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2.2.3向量数乘运算及其几何意义(第1课时)



平面向量的线性运算
——向量数乘运算

已知非零向量a , 作出a ? a ? a和( ?a ) ? ( ?a ) ? ( ?a ), 你能说明它们的几何意义吗?
a a O A a B a C -a -a -a

N

M

Q

P

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ?a 记作 3a

PN ? PQ ? QM ? MN ? ( ?a ) ? ( ?a ) ? ( ?a ) 记作 ? 3a

3a与a的方向相同 3a ? 3 a

? 3a与a的方向相反 ? 3a ? 3 a

向量的数乘运算的定义
实数?与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘. 记作? a,它的长度和方向规定如下: (1) ? a ? ? a ;

你能说出向量 ( 2)当? ? 0时,? a的方向与a的方向相同; 数乘运算的几 何意义吗? 当? ? 0时,? a的方向与a的方向相反;
当? ? 0时,? a ? 0.
几何意义: (1) ? 可视为将向量a的长度 a 伸长或缩短; ( 2)?的符号表示是否改变向 量a的方向.

数乘向量运算律
推广出数乘向量的运算律 .

思考: (1)3( 2a )和6a有什么关系? ( 2)2a ? 2b与2 a ? b 呢?

? ?

? ,?是实数,

数乘结合律 第一分配律 第二分配律

(1)? ( ? a ) ? ( ?? )a; ( 2)(? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b.

1.如何证明? 2.如何解释运算 律的几何意义, 尤其是(3)?

向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
对于任意向量a , b,以及任意实数? , ?1 , ? 2, 恒有?(?1 a ? ? 2 b) ? ??1 a ? ?? 2 b

概念辨析 1.已知a, b是两个非零向量 , 下列说法正确的有_____.
2 (1) ? 2a的方向与5a的方向相反,且? 2a的模是5a的模的 ; 5 (2)a ? b与 ? (b ? a)是一对相反向量; (3)若a, b不共线,则? a(? ? 0)与b不共线; 2.下列说法正确的个数是 _______ (1)若? a ? 0,则? ? 0; (2)若? ? 0,则? a ? 0; (3)若非零向量a, b满足 a ? b ? a ? b , ?? ? 0, 则? a与? b同向; (4)对于实数m和向量a, b,若ma ? mb, 则a ? b; (5)对于实数m, n和向量a,若ma ? na, 则m ? n; (6) ? a ? ? a; (7)? ( ? ? a) ? ?? ? ? a.

线性运算练习
1.[课本例题]计算: (1)(?3) ? 4a; (2)3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a; (3)(2a ? 3b ? c) ? (3a ? 2b ? c)

2、完成课本90页练习2~5 3、完成课本91页习题2.2A组9,10

4.[课本例题]如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 AB ? a, AD ? b,用a, b表示MA, MB, MC, MD.

5、完成课本91页练习11-13



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