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第5节 三角恒等变换



第 5 节 三角恒等变换

基础梳理

考点突破

基础梳理

抓主干

固双基

知识整合
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)两角和与差的余弦公式 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β , c

os(α -β )=cos α cos β +sin α sin β . (2)两角和与差的正弦公式 sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β , sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β .

(3)两角和与差的正切公式

tan ? ? tan ? ? π ? tan(α +β )= ? ? , ? , ? ? ? ? ? kπ, k ? Z ? , 1 ? tan ? tan ? ? 2 ? tan ? ? tan ? ? π ? tan(α -β )= ? ? , ? , ? ? ? ? ? kπ, k ? Z ? . 1 ? tan ? tan ? ? 2 ?

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)二倍角的正弦公式 sin 2α =2sin α cos α . (2)二倍角的余弦公式 2 2 2 2 cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α . (3)二倍角的正切公式
2tan ? tan 2α = . 2 1 ? tan ?

3.公式的常见变式
(1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ).

? 1 ? cos? 1 ? cos 2? (2)sin α = ,sin =± ; 2 2 2
2

? 1 ? cos? 1 ? cos 2? cos α = ,cos =± ; 2 2 2
2

1 ? cos? ? sin ? 1 ? cos ? tan =± = = . 2 sin ? 1 ? cos? 1 ? cos ?

4.形如 asin x+bcos x 的式子的化简
asin x+bcosx= a2 ? b2 sin(x+ ? ) (其中 sin

?=

b a 2 ? b2

,cos

?=

a a 2 ? b2

).

双基自测
1.化简 cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值 为( A )

1 (A) 2

3 (B) 2

1 (C)2

3 (D)2

解析:cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°= cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°=

1 cos(15°+45°)=cos 60°= .故选 A. 2

3 ? 2.(2013 年高考江西卷)若 sin = , 2 3
则 cos α 等于( C )

2 (A)3

1 (B)3
2

1 (C) 3

2 (D) 3

? 1 解析:cos α=1-2sin = .故选 C. 2 3

3.(2013 太原五中模拟)已知函数 f(x)=2 2 sin xcos x,为了得到函 数 g(x)=sin 2x+cos 2x 的图象,只需要将 y=f(x)的图象( D )

π π (A)向右平移 个单位长度(B)向左平移 个单位长度 4 4

π π (C)向右平移 个单位长度(D)向左平移 个单位长度 8 8
π π 解析:f(x)= 2 sin 2x,g(x)= 2 sin(2x+ )= 2 sin 2(x+ ), 4 8

π ∴为了得到 g(x)的图象,只需将 f(x)的图象向左平移 个单位长度. 8
故选 D.

cos ? ? sin ? 4.已知α 、β 均为锐角,且 tan β = ,则 tan(α +β ) cos ? ? sin ?

=

.

1 ? tan ? ?π ? 解析:tan β= =tan ? ? ? ? . 1 ? tan ? ?4 ?

π ∵α、β均为锐角,∴β= -α, 4 π ∴α+β= ,∴tan(α+β)=1. 4

答案:1

考点突破
考点一

剖典例

知规律

三角函数式的化简、求值
10 .则 10

【例 1】 若α 是第二象限角,sin(π -α )=

2sin 2

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 8cos 2

?
2

?5

π? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

=

.

思维导引:对分子进行降幂,对分母展开,然后由已知条件求出 tan α 的值代入计算.

解析:由 sin(π-α)=

10 10 得 sin α= , 10 10

3 10 1 又α是第二象限角,∴cos α=,tan α=- . 3 10
2sin 2

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 8cos 2

?
2

?5

π? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ? ? 8sin

=

2sin

2

?
2

?
2

cos

?
2

? 2cos

2

?
2

? 6cos

2

?
2

?5

π π? ? 2 ? sin ? cos ? cos ? sin ? 4 4? ?

=

1 ? cos ? 2 ? 4sin ? ? 6cos ? 5 4sin ? ? 6 ? ?3 2 2 = = sin ? ? cos ? sin ? ? cos?
2

?

4 ? ?3 4sin ? ? 3cos ? 4 tan ? ? 3 = = 3 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ?1 3
5 =- . 4 5 答案:4

反思归纳

三角函数式的化简常用方法:

(1)善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰 当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数. (2)统一函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公 式等实现名称的统一. (3)利用公式,消去或约去一些非特殊角的三角函数.

sin 47 ? sin17 cos30 即时突破 1 (2012 年高考重庆卷) 等于 cos17

(

)
1 (B)2 1 (C) 2

3 (A)2

(D)

3 2

解析:原式=

sin ?17 ? 30 ? ? sin17 cos30 cos17

1 sin17 cos30 ? cos17 sin30 ? sin17 cos30 = =sin 30°= . 2 cos17

故选 C.

考点二 三角函数的给值求值问题
π ?? 1 ? 【例 2】 已知 0<β < <α <π ,且 cos ? ? ? ? =- , 2 2? 9 ?

?? ? 2 sin ? ? ? ? = ,求 cos(α +β )的值. ?2 ? 3
思维导引:

? ??
2 2

? ? =(α- )-( -β)利用两角和差的余弦公 2 2
,再利用二倍角公式求出 cos(α+β)的值.

式求出 cos

? ??

π 解:∵0<β < <α <π , 2 π ? π π ? ∴- < -β < , <α - <π , 4 2 2 4 2
5 ? ?? ? 2 ?? ∴cos ? ? ? ? = 1 ? sin ? ? ? ? = , ?2 ? 3 ?2 ?

?? 4 5 ?? ? 2 ? sin ? ? ? ? = 1 ? cos ? ? ? ? = , 9 2? 2? ? ?

∴cos

? ??
2

?? ? ? ?? ?? =cos ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2? ?2 ?? ??

?? ?? ? ?? ? ? ?? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? +sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? 2? 2? ? ?2 ? ? ?2 ?
5 4 5 2 7 5 ? 1? =?? ? ? + ? = , 3 9 3 27 ? 9? 49 ? 5 239 2 ? ? ? ∴cos(α +β )=2cos -1=2? -1=. 2 729 729

反思归纳

三角函数的给值求值,关键是把待求

角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和 或差; (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍” 的关系或“互余互补”关系.

π 即时突破 2 (2013 年高考广东卷)已知函数 f(x)= 2 cos(x- ), 12

x∈R.
?π? (1) 求 f ? ? 的值; ?3? π? 3 ? 3π ? ? (2) 若 cos θ = ,θ ∈ ? , 2π ? ,求 f ? ? ? ? . 5 6? ? 2 ? ?
π 2 ?π? ?π π ? 解:(1)f ? ? = 2 cos ? ? ? = 2 cos = 2 ? =1. 4 2 ?3? ? 3 12 ?

3 ? 3π ? (2)∵cos θ= ,θ∈ ? , 2π ? , 5 ? 2 ?
2 4 1 ? cos ? ∴sin θ<0,sin θ==- ,

5

π? π π? π ? ? 故 f ? ? ? ? = 2 cos ?? ? ? ? = 2 cos(θ- ) 4 6? 6 12 ? ? ?
π π? 2 2 ? 2 = 2 ? cos? cos ? sin ? sin ? = (cos θ× +sin θ× ) 4 4? 2 2 ?
3 4 1 =cos θ+sin θ= - =- . 5 5 5

考点三 三角函数的给值求角
5 10 【例 3】 已知 A、B 均为钝角且 sin A= ,sin B= , 5 10

求 A+B 的值. 思维导引:由于已知 A、B 的正弦函数值,故可求 A+B 的正 弦或余弦值,但考虑到 A、 B 均为钝角,从而 A+B∈(π,2π), 故选择余弦函数较好.
5 10 解:∵A、B 均为钝角且 sin A= ,sin B= , 5 10

2 2 5 ∴cos A=- 1 ? sin A ==, 5 5
2

cos B=- 1 ? sin 2 B =-

3 10 3 =, 10 10

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=

5 10 2 5 ? 3 10 ? 2 ? ×? × = ,① ? ? ? 10 5 2 ? 10 ? 5
又∵
π π <A<π, <B<π, 2 2

∴π<A+B<2π,
7π 由①②得,A+B= . 4



3 1 ? tan 2? ? tan ? ∴tan(2α-β)= = 4 7 =1. 3 1 1 ? tan 2? tan ? 1? ? 4 7
1 π ∵tan β=- <0,∴ <β<π,-π<2α-β<0, 7 2 3π ∴2α-β=- . 4

反思归纳
的角.

(1)解决给值求角问题的一般步骤是:①求角的

某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出要求 (2)在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函 数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数. ①已知正切函数值,选正切函数; ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是

? π? ? 0, ? ,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数 ? 2?

? π π? 较好;若角的范围为 ? ? , ? ,选正弦函数较好. ? 2 2?

即时突破 3 已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,向量 m=
(-1, 3 ),n=(cos A,sin A),且 m?n=1. (1)求角 A;
1 ? sin 2 B (2)若 =2+ 3 ,求角 B. 2 2 cos B ? sin B

解:(1)∵m?n=(-1, 3 )?(cos A,sin A) = 3 sin A-cos A

π =2sin(A- )=1, 6

π 1 ∴sin(A- )= . 2 6
又∵0<A<π,

π π 5π ∴- <A- < , 6 6 6 π π π ∴A- = ,∴A= . 6 6 3

1 ? sin 2 B (2)∵ =2+ 3 , 2 2 cos B ? sin B

? sin B ? cos B ? ∴ =2+ ? cos B ? sin B ?? cos B ? sin B ?
2

3,



cos B ? sin B =2+ 3 , cos B ? sin B

3 tan B ? 1 ∴ =2+ 3 ,∴tan B= . 1 ? tan B 3

π 又 0<B<π,∴B= . 6

考点四 三角恒等变形的综合应用
【例 4】 (2014 广东湛江一中等“十校”联考)设 f(x)=6cos2x- 3 sin 2x, (1)求 f(x)的最小正周期、 最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合;
4? (2)若锐角α 满足 f(α )=3-2 3 ,求 tan 的值. 5

思维导引:(1)将函数化为 f(x)=Asin(ωx+ ? )+b 或 f(x)=Acos(ωx+ ? )+b 的形式再研究性质;(2)由条件求出α角,
4a 进而求 tan 的值. 5

1 ? cos 2 x 解:(1)f(x)=6? - 3 sin 2x=3cos 2x- 3 sin 2x+3 2

3 1 π =2 3 ( cos 2x- sin 2x)+3=2 3 cos(2x+ )+3. 2 6 2
2π 函数 f(x)的最小正周期 T= =π.函数 f(x)的最大值为 2 3 +3, 2

π π 此时 2x+ =2kπ,x=kπ- ,k∈Z, 6 12

? ? π 即 x 的集合为 ? x x ? kπ- , k ? Z? . 12 ? ?

π (2)由 f(α)=3-2 3 得 2 3 cos(2α+ )+3=3-2 3 , 6 π 故 cos(2α+ )=-1, 6 π π π 7π π 又由 0<α< 得 <2α+ < ,故 2α+ =π, 2 6 6 6 6 5 4a π 解得α= π.从而 tan =tan = 3 . 5 12 3

即时突破 4 (2013 马鞍山质检)设函数 f(x)=sin x(sin x
+cos x). (1)求 f(x)的最大值及相应 x 的值; (2)在锐角三角形 ABC 中,若 f(A)=1,求 sin(2B+C)的取值 范围. 解:(1)由题知 f(x)=sin x(sin x+cos x) 2 =sin x+sin xcos x
1 1 = (1-cos 2x)+ sin 2x 2 2
π 1 2 = sin(2x- )+ . 4 2 2

π π 所以当 2x- =2kπ+ (k∈Z), 4 2
3π 1? 2 即 x=kπ+ (k∈Z)时,f(x)max= . 8 2 π 1 2 (2)由 f(A)=1,得 sin(2A- )+ =1, 4 2 2 π 2 即 sin(2A- )= , 4 2

π π π 3π π π 故 2A- = 或 2A- = ,得 A= 或 A= . 4 4 4 4 4 2

π 因为 A 为锐角,所以 A= .sin(2B+C)=sin(B+B+C) 4 3π 3π =sin(B+π-A)=sin(B+ ).因为 B+C= , 4 4 3π π π π π 3π 5π 所以 C= -B< ,则 B> ,从而 <B< ,故π<B+ < . 4 2 4 4 2 4 4
3π 2 故 sin(B+ )∈(,0), 4 2

2 即 sin(2B+C)的取值范围为(,0). 2

备选例题
【例 1】 (2012 年高考广东卷)已知函数 f(x)=

π 2cos(ω x+ )(其中ω >0,x∈R)的最小正周期为 10π . 6
(1)求ω 的值;

π 5π 6 5π (2)设α ,β ∈[0, ],f(5α + )=- ,f(5β ) 2 3 6 5

16 = ,求 cos(α +β )的值. 17

1 解:(1)∵T=10π= ,∴ω= . ? 5 1 π (2)由(1)得 f(x)=2cos( x+ ), 5 6 6 5π 1 5π π ∵- =f(5α+ )=2cos[ (5α+ )+ ] 3 3 6 5 5
π =2cos(α+ ) 2
=-2sin α,



3 ∴sin α= . 5
π 又α∈[0, ], 2

4 ∴cos α= . 5 16 5π 1 5π π ∵ =f(5β)=2cos[ (5β)+ ] 6 6 6 17 5
=2cos β,

8 ∴cos β= . 17
π 又β∈[0, ], 2

15 ∴sin β= . 17
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

4 8 3 15 13 = ? - ? =. 5 17 5 17 85

π π 【例 2】 已知 0<α < ,0<β < ,且 3sin β =sin(2α +β ), 4 4

? π 2? 4tan =1-tan ,证明:α +β = . 2 2 4
证明:∵3sin β=sin(2α+β), 即 3sin(α+β-α)=sin(α+β+α), ∴3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α, ∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α, ∴tan(α+β)=2tan α.

? 2 ? 又∵4tan =1-tan , 2 2
1 2 ∴tan α= = . 2 2 ? 1 ? tan 2
∴tan(α+β)=2tan α=1.

2 tan

?

π π ∵α+β∈(0, ),∴α+β= . 2 4

阅卷评析 三角恒等变换在研究三角函数性质中的应用
【典例】 (12 分)(2013 年高考安徽卷,理 16)已知函数
π f(x)=4cos ω x?sin(ω x+ )(ω >0)的最小正周期为π . 4

(1)求ω 的值;
? π? (2)讨论 f(x)在区间 ?0, ? 上的单调性. ? 2?

满分展示:
π π 解:(1)f(x)=4cos ωx[sin ωx?cos +cos ωxsin ] 4 4

=4cos ωx[

2 2 sin ωx+ cos ωx] 2 2

2 =2 2 sin ωxcos ωx+2 2 cos ωx

= 2 sin 2ωx+ 2 (cos 2ωx+1) = 2 sin 2ωx+ 2 cos 2ωx+ 2
π =2sin(2ωx+ )+ 2 ……………………………………4 分 4

2π 因 f(x)的最小正周期为π且ω>0,故 =π,则ω=1.…6 分 2?

π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ )+ 2 . 4 π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ .………………………8 分 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8

π π 5π π π 当 <2x+ ≤ ,即 <x≤ 时,f(x)单调递 2 4 4 8 2

减.…………………………………………10 分
π 综上可知,f(x)在区间[0, ]上单调递增,在区间 8 π π ( , ]上单调递减.………………………12 分 8 2

答题模板 第一步:将 f(x)化为 Asin(ω x+ 的形式; 第二步:求ω; 第三步:求ωx+ 的范围; 第四步:讨论单调性

失分警示 (1)不能正确运用公式将 f(x) 化成一个角的三角函数; (2)忽略了函数的定义域,没 有求出整体角(ωx+

? )+k

?

? )的取

值范围,从而得出错误的结论

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