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湖南省长沙市名校联盟2015-2016学年高二上学期开学分班数学试题



长沙市名校联盟 2015—2016—1 高二年级开学分班统一考试试卷 数 命题:长郡中学高二数学备课组 学 审题:师大附中高二数学备课组

本试包括三个大题,共 4 页,总分 150 分,考试时量 120 分钟。 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 设 f ( x) ? ? A. 0
x ?1 ? ?2e , x<2, 则f ( f (

2))的值为 2 ? ?log 3 ( x ? 1),x ? 2.





B. 1

C. 2

D. 3

2.从 1,2,3,4 这 4 个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概率是( A.



1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2
( )

3. 过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是 A. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

4.若 cos θ >0,且 sin2θ <0,则角 θ 的终边在 ( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( D. 56 )

A.第一象限

5. 已知等差数列{an}满足 a5 ? a6 =28,则其前 10 项之和为 A. 140 B. 280 C. 168

6. 对某班学生一次英语测试的成绩分析,各分数段的分布如下图(分数取整数) ,由此,估 计这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 ( )

A.92%

B.24%

C.56%

D.76%

7. 如图,三棱柱 A1B1C1—ABC 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是

BC 中点,则下列叙述正确的是
A. CC1 与 B1E 是异面直线 B. AC⊥平面 A1B1BA





C. AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 D. A1C1∥平面 AB1E 8.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列, 则 b2(a2-a1)= A.8 B.-8 C. ±8 D. 7 ( B.f(x)=lg x ,g(x)=2lg x
1 · x- 1 ,g(x)= x2- D.f(x)= x+ 1
2





9.下列四组函数中,表示同一函数的是 A.f(x)=|x|,g(x)= x2
2 C.f(x)= x -1 ,g(x)=x+1



x-1

10. 设 D、 E、 F 分别是△ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 且 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC A.互相垂直 直

????

? ??? ? ???

??? ? ??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ?

??? ?
B.同向平行



) C.反向平行 D.既不平行也不垂

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 若 tan ?

?

sin ? ? cos ? 1 ,则 2 sin ? ? 3 cos ? 2
2 2

=

.

12. 设两个方程 x ? ax ? 1 ? 0 、 x ? bx ? 1 ? 0 的四个根组成以 2 为公比的等比数列,则

ab ?

. .

2 2 13. 由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1引切线, 则切线长的最小值为

14.右图给出的是计算 是 .

开始 1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件 2 4 6 20 s:=0 i:=1

15. 设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、 ∈P(除

a b

s :? s ?
i : = i+1
否 是

数 b≠0)则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命题: ①数域必含有 0,1 两个数; ②整数集是数域;

1 2i

输出 s

③若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域; 其中正确的命题的序号是

④数域必为无限集.

.(填上你认为正确的命题的序号)

三、解答题(共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ?x? ? 2 3 cos2 x ? sin 2x ? 3 ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 的单调增区间; (Ⅲ)若 x ? [ ?

?

? ]时,求 f ? x ? 的值域. 4 4
,

17. (本小题满分 12 分) 某校高一(2)班共有 60 名同学参加期末考试,现将其数学学科成绩(均为整数)分成六个 分数段 ?40,50? , ?50,60? ,?,[90,100] ,画出如下图所示的部分频率分布直方图,请观察图形信息, 回答下列问题: (1)求 70~80 分数段的学生人数; (2)估计这次考试中该学科的优分率(80 分及以上为优分) 、中位数、平均值; (3)现根据本次考试分数分成下列六段(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、?、第 六组)为提高本班数学整体成绩,决定组与组之间进行帮扶学习.若选出的两组分数之差大 于 30 分(以分数段为依据,不以具体学生分数为依据) ,则称这两组为“最佳组合”,试求 选出的两组为“最佳组合”的概率.

频率 组距

0.025 0.015 0.010 0.005

40 50 60 70 80 90 100 数



18. (本小题满分 12 分) 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,设 E 是棱 CC1 的中点. (1)求证: BD ? AE ; (2)求证: AC // 平面 B1DE ; (3)求三棱锥 A ? B1DE 的体积.

19.(本小题满分 13 分) 函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0)在 x∈(0,7π )内取到一个最大值和一个最小值,且当 x= π 时,y 有最大值 3,当 x=6π 时,y 有最小值-3. (1)求此函数解析式; (2)写出该函数的单调递增区间; (3) 是否存在实数 m, 满足不等式 Asin( ?

?m2 ? 2m ? 3 ? ? )>Asin( ? ?m2 ? 4 ? ? )?

若存在,求出 m 值(或范围) ,若不存在,请说明理由。

20. (本小题满分 13 分)
2 ? 设关于 x 的一元二次方程 an x ? an ?1 x ?1 ? 0 ( n ? N )有两根 ? 和 ? ,且满足

6? ? 2?? ? 6? ? 3 .
(1)试用 an 表示 an ?1 ; (2)求证:数列 ? an ? ? 是等比数列; (3)当 a1 ?

? ?

2? 3?

7 时,求数列 ?an ? 的通项公式,并求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 6

21. (本小题满分 13 分) 已知 A、B 为抛物线 C:y = 4x 上的两个动点,点 A 在第一象限,点 B 在第四象限 l1、l2 分别 过点 A、B 且与抛物线 C 相切,P 为 l1、l2 的交点. (Ⅰ)若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F,求证:动点 P 在一条定直线上,并求此直线方程; (Ⅱ)设 C、D 为直线 l1、l2 与直线 x = 4 的交点,求 ? PCD 面积的最小值.
2

长沙市名校联盟 2015—2016—1 高二年级开学分班统一考试 数学参考答案

1. C

2. A

3. A

4. D

5. A

6. C

7. C 8. B

9. A

10. C

3 11. ? 4

27 12. 4

13.

7

14. i ? 10

15.①④

16. 解: f ? x ? ? sin 2x ? 3(2 cos2 x ? 1) ? 1

? sin 2 x ? 3 cos2 x ? 1
? ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 3
(Ⅰ)函数 f(x)的最小正周期为 T ? (Ⅱ)由 2k? ? 得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?

2? ?? 2

5? ? ? 2 x ? 2k? ? 6 6 5? ? ? x ? k? ? , ? k? ? 12 12

2

(k ? Z )

5? ?? ? , k? ? ?, (k ? Z ) ? 函数 f ( x) 的单调增区间为 ?k? ? 12 12? ?
(Ⅲ)因为 x ? ??

? ? ? 5? ? ? ? ?? , ? ,? 2 x ? ? ?? , ? , 3 ? 6 6? ? 4 4?

? sin(2 x ?

?

? 1 ? ) ? ?? ,1? ,? f ( x) ? ?0, 3? 3 ? 2 ?

17. 解:(1)N=60×(1-0.005-0.010-0.015×2-0.025)×10=18(人). (2)成绩在 80 分及以上的学生有 60×(0.005+0.025)×10=18(人),

∴估计这次考试中该学科的优分率为

×100%=30%;

(3)所有的组合数:(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) (2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,4)(3,5)(3,6) (4,5)(4,6) (5,6) n=5+4+3+2+1=15, 符合“最佳组合”条件的有:(1,4)(1,5)(1,6) (2,5)(2,6) (3,6) m=6,

所以



18.

【证明】连接 BD,AE.

因四边形 ABCD 为正方形,故 BD ? AC ,

因 EC ? 底面 ABCD, BD ? 面 ABCD,故 EC ? BD ,又 EC ? AC ? C , 故 BD ? 平面 AEC , AE ? 平面 AEC ,故 BD ? AE . ⑵. 连接 AC1 ,设 AC1 ? B1D ? G ,连接 GE , 则 G 为 AC1 中点,而 E 为 C1C 的中点,故 GE 为三角形 ACC1 的中位线,

AC // GE , GE ? 平面 B1DE , AC ? 平面 B1DE ,故 AC // 平面 B1DE .
⑶. 由⑵知,点 A 到平面 B1DE 的距离等于 C 到平面 B1DE 的距离, 故三棱锥 A ? B1DE 的体积 VA?B1DE ? VC?B1DE ,

2 1 2 ? 而 VC ?B DE ? VD?B CE ? 1 ? SB CE ? DC ? 1 ? ? ? ?1? 2 ? ? 2 ? ,三棱锥 A ? B1DE 的体积为 3 . 1 1 1 3 3 ?2 3 ?
19. 解:(1)∵A=3

T =5π ? T=10π 2 1 1 3? 2? 1 ? 3? ∴ω = = π +? = ? ? = ∴y=3sin( x+ ) 5 5 5 10 T 2 10 ? 1 3? ? (2)令 2kπ - ≤ x+ ≤2kπ + 得 10kπ -4π ≤x≤10kπ +π k∈Z 2 5 10 2
∴函数的单调递增区间为: {x∣10kπ -4π ≤x≤10kπ +π (3)∵ω k∈Z}

? m2 ? 2m ? 3 + ? =

1 5

? (m ? 1) 2 ? 4 +

3? ? ∈(0, ) 10 2

? ? m2 ? 4 + 5 ? 而 y=sint 在(0, )上是增函数 2
ω

? m2 ? 4 + ? =

3? 10

∈(0,

? ) 2

∴ω

2 ? m2 ? 2m ? 3 + ? >ω ? m 2 ? 4 + ? ? ? m2 ? 2m ? 3 > ? m ? 4

20.解: (1)根据韦达定理,得 ? ? ? ? 由 6? ? 2?? ? 6? ? 3 得 6?

an ?1 1 , ? ?? ? , an an

?????2 分

1 1 an?1 2 ? ? 3 ,故 an ?1 ? an ? 2 3 an an

?????4 分

(2)证明: an ?1 ?

2 1 1 1 2 ? an ? ? (an ? ) , 3 2 3 2 3 2 2 2 若 an ? ? 0 ,则 an ?1 ? ? 0 ,从而 an ?1 ? an ? , 3 3 3

?????6 分

2 这时一元二次方程 an x ? an ?1 x ?1 ? 0 无实数根,故 an ?1 ?

2 ?0, 7分 3

2 3 ? 1 ,数列 ? a ? 2 ? 是公比为 1 的等比数列. ????8 分 所以 ? n ? 2 2 3? 2 ? an ? 3 an ?1 ?

(3)设 bn ? an ?

2 1 ,则数列 ?bn ? 是公比 q ? 的等比数列, 2 3 2 7 2 1 又 b1 ? a1 ? ? ? ? , 3 6 3 2
所以 bn ? b1q
n ?1

1?1? ? ? ? 2? 2?
n

n ?1

?1? ?? ? , ?2?
n

n

?????10 分

2 ?1? 2 ?1? 所以 an ? ? ? ? , an ? ? ? ? . 3 ?2? 3 ?2?
na n ? 2 n n? n 3 2

?????11 分

则由错位相减法可得 Tn ? 21.(本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)设 A(

n2 ? n n?2 ?2? n . 3 2

?????13 分

y2 y12 y2 ) ( y1 ? 0 ? y2 ). , y1 ) , B ( 2 , 4 4 y2 易知 l1 斜率存在,设为 k1 ,则 l1 方程为 y ? y1 ? k1 ( x ? 1 ) . 4
? y12 y ? y ? k ( x ? ) 2 2 1 1 由? 4 得, k1 y ? 4 y ? 4 y1 ? k1 y1 ? 0 ? ? y2 ? 4x ?
????? ①

2 由直线 l1 与抛物线 C 相切,知 △ ? 16 ? 4k1 (4 y1 ? k1 y1 ) ? 0.

于是, k1 ?

2 2 1 x ? y1 . , l1 方程为 y ? y1 y1 2

同理, l2 方程为 y ?

2 1 x ? y2 . y2 2
y1 y2 y1 ? y2 , ) , 4 2

联立 l1 、 l2 方程可得点 P 坐标为 P ( ∵

k AB

y12 4 y1 ? y2 4 , AB 方程为 y ? y ? ( x ? ), ? 2 ? 1 2 y1 ? y2 4 y1 y2 y1 ? y2 ? 4 4

0) . AB 过抛物线 C 的焦点 F (1,



CD ? (

( y1 y2 ? 16)( y1 ? y2 ) 8 1 8 1 . ? y1 ) ? ( ? y2 ) ? y1 2 y2 2 2 y1 y2



S△PCD ?

yy ( y y ? 16)( y1 ? y2 ) 1 . 4? 1 2 ? 1 2 2 4 2 y1 y2

设 y1 y2 ? ?t 2 ( t ? 0 ) , y1 ? y2 ? m , 由 ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? m2 ? 4t 2 ? 0 知, m ? 2t ,当且仅当 y1 ? y2 ? 0 时等 号成立. ∴

S△PCD ?

1 t2 (?t 2 ? 16)m m ? (t 2 ? 16) 2 2t ? (t 2 ? 16) 2 (t 2 ? 16) 2 . 4? ? ? ? ? 2 4 ?2t 2 16t 2 16t 2 8t

设 f (t ) ?

2(t 2 ? 16) ? 2t ? t ? (t 2 ? 16) 2 (3t 2 ? 16)(t 2 ? 16) (t 2 ? 16) 2 ,则 f ?(t ) ? . ? 8t 8t 2 8t 2
4 3 4 3 ? 4 3? 时, f ?(t ) ? 0 ; t ? 时, f ?(t ) ? 0 . f (t ) 在区间 ? 0 , ? 上为减函 ? 3 3 3 ? ?



0?t ?

数;

?4 3 ? 在区间 ? 上为增函数. , ? ?? ? ? 3 ?


t?

128 3 4 3 时, f (t ) 取最小值 . 9 3



当 y1 ? y2 ? 0 , y1 y2 ? ?

16 , 3
???? 13 分

即 y1 ?

128 3 4 4 , y2 ? ? 时, △PCD 面积取最小值 . 9 3 3



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