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第19讲 解三角形



第十九讲
※基础知识
1. 三角形性质: 1.两边和大于第三边; 2.大边对大角;

解三角形

3.内角和定理: A ? B ? C ? ? ,则 sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C ,

sin

A? B A? B ? cos C , cos ? sin C . 2 2 2 2

2. 三角形有关的定理: 1.正弦定理:

a ? b ? c ? 2R sin A sin B sin C

利用正弦定理,可以解决以下两类问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) 。 三角形面积公式: S ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B .

2

2

2

2.余弦定理:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 cc ao s , B
变形式 cos A ? b ? c ? a ,
2 2 2

c2 ? b2 ? a2? 2 b c ao s . C
2 2 2 cos C ? a ? b ? c . 2ab

2bc

2 2 2 cos B? c ? a ? b, 2ca

利用余弦定理,可以解决以下两类问题: (1)已知三边,求三角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角。 3.余弦定理的应用(以三边的长判断角的大小)
2 2 2 2 2 2 C 为锐角 ? a ? b ? c ? 0 ; C 为直角 ? a ? b ? c ? 0 ; 2 2 2 C 为钝角 ? a ? b ? c ? 0 .

※典型例题
题型一:利用正、余弦定理解三角形 例 1(1)在 ?ABC 中已知 c ? 3 , A ? 45 , B ? 75 ,则 a ? ______.
O O

(2)在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ?

2? ,则 a = 3



(3)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC=

.

O 例 2(1)在 ?ABC 中 a ? 6 , b ? 6 3 , A ? 30 ,则边 c ? (

) D. 6 3

A. 6 A. 90?

B. 12 B. 120?

C. 6 或 12 C. 135?

(2)边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为(

) D. 150?

(3) ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边边长分别为 a , b, c ,若 a ?

cos B ? (
A.

5 b, A ? 2 B ,则 2
5 6


) B.

5 3

5 4

C.

5 5

D.

例 3.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? (

( A) 4 3

(B) 2 3

(C ) ?

( D)

? ?
. )

例 4.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,则 sinA= 例 5.已知 ?ABC 中, ?A,?B,?C 的对边分别为 a, b, c .若 a ? c ? A.2 B. 4+2 3 C. 4-2 3 D. 6- 2

6 ? 2 ,且 ?A ? 75? ,则 b ? (

题型二:与三角形面积有关的问题 例 6. 在 ?ABC 中,若 ?B ? 30 , AB ? 2, AC ? 2, 则 ?ABC 的面积是
0

.

例 7. 在△ ABC 中,已知 BC ? 8,

AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C ?

.

※巩固练习
1.在△ABC 中,a=10,B=60° ,C=45° ,则 c=______. A.10+ 3 B.10( 3-1) C.10( 3+1) ) D.直角或等腰三角形 ) D.10 3

2.在△ABC 中,已知 a2tanB=b2tanA,则此三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形

3.在△ABC 中,a、b、c 分别是△ABC 的内角 A、B、C 的对边,b= 2,c=1,B=45° ,则 a=( A. 6± 2 2 B. 6- 2 2 C. 6+ 2 4 D. 6+ 2 2 )

4.在△ABC 中,a=1,A=30° ,C=45° ,则△ABC 的面积为( A. 2 2 B. 2 4 C. 3 2 D. 3+1 4 )

5.在△ABC 中,a=3,b= 7,c=2,那么 B 等于( A.30° B.45° C.60°

D.120° )

6.在△ABC 中,a=12,b=13,C=60° ,此三角形的解的情况是( A.无解 B.一解 C.两解 D.不能确定 )

7.在△ABC 中,已知 a2=b2+c2+bc,则角 A 等于( π A. 3 π B. 6 2π C. 3

π 2π D. 或 3 3

a b c 8.△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 = = ,则△ABC 是( ) cosA cosB cosC A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 )

9.如果等腰三角形的周长是底边边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( 5 A. 18 3 B. 4 C. 3 2 7 D. 8

10.在地面上点 D 处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为 60° 和 30° ,已知建筑物 底部高出地面 D 点 20m,则建筑物高度为( )

A.20m

B.30m

C.40m

D.60m

11.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 30° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距( A.10 3m ) C.20 30m D.30m

B.100 3m

12.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4h 后,船到达 B 处, 看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船与灯塔的距离为________km. 13.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边.若∠A=105° ,∠B=45° ,b=2 2,则 c=______.

14.在△ABC 中,a+b=12,A=60° ,B=45° ,则 a=________.

15.在△ABC 中,a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于

3 ,则三边长为__________. 2

π 4 16.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,B= ,cosA= ,b= 3. 3 5 (1)求 sinC 的值; (2)求△ABC 的面积.



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