率,求其倾斜角. ⑴k ? 0; ⑵ k ?1; ⑶k ?? 3 ; ⑷ k 不存在.

例 2 求经过两点 A(2,3), B(4, 7) 的直线的斜率和倾 斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角. 反思:直线倾斜角的范围?

1

宝剑锋从磨砺出

梅花香自苦寒来

范围

※ 动手试试 练 1. 求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜 角是锐角还是钝角. ⑴ A(2,3), B(?1, 4) ; ⑵ A(5,0), B(4, ?2) .

练 2.画出斜率为 0,1, ?1 且经过点 (1,0) 的直线.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列叙述中不正确的是( ). A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0o 或 90? D.若直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan? ) , ? ( 5两 , 3点 ) 的直线的倾斜角 2. 经 过 A(? 2 , 0 B ( ). A. 45? B. 135? C. 90? D. 60? 3. 过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ). A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 4. 直线经过二、三、四象限, l 的倾斜角为 ? ,斜 率为 k ,则 ? 为 角; k 的取值范围 . 5. 已知直线 l1 的倾斜角为 ? 1, 则 l1 关于 x 轴对称 的直线 l2 的倾斜角 ? 2 为________.

课后作业
C (4, ? 6) 练 3 .判断 A(?2,12),B (1, 3), 三点的位置关 系,并说明理由.

1. 已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P (1,1) 且与线段 AB 相交,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角,直线斜角 的范围是 [0,180? ) . 2.直线斜率的求法:⑴利用倾斜角的正切来求;⑵ 利用直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的坐标来求;⑶
当直线的倾斜角 ? ? 90? 时,直线的斜率是不存在 的 3.直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系: 直线的斜 直线的倾 直线的斜率公 斜角 ? 式 率k
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1 1 2. 已知直线 l 过 A(?2,(t ? )2 ), B(2,(t ? )2 ) 两点, 求 t t 此直线的斜率和倾斜角.

王新敞
学案

定 义 取值
[0,180? )

k ? tan ?

k?

y 2 ? y1 x2 ? x1

(??,??)

( x1 ? x2 )
2

§3.2 两直线平行与垂直的判定
学习目标
1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件, 能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关系; 2.通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论,培 养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生 的数形结合能力; 3.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究, 培养学生的成功意识,激发学生学习的兴趣.

新知 1:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行, 那么它们的斜率相等; 反之, 如果它们的斜率相等, 则它们平行,即 l1 // l2 ? k1 = k 2 注意,上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的 前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立. ⑵两条直线垂直的情形.如果 l1 ? l2 ,那么它们的倾 斜角与斜率是怎么的关系,反过来成立吗?
新疆

王新敞
学案

y

y

y
l2

l1 ?2
O

l2 ?1
x

l1

l1 ?1
x
O

l2 ?2
x

?1
O

?2







学习过程
一、课前准备: (预习教材 P95~ P98,找出疑惑之处) 复习 1: 1 .已知直线的倾斜角 ? (? ? 90? ) ,则直线的斜率 为 ;已知直线上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 且 .
x1 ? x2 ,则直线的斜率为

新知 2:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直, 则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率 互为负倒数,则它们互相垂直. 1 即 l1 ? l2 ? k1 ? ? ? k1k2 ? ?1 k2
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王新敞
学案

2.若直线 l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线 l 的斜 ※ 典型例题 率为 ,倾斜角为 . 例 1 已知 A(2,3), B(?4,0), P(?3,1), Q(?1, 2) ,试判断 3.斜率为 2 的直线经过(3,5)、(a,7)、(-1,b)三点, 直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你的结论. 则 a、 b 的值分别为 . 4.已知 l1 , l2 的斜率都不存在且 l1 , l2 不重合,则两直 线的位置关系 . 5.已知一直线经过两点 A(m, 2), B(?m, 2m ? 1) ,且 直线的倾斜角为 60? ,则 m ? .

复习 2:两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有 何关系?

二、新课导学: ※ 学习探究 问题 1:特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时: (1)当另一条直线的斜率也不存在时, 两直线的倾斜 角为 ,两直线位置关系是 . (2)当另一条直线的斜率为 0 时, 一条直线的倾斜角 为 ,另一条直线的倾斜角为 ,两直线的 位置关系是 .
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例 2 已知 A(1, ?1), B(2, 2), C (3,0) 三点,求点 D 的坐 标,使直线 CD ? AB ,且 CB // AD .

王新敞
学案

问题 2: 斜率存在时两直线的平行与垂直. 设直线 l1 和 l 2 的斜率为 k 1 和 k 2 . ⑴两条直线平行的情形.如果 l1 // l 2 ,那么它们的 倾斜角与斜率是怎么的关系,反过来成立吗?
y

l1 l2

3

?1

宝剑锋从磨砺出
?2
O

梅花香自苦寒来

x

2. l1 ? l2 ? k1 ?k2 ? ?1 或 k1 ? 0 且 l2 的斜率不存在, 或 k2 ? 0 且 l1 的斜率不存在. 变式 :已知 A(5, ?1), B(1,1), C (2,3) ,试判断三角形 ABC 的形状.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ). A.若 l1 ? l2 ,则 k1 ?k2 ? ?1 B.若直线 l1 // l2 ,则两直线的斜率相等 C.若直线 l1 、 l2 的斜率均不存在,则 l1 ? l2 D.若两直线的斜率不相等,则两直线不平行 2. 过点 A(1, 2)和点 B(?3, 2) 的直线与直线 y ? 1 的 位置关系是( ). A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 3. 经过 ( m, 3) 与 (2, m) 的直线 l 与斜率为 ?4 的直线 互助垂直,则 m 值为( ). 7 7 14 14 A. ? B. C. ? D. 5 5 5 5 4. 已 知 三 点 A(a, 2), B(5,1), C (?4, 2a) 在 同 一 直 线 上,则 a 的值为 . 5. 顺次连结 A(?4,3), B(2,5), C (6,3), D(?3,0) , 所组 成的图形是 .

※ 动手试试 练 1. 试确定 m 的值,使过点 A(m,1), B(?1, m) 的直 线与过点 P(1, 2), Q(?5,0) 的直线 ⑴平行; ⑵垂直

课后作业
1. 若已知直线 l1 上的点满足 ax ? 2 y ? 6 ? 0 , 直线 l2 上的点满足 x ? (a ? 1) y ? a2 ? 1 ? 0(a ? 1) ,试求 a 为 何值时,⑴ l1 // l2 ;⑵ l1 ? l2 .

练 2. 已知点 A(3, 4) ,在坐标轴上有一点 B ,若
k AB ? 2 ,求 B 点的坐标.

2. 已知定点 A(?1,3), B(4, 2) ,以 A, B 为直径的端 点,作圆与 x 轴有交点 C ,求交点 C 的坐标.

三、总结提升: ※ 学习小结: 1. l1 // l2 ? k1 ? k2 或 l1 , l2 的斜率都不存在且不重合.
4

§3.2.1 直线的点斜式方程
学习目标
1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适 用范围; 2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方 程; 3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

⑵经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴) 的直线方程是 . ⑶经过点 P0 ( x0 , y0 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴) 的直线方程是 . 问题 4:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的方程.

学习过程
一、课前准备: (预习教材 P101~ P104,找出疑惑之处) 复习 1.已知直线 l1 , l2 都有斜率,如果 l1 // l2 ,则 ; 如果 l1 ? l2 ,则 . 2.若三点 A(3,1), B(?2, k ), C (8,11) 在同一直线上, 则 k 的值为 . 3 .已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1), B(1,0), C (3, 2) ,则第四个顶点 D 的坐标 . 4.直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没 有斜率?

新知 2:直线 l 与 y 轴交点 (0, b) 的纵坐标 b 叫做直 线 l 在 y 轴上的截距(intercept).直线 y ? kx ? b 叫 做直线的斜截式方程. 注意:截距 b 就是函数图象与 y 轴交点的纵坐标. 问题 5:能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜 截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出 什么结论.

※ 典型例题
例 1 直线过点 (?1, 2) , 且倾斜角为 135? , 求直线 l 的 点斜式和斜截式方程,并画出直线 l .

二、新课导学: ※ 学习探究 问题 1:在直线坐标系内确定一条直线,应知道哪 些条件?

新知 1:已知直线 l 经过点 P( x0 , y0 ) ,且斜率为 k , 则方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 为直线的点斜式方程. 问题 2:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的 所有直线呢?

变式:⑴直线过点 (?1, 2) ,且平行于 x 轴的直线方 程 ; ) 且平行于 x 轴的直线方 ⑵ 直 线 过 点 (? 1, 2 , 程 ; ⑶ 直 线 过 点 (?1, 2) , 且 过 原 点 的 直 线 方 程 . 例 2 写出下列直线的斜截式方程,并画出图形: 3 ⑴ 斜率是 ,在 y 轴上的距截是-2; 2 ⑵ 斜角是 1350 ,在 y 轴上的距截是 0
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王新敞
学案

问题 3:⑴ x 轴所在直线的方程是 y 轴所在直线的方程是
5

, .
宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来

1.直线的方程:⑴点斜式 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ;⑵斜截 式 y ? kx ? b ; 这两个公式都只能在斜率存在的前提 下才能使用. 变式:已知直线的方程 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,求直线的斜 率及纵截距.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 过点 (4, ?2) , 倾斜角为 135? 的直线方程是 ( ) . A. 3x ? y ? 2 ? 4 3 ? 0 B. 3x ? 3 y ? 6 ? 4 3 ? 0 C. x ? 3 y ? 2 3 ? 4 ? 0 D . x ? 3 y ? 2 3 ? 4 ? 0 2. 已知直线的方程是 y ? 2 ? ? x ? 1 ,则( ). A.直线经过点 (2, ?1) ,斜率为 ?1 B.直线经过点 (?2, ?1) ,斜率为 1 C.直线经过点 (?1, ?2) ,斜率为 ?1 D.直线经过点 (1, ?2) ,斜率为 ?1 3. 直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 ,当 k 变化时,所有直线 恒过定点( ). (0, 0) A. B. (3,1)C. (1,3) D. (?1, ?3)
2 1 ? 的倾斜角大 2 2 ? 45 , 且直线 l 的纵截距为 3, 则直线的方程 . 5. 已知点 A(1, 2), B (3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线

※ 动手试试 练 1. 求经过点 (1, 2) ,且与直线 y ? 2 x ? 3 平行的直 线方程.

4. 直线 l 的倾斜角比直线 y ?

的方程

.

课后作业
1. 已知三角形的三个顶点 A(?2, 2), B(3, 2), C (3,0) , 求这个三角形的三边所在的直线方程.

练 2. 求直线 y ? 4 x ? 8 与坐标轴所围成的三角形的 面积.

2. 直线 l 过点 P (?2,3) 且与 x 轴、y 轴分别交于 A, B 两点,若 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

三、总结提升: ※ 学习小结
6

§3.2.2 直线的两点式方程
学习目标
1.掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; 2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.

新知 2: 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0) , 与y轴 的交点为 B(0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,则直线 l 的方

学习过程
一、课前准备: (预习教材 P105~ P106,找出疑惑之处) 复习 1:直线过点 (2, ?3) ,斜率是 1,则直线方程 为 ; 直线的倾斜角为 60? , 纵截距为 ?3 ,则直线方程为 . 2.与直线 y ? 2 x ? 1 垂直且过点 (1, 2) 的直线方程为 . 3 .方程 y ? 1 ? ? 3 x ? 3 表示过点 ______ ,斜率 是 ______ ,倾斜角是 ______ ,在 y 轴上的截距是 ______ 的直线.

x y ? ? 1 叫做直线的截距式方程. a b 注意:直线与 x 轴交点( a ,0)的横坐标 a 叫做直 线在 x 轴上的截距;直线与 y 轴交点(0, b )的纵 坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距.
程 问题 3: a , b 表示截距,是不是表示直线与坐标轴 的两个交点到原点的距离?

?

?

问题 4:到目前为止,我们所学过的直线方程的表 达形式有多少种?它们之间有什么关系?

4.已知直线 l 经过两点 P 1 (1, 2), P 2 (3,5) , 求直线 l 的 方程.

※ 典型例题 例 1 求过下列两点的直线的两点式方程, 再化为截 距式方程. ⑴ A(2,1), B(0, ?3) ; ⑵ A(?4, ?5), B(0,0) .

二、新课导学: ※ 学习探究 新知 1:已知直线上两点 P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 且 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 则 通 过 这 两 点 的 直 线 方 程 为
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,由于这个直线方 y2 ? y1 x2 ? x1

程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方 程,简称两点式(two-point form). 问题 1:哪些直线不能用两点式表示?

例 2 已知三角形的三个顶点 A(?5,0), B(3, ?3) , C (0, 2) ,求 BC 边所在直线的方程,以及该边上中 例 已知直线过 A(1,0), B(0, ?2) ,求直线的方程并画 出图象. 线所在直线的方程.

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梅花香自苦寒来

直 线 名 称 点 斜 式 斜 截 式 两 点 式 截 距 式

※ 学习小结
已知条件 直线方程 使用范围

P 1 ( x1 , y1 ), k

y ? y1 ? k ( x ? x1 )
y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

k 存在

1.直线方程的各种形式总结为如下表格: 2. 中点坐标公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB 的 x ?x y ? y1 中点 M ( x, y) ,则 x ? 2 1 , y ? 2 . 2 2

学习评价
k, b
k 存在
x1 ? x2
y1 ? y2

( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 )
a, b

x y ? ?1 a b

a?0 b?0

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: b )在 l 1. 直线 l 过点 (? 1,? 1), (2, 5) 两点,点 (1002, 上,则 b 的值为( ). A.2003 B.2004 C.2005 D.2006 2. 若直线 Ax ? By ? C ? 0 通过第二、三、四象限, 则系数 A, B, C 需满足条件( ) A. A, B, C 同号 B. AC ? 0, BC ? 0 C ? 0, AB ? 0 C. D. A ? 0, BC ? 0 3. 直线 y ? ax ? b ( a ? b ? 0 )的图象是( )
y
y

y

y

-1

O

x

-1

O

x

O

x

O

1

x

※ 动手试试 练 1.求出下列直线的方程,并画出图形. 0 ⑴ 倾斜角为 45 ,在 y 轴上的截距为 0; ⑵ 在 x 轴上的截距为-5,在 y 轴上的截距为 6; ⑶ 在 x 轴上截距是-3,与 y 轴平行; ⑷ 在 y 轴上的截距是 4,与 x 轴平行.

D C A B 4. 在 x 轴上的截距为 2, 在 y 轴上的截距为 ?3 的直 线方程 . y ? 2 x ? 1 5. 直线 关于 x 轴对称的直线方程 ,关于 y 轴对称的直线方程 关于原点对称的方程 .

课后作业
1. 过点 P(2,1)作直线 l 交 x, y 正半轴于 AB 两点, 当 | PA | ? | PB | 取到最小值时,求直线 l 的方程.

2. 已知一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0 , l2 : 3 x ?5 y ? 6 ? 0 截得的线段的中点恰好是坐标原点,求 该直线方程.

三、总结提升:

8

§3.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1.明确直线方程一般式的形式特征; 2.会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率 和截距; 3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.

※ 典型例题
例 1 已知直线经过点 A(6, ?4) ,斜率为 的点斜式和一般式方程.

1 ,求直线 2

学习过程
一、课前准备: (预习教材 P107~ P109,找出疑惑之处) 复习 1:⑴已知直线经过原点和点 (0, 4) ,则直线的 方程 . ⑵在 x 轴上截距为 ?1 , 在 y 轴上的截距为 3 的直线 方程 . ⑶已知点 A(1, 2), B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线 方程是 . 复习 2:平面直角坐标系中的每一条直线都可以用 一个关于 x, y 的二元一次方程表示吗?

例 2 把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截 式,求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴上的截 距,并画出图形.

二、新课导学: ※ 学习探究 新知: 关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A, B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程,简称一般 式(general form) . 注意:直线一般式能表示平面内的任何一条直线 问题 1:直线方程的一般式与其他几种形式的直线 变式:求下列直线的斜率和在 y 轴上的截距,并画 方程相比,它有什么优点? x y 出图形⑴ 3x ? y ? 5 ? 0 ; ⑵ ? ? 1; ⑶ x ? 2y ? 0; 4 5 ⑷ 7 x ? 6 y ? 4 ? 0 ;⑸ 2 y ? 7 ? 0 .
问题 4:在方程 Ax ? By ? C ? 0 中, A, B, C 为何值 时,方程表示的直线⑴平行于 x 轴;⑵平行于 y 轴; ⑶与 x 轴重合;⑷与 y 重合.

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※ 学习小结 1.通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形, 概括出直线方程的一般形式: Ax ? By ? C ? 0 (A、 B 不全为 0) ; 2. 点 ( x0 , y0 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上 ? Ax0 ? By0 ※ 动手试试 练 1.根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一 般式: 1 ⑴ 斜率是 ? ,经过点 A(8, ?2) ; 2 ⑵ 经过点 B(4, 2) ,平行于 x 轴; 3 ⑶ 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 , ?3 ; 2 ⑷ 经过两点 P 1 (3, ?2), P 2 (5, ?4) .
?C ? 0
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学案

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 斜率为 ?3 , 在 x 轴上截距为 2 的直线的一般式方 程是( ). A. 3 x ? y ? 6 ? 0 B. 3x ? y ? 2 ? 0 C. 3 x ? y ? 6 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0 2. 若方程 Ax ? By ? C ? 0 表示一条直线, 则 ( ) . A. A ? 1 B. B ? 0 C. AB ? 0 D. A2 ? B 2 ? 0 3. 已知直线 l1 和 l2 的夹角的平分线为 y ? x , 如果 l1 的方程是 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) ,那么 l2 的方程为 ( ). A. bx ? ay ? c ? 0 B. ax ? by ? c ? 0 C. bx ? ay ? c ? 0 D. bx ? ay ? c ? 0 4. 直线 2 x ? y ? 7 ? 0 在 x 轴上的截距为 a ,在 y 轴 上的截距为 b ,则 a ? b ? . 5. 直线 l1 : 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 l2 : mx ? 3 y ?2 ? 0 平行,则 m ? .

课后作业
1. 菱形的两条对角线长分别等于 8 和 6,并且分别 位于 x 轴和 y 轴上, 求菱形各边所在的直线的方程. 练 2.设 A、B 是 x 轴上的两 点, 点 P 的横坐标为 2, 且| PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 求直 线 PB 的方程

2.光线由点 A(?1, 4) 射出,在直线 l : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 62 上进行反射,已知反射光线过点 B(3, ) ,求反射 13 光线所在直线的方程.

三、总结提升:
10

§3.1 两条直线的交点坐标
学习目标
1.掌握判断两直线相交的方法;会求两直线交点 坐标;? 2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.

※ 典型例题 例 1 求下列两直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标.

学习过程
一、课前准备: (预习教材 P112~ P114,找出疑惑之处) 1.经过点 A(1, ? 2) ,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的 直线 . 2.点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂 直于坐标轴的直线?

变式:判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求 出交点坐标. ⑴ l1 : x ? y ? 0 , l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 ; ⑵ l1 : 3x ? y ? 0 , l2 : 6 x ? 3 y ? 0 ; ⑶ l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 , l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0 .

3.平面直角系中两条直线的位置关系有几种?

二、新课导学: ※ 学习探究 问 题 1 : 已知 两 直线 方程 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ?C2 ? 0 ,如何判断这两条直线的位置 关系?
例 2 求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的 交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程.

问题 2:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交 点坐标与二元一次方程组有什关系?

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宝剑锋从磨砺出

梅花香自苦寒来

变式 :求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程.

1.两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程 ? A x ? B1 y ? C1 ? 0 联立, 得方程组 ? 1 , 若方程组有唯 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 一解,则两直线相交;若方程组有无数组解,则两 直线重合;若方程组无解,则两直线平行. 2.直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标, 能将几何问题转化为代数问题来解决.

例 3 已 知 两 点 A(?2,1), B(4,3) , 求 经 过 两 直 线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和 3x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点和线段 AB 中 点的直线 l 的方程.

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 两直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0, l2 : ? x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点 坐标为( ). 1 3 1 3 1 3 1 3 A. ( , ) B. ( , ? ) C. (? , ? ) D. (? , ) 2 4 2 4 2 4 2 4 2. 两条直线 3x ? 2 y ? n ? 0 和 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的位置 关系是( ). A.平行 B.相交且垂直 C.相交但不垂直 D.与 n 的值有关 3. 与直线 2 x ? 3y ? 6 ? 0 关于点 (1, ?1) 对称的直线 方程是( ). A. 3 x ? 2 y ? 2 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 4. 光线从 M (?2,3) 射到 x 轴上的一点 P(1,0) 后被 x 轴反射,则反射光线所在的直线方程 . 5. 已知点 A(5,8), B(4,1) , 则点 A 关于点 B 的对称点 C 的坐标 .

※ 动手试试 练 1. 求直线 x ? y ? 2 ? 0 关于直线 3x ? y ? 3 ? 0 对 称的直线方程.

课后作业
1. 直 线 5 x ? 4 y ? 2m ? 1 ? 0 与 直 线 2x ? 3 y ? m ? 0 的交点在第四象限,求 m 的取值范围.

练 2. 已知直线 l1 的方程为 Ax ? 3 y ? C ? 0 ,直线 l2 的方程为 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,若 l1 , l2 的交点在 y 轴上, 求 C 的值.

2. 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点, 求证交点不可能在第一象 限及 x 轴上.

三、总结提升: ※ 学习小结
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新知:已知平面上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) , 则
2 2 . PP 1 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

§3.3.2 两点间的距离
学习目标
1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简 单的几何问题. 2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数 形结合的优越性. 3.体会事物之间的内在联系, ,能用代数方法解决 几何问题.

特殊地: P( x, y ) 与原点的距离为 OP ? x2 ? y2 .

※ 典型例题 例 1 已知点 A(8,10), B(?4, 4) 求线段 AB 的长及中 点坐标.

学习过程
一、课前准备: (预习教材 P115~ P116,找出疑惑之处) 1.直线 mx ? y ? m ? 0 ,无论 m 取任意实数,它都 过点 . 变式:已知点 A(?1, 2), B(2, 7) ,在 x 轴上求一点, 使 PA ? PB ,并求 PA 的值. 2. 若直线 l1 : a1 x ? b1 y ? 1 与直线 l2 : a2 x ? b2 y ? 1 的交 点为 (2, ?1) ,则 2a1 ? b1 ? .

3.当 k 为何值时,直线 y ? kx ? 3 过直线 2 x ? y ?1 ? 0 与 y ? x ? 5 的交点?

二、新课导学: ※ 学习探究 问题 1: 已知数轴上两点 A, B , 怎么求 A, B 的距离?

例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.

问题 2 :怎么求坐标平面上 A, B 两点的距离?及 A, B 的中点坐标?
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梅花香自苦寒来

三、总结提升: ※ 学习小结 1.坐标法的步骤:①建立适当的平面直角坐标系, 用坐标表示有关的量;②进行有关的代数运算;③ 把代数运算结果“翻译”成几何关系.
变式:证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的 距离相等.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 两点 A(?1,3), B(2,5) 之间的距离为( ).
A. 2 3 B. 13 C. 11 D. 3 2. 以点 A(?3,0), B(3, ?2), C (?1, 2) 为顶点的三角形是 ( )三角形. A.等腰 B.等边 C.直角 D.以上都不是 3. 直线 a x +2 y +8=0, 4 x +3 y =10 和 2 x - y =10 相交于一点,则 a 的值( ). A. ?2 B. 2 C. 1 D. ?1 4. 已知点 A(?1, 2), B(2, 7) ,在 x 轴上存在一点 P , 使 PA ? PB ,则 PA ? . 5. 光线从点 M(-2,3)射到 x 轴上一点 P(1,0) 后被 x 轴反射,则反射光线所在的直线的方程 .

※ 动手试试 练 1.已知点 A(1, 2), B(3, 4), C (5,0) ,求证: ?ABC 是 等腰三角形.

课后作业
1. 经过直线 y ? 2 x ? 3 和 3x ? y ? 2 ? 0 3 的交点, 且 垂直于第一条直线.

练 2.已知点 A(4,12) , 在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离 等于 13,求点 P 的坐标.

2. 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 :

x ? y ? a ? 0 相交于一点,求证交点不可能在第一 象限及 x 轴上.

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. A2 ? B 2 注意:⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一 点的连线的最短距离; ⑵在运用公式时,直线的方程要先化为一般式.

d?

Ax0 ? By0 ? C

§3.3 点到直线的距离及两平行线距离
学习目标
1.理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到 直线的距离公式;?? 2.会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3.认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观 点看问题
新疆

问题 2:在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的 坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线方程 l : Ax ? By ? C ? 0 中, 如果 A ? 0 ,或 B ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方 程直接求点 P 到直线 l 的距离呢并画出图形来.

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

学习过程
一、课前准备: (预习教材 P117~ P119,找出疑惑之处) 复习 1.已知平面上两点 A(0,3), B(?2,1) ,则 AB 的 中点坐标为 , AB 间的长度 为 .

例 分别求出点 A(0, 2), B(?1,0) 到直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 的距离.

复习 2.在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的 坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线 l 的方程是 l : Ax ? By ? C ? 0 , 怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?

问题 3: 求两平行线 l1 :2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,l2 :2 x ? 3 y ?1 ? 0 的距离.

新知 2: 已知两条平行线直线 l1 Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 :
A2 ? B 2 注意:应用此公式应注意如下两点: (1)把直线方 程化为一般式方程; (2)使 x, y 的系数相等.
Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为 d ?

C1 ? C2
新疆

王新敞
学案

二、新课导学: ※ 学习探究 新知 1:已知点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 则 点 P 到 直 线 l 的 距 离 为 :
15 宝剑锋从磨砺出

※ 典型例题 例 1 已知点 A(1,3), B(3,1), C (?1,0) ,求三角形 ABC 的面积.
梅花香自苦寒来

三、总结提升: ※ 学习小结 1.点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离 公式,能把求两平行线的距离转化为点到直线的距 离公式
新疆 新疆

王新敞 王新敞
学案 学案

例 2 求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l2 : 4 x ? 6 y ?1 ? 0 的距离.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 动手试试
2 练 1. 求过点 A(?1, 2) ,且到原点的距离等于 的 2 直线方程.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 求点 P(?5,7) 到直线 12 x ? 5 y ? 3 ? 0 的距离 ( ) 14 28 A. 1 B. 0 C. D. 13 13 2. 过点 (1,2) 且与原点距离最大的直线方程是 ( ) . A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0 D. 3x ? y ? 5 ? 0 3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ). A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 0 4. 两条平行线 3 x -2 y -1=0 和 3x-2 y +1=0 的距离 5. 在坐标平面内,与点 A(1, 2) 距离为 1 ,且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有 条.
新疆

王新敞
学案

课后作业
1.已知正方形的中心为 G(?1,0) ,一边所在直线的 方程为 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,求其他三边所在的直线方程.

练 2.求与直线 l : 5 x ? 12 y ? 6 ? 0 平行且到 l 的距离 为 2 的直线方程. 2.A, B 两个厂距一条河分别为 400 m 和 100 m ,A, B 两厂之间距离 500 m ,把小河看作一条直线,今在 小河边上建一座提水站,供 A, B 两厂用水,要使提 水站到 A, B 两厂铺设的水管长度之和最短,问提水 站应建在什么地方?

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§3.3.3 章未复习提高
学习目标
1. 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式; 2. 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化,以 及直线方程知识的灵活运用; 3. 掌握两直线位置关系的判定,点到直线的距离 公式及其公式的运用.

例 2 已知在第一象限的 ?ABC 中, A(1,1), B(5,1) ,
?A ? 60O , ?B ? 45O .求 ⑴ AB 边的方程; ⑵ AC 和 BC 所在直线的方程.

学习过程
一、课前准备: 复习知识点: 一.直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角的定义 倾斜角 ? 的范围 斜率公式 k ? ,或 二.直线的方程 1. 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 2. 斜截式: y ? kx ? b y ? y1 x ? x1 ? 3. 两点式: y2 ? y1 x2 ? x1 x y 4. 截距式: ? ? 1 a b 5. 一般式: Ax ? By ? C ? 0 三.两直线的位置关系 1. 两直线平行 2. 两直线相交.⑴两直线垂直,⑵两直线相交 3. 两直线重合 四.距离 1. 两点之间的距离公式 2. 点线之间的距离公式 3. 两平行直线之间的距离公式

, , . 例 3 求经过直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 和 2 x ? 5 y ? 7 ? 0 的 交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

, , . 例 4 已知两直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0 , l2 : (a ? 1) x ? y ?b ? 0 ,求分别满足下列条件的 a , b 的值. ⑴直线 l1 过点 (?3, ?1) ,并且直线 l1 与直线 l2 垂直; ⑵直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1 , l2 的距 离相等.
梅花香自苦寒来

二、新课导学: ※ 典例分析 例 1 如图菱形 ABCD 的 ?BAD ? 60O ,求菱形各边 和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

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宝剑锋从磨砺出

三、总结提升: ※ 学习小结
1.理解直线的倾斜角和斜率的要领,掌握过两点 的斜率公式;掌握由一点和斜率写出直线方程的方 法,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式, 并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.掌握两条直线平行和垂直的条件,点到直线的 距离公式;能够根据直线方程判断两直线的位置关 系. 例 5 过点 P(4, 2) 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正半轴 于 A, B 两点,当 ?AOB 面积最小时,求直线 l 的方 程.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

课后作业
1. 点 (3,9) 关于直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 对称的点的坐标 是( ). A. (?1, ?3) B. (17, ?9) C. ( ?1,3) D. (?17,9) ( a ? 1) x ? y ? 2 a ? 1 ? 0( a ? R) 所表示的直线 2.方程 ( ). A.恒过定点 (?2,3) B.恒过定点 (2,3) C.恒过点 (?2,3) 和 (2,3) D.都是平行直线 3.已知点 (3, m ) 到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的距离等于 1,则 m ? ( ). 3 3 A. 3 B. ? 3 C. ? D. 3 或 ? 3 3 4.已知 P(3, a) 在过 M (2, ?1) 和 N (?3, 4) 的直线上, 则a? . 5. 将直线 y ? ? 3( x ? 2) 绕点 (2, 0) 按顺时针方向 旋转 30o ,所得的直线方程是 .

※ 动手试试 练 1. 设直线 l 的方程为 (m ? 2) x ? 3 y ? m ,根据下 列条件分别求 m 的值. ⑴ l 在 x 轴上的截距为 ?2 ; ⑵斜率为 ?1 .

课后作业
练 2. 已知直线 l 经过点 (?2, 2) 且与两坐标轴围成单 位面积的三角形,求该直线的方程. 1.已知直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 ? 0, l2 : ax ? y ? 1 ?a ?0. ⑴若 l1 // l2 ,试求 a 的值; ⑵若 l1 ? l2 ,试求 a 的值

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2.两平行直线 l1 , l2 分别过点 P 1 (1,0) 和 P(0,5) , ⑴若 l1 与 l2 的距离为 5,求两直线的方程; ⑵设 l1 与 l2 之间的距离是 d ,求 d 的取值范围.

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宝剑锋从磨砺出

梅花香自苦寒来



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