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4.10《正切函数的图象和性质》第一课时



4.10 正切函数的图象和性质
第一课时

一、教学目标:
1.会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象; 2.理解掌握正切函数的性质; 3.会用数形结合的思想理解和处理有关问题.

二、教学重难点:
重点:正切函数的图象和性质. 难点:利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象.

三、教学过程


(一)设置情境: 正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性,为了更 好研究其性质,我们首先讨论 (二)新课讲解: 1.正切函数的图象: (1)正切函数 (板书课题) y ? tan x 的作图.

? ? ? y ? tan x 的定义域是什么? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?
sin( x ? ? ) cos( x ? ? )
? ?
2 2

(2)正切函数是不是周期函数?

? tan( x ? ? ) ?
(3)作

?

? sin x ? cos x

? tan x ,

∴ ? 是它的一个周期.

y ? tan x, x ? (? , ) 的图象:

(4)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x

x ? R ,且

x?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线”



由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x 支曲线组成的. 2.正切函数的性质: (1)定义域: ? x | x ? ?

? k? ?

?
2

? k ? Z ? (渐近线)所隔开的无穷多

?
2

?

? ? k? , k ? z ? ?

(2)值域:R

当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

?
2

??? ?k ? z ? , x ? k? ? ? 时, tan x ?? ??

?
2

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2
? ?

2

? k?

时, tan x ? ?? ??

(3)周期性:

T ??

y ? tan(? x) 的周期为 T ?
∵ tan

(4)奇偶性: 奇函数 (5)单调性: 在开区间 ( ? (6)对称中心: 3.例题分析:

?? x ? ? ? tan x

?
2

? k? ,

?
2

? k? ), k ? z 内,函数单调递增,但不能说在定义域内递增。

k ( ? , 0)(k ? z ) 2

例 1.求下列函数的定义域和值域( (6)只求定义域) (5) : (1) y ? tan( x ? (4)

?
4

);

(2) y ?

3 ? tan x ;

(3)

y ? tan(sin x) ;
cos x 1 ? tan x


y ? tan x? x ; (5) y ? cos

2 ? log 0.5x ? tan x ;
值域:R

(6) y ?

解: (1)定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? z ? ? ? 4 ? ? (2)定义域: ( k? ? (3)定义域:R

?
2

, k? ?

?
3

]( k ? z )

值域: (??,0]

值域: [? tan1, tan1]

(4)定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? z ? ? ?

?

2

?

值域: (?1,1)

2 2 例 2.不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小: ? ? 11 13 (1) tan167 与 tan173 ; (2) tan ? ? ? ? 与 tan ? ? ? ? . ? ? ? ? ? 4 ? ? 5 ?
解: (1)∵ 90
?

(5)定义域: (0,

?

) ? [? , 4]

(6)定义域: x | x ? R,x ? k? ?

?
?

?

, x ? k? ?

?
4

,k ? z

?



270 ? 167 ? ? 173? ? 180 ? 又∵ y ? tan x ,在 90 ?, ?
11

? 上是增

∴ tan167

?

? tan173?

(2)∵ tan ? ? ?

? 3? ? , tan ? ? 13 ? ? ? tan ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? 5 ? ? 5 ? 3? 3? 3? ? ?? ? 3? 又∵ ? ?? ?? ? ? ,函数 y ? tan x, x ? ? ? , ? 是增函数, ? 2 4 5 2 2? ? 2
? ? ? tan ? ?

? ?

∴ tan ? ? ?

3?

?

? ? tan ? ? 3? ? ? ? ? 4 ? ? 5 ?

即 tan ? ? ?

11? 4

?

? ? tan ? ? 13 ? ? . ? ? ? ? ? 5 ?

说明:比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到

y ? tan x 的同一单调区间内,利用

y ? tan x 的单调递增性来解决.
(三)练习:P79 练习 1、2、3、4 (四)小结: 1.作图的方法和图象特征; 2.正切函数的性质.

四、作业: P80 习题 1、2、3、4、5



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