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二次函数y=ax2+bx+c的图象与其系数a、b、c的符号的关系


二次函数的图象与其系数符号的关系 厦门市湖里中学
一、教学目标 知识与技能

教学设计 林艺菁

使学生理解并掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与系数 a、b、c,△,及与系数有关的代数 式的符号之间的关系;能根据二次函数 y=ax2+bx+c 的图象确定其系数 a、b、c,△及与 a, b,c 有关的代数式的符号。 过程与方法 通过观察二次函数 y=ax2+bx+c 的图象, 使学生经历二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与系数 a、 b、c 符号之间的关系的探索过程,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力。 情感、态度、价值观 渗透数形结合和分类讨论的数学思想,培养学生良好的学习习惯。 二、学情分析 大部分学生不能熟练的根据二次函数 y=ax2+bx+c 的图象准确的判断其系数 a、 b、 c 的符号。 三、教学重点难点 重点 理解并掌握:①a 的符号由抛物线的开口方向确定;②b 的符号由对称轴的位置确定及 a 的 符号共同决定;③c 的符号由抛物线与 y 轴的交点位置确定;④△的符号由抛物线与 X 轴交 点个数决定;⑤a+b+c 的符号由 x=1 时抛物线上的点的位置确定;⑥a-b+c 的符号由 x=-1 时抛物线上的点的位置确定; 难点 ①理解并掌握 b 的符号由对称轴的位置确定; ②a+b+c 的符号由 x=1 时抛物线上的点的位置确定; ③a-b+c 的符号由 x=-1 时抛物线上的点的位置确定。 四、教学过程

1.回顾知识要点: ①抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向与什么有关? ②抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是___________, ③抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是 ④抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴的交点坐标是 二次函数 y=ax2+bx+c 中,a 为二次项的系数、b 为一次项的系数、c 为常数项,且它们均 为常数,在决定二次函数在平面直角坐标系位置的关键要素 2.知识点一:基本符号的判断 (1)a 的符号: ①开口向上 a>0 ②开口向下 a<0 ,

结论:a 的符号由抛物线的开口方向决定。 (2)b 的符号: 抛物线的对称轴为:直线 x= -b/2a. ①对称轴在 y 轴左侧 ②对称轴在 y 轴右侧 ③对称轴是 y 轴 a、b 同号; a、b 异号; b=0。

结论:b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号共同确定。简记为:“左同右异”。 (3)c 的符号: 抛物线与 y 轴的交点坐标:(0,c) ①当抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上时 ②当抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴上时 C >0 ; C <0 ;

③当抛物线与 y 轴的交点为原点时

C=0。

结论:c 的符号由抛物线与 y 轴的交点位置确定。 (4)△=b2-4ac 的符号: ①与 x 轴没有交点? △=b2-4ac<0 ②与 x 轴只有一个交点? △=b2-4ac=0 ③与 x 轴有两个交点? △=b2-4ac>0 结论:△=b2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴的交点个数确定。 3.知识点一的应用 (1)例题:抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示, 试确定 a、b、c、△的符号

(2)快速回答:抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示,试确定 a、b、c、△的符号

(3)练一练: ①如图,满足 b﹤0,c﹤0 的 y=ax2+bx+c(a≠0) 大致图 象是( )

解析:由数定形,根据 b,c 的符号确定抛物线在平面直角坐标系的位置 ②若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限,则二次函数 y = ax2 + bx - 3 的 大致图象是( )

解析:先由形定数,再由数定形 ③已知:一次函数 y=ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c,它们在同一坐标系中的大致图象是图中 的( )

(4)想一想:抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的条件是什么?

变式:不论 x 取何值时,函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的值永远是正值的条件是什么? 练一练:不论 x 取何值时,函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非负数的条件是什么?

4.知识点二: a+b+c 和 a-b+c 符号判断 (1)a+b+c 的符号 :由 x=1 时抛物线上的点的位置确定 点在 x 轴上方? a+b+c>0 点在 x 轴下方? a+b+c<0 点在 x 轴上? a+b+c=0 (2)a-b+c 的符号 :由 x=-1 时抛物线上的点的位置确定 点在 x 轴上方? a-b+c>0 点在 x 轴下方? a-b+c<0 点在 x 轴上? a-b+c=0 思考:9a+3b+c,4a-2b+c 的符号如何确定? (3)练一练: 已知:二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列结论中: ①a+b+c>0;② 4a-2b+c>0;③ a-b+c>0; ④ 9a+3b+c>0,其中正确的个数是( A.4 个 B.3 个 ) C.2 个 D.1 个

5.小结:本节课你有哪些收获? a b c 开口方向和大小 对称轴与 y 轴比较 与 y 轴交点 左侧 ab 同号;右侧 ab 异号

b2-4ac a+b+c a-b+c

与 x 轴交点个数 令 x=1,看纵坐标 令 x=-1,看纵坐标

利用以上知识主要解决以下几方面问题: (1)由抛物线的位置确定系数 a,b,c,?符号及有关 a,b,c 的代数式的符号;由形定数 (2)由 a,b,c,?等的符号确定抛物线在坐标系中的大 致位置;由数定形 6.作业:校本作业《二次函数图像及其系数符号的关系》 选做:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所示,那么下列判断正确的有( ①abc>0; ②b -4ac<0;③2a+b>0;
2



④a+b+c<0;⑤a-b+c>0; ⑥4a+2b+c>0;



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