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2014高二函数导数综合测试(选修2-2)



高中数学新课标复习讲座之导数推理统计案例

石嘴山市光明中学 潘学功

导数推理统计案例
【选择题】 1.设函数 f ( x) ? x2 ? 6x ,则 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线斜率为( A. 0 A.推理正确 A.24 个 A.a、b、c 都是奇数 C.a、b、c 都是偶数 A. f (0) ? f (2) ?

2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
3 2

) D. -6 ) D.小前提错误 ) D.60 个 )

B. -1 B.推理形式错误 B.30 个

C.3 C.大前提错误 C.40 个

2.下列有关三段论推理“凡是自然数都是整数,4 是自然数,所以 4 是整数”的说法正确的是( 3.用 1,2,3,4,5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数有( 4.否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为(

B.a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数 ) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) ) B.-11 C.-29 C. (-∞,3] D.-37 ) ) D. (0,3)

5.对于 R 上可导的连续函数 f( x ) ,若满足 ( x ? 1) ? f '( x) ? 0 ,则必有(

6.已知 f(x)=2x -6x +a (a 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上的最小值是( A.-5
3 2

7.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.[3,+∞)
3

B. a ? 3
2

8.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ?1 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数的取值范围是( A. (??,? 3 ] ? [ 3 ,??) B. [? 3 , 3 ] ① f ( x ) 在区间(-3,1)上是增函数; ② x ? ?1 是 f ( x ) 的极小值点;③ f ( x ) 在区间(2,4) 上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数; ④ x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点。其中正确的结论是( A.①②③ B.②③ C.③④ D.①③④ ) C. (??,? 3 ) ? ( 3 ,??) D. (? 3 , 3 ) 9.如图所示是 y ? f ( x) 的导数 y ? f '( x) 的图象,下列四个结论:

1 27 4 a 10.已知 x ? 0 ,不等式 x ? ? 2 , x ? 2 ? 3 , x ? 3 ? 4 ,?,可推广为 x ? n ? n ? 1 , x x x x
则 a 的值为(
n


2
2 ( n?1)

A. 2 B. n C. 2 D. n 11.计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0 ~ 9 和字母 A ~ F 共 16 个计数符号, 这些符号与十进制的数字的对应关系如下表: 十六进制 十进制 十六进制 十进制 A、 6 E 12.设 f ( x) ? x ?
3

n

0 0 8 8 B、 72

1 1 9 9

2 2 A 10

3 3 B 11

4 4 C 12

5 5 D 13 D、 B 0

6 6 E 14

7 7 F 15

例如,用十六进制表示 E ? D ? 1B ,则 A ? B ? ( ** )C C、 5 F

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围为( 2
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石嘴山市光明中学 潘学功

A. m > 7

B. m >

157 27

C.

157 < m< 7 27

D. m < 7

13.数列 ?an ? 满足 an ?1

1 ? 2an, 0 ≤ an ≤ , ? 6 ? 2 ?? 若 a1 ? ,则 a2004 的值为( 1 7 ? 2a ? 1 , ≤ an ? 1 , n ? ? 2



A.

6 7

B.

5 7

C.

3 7

D. )

1 7

14.由曲线 y ? A.

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为(
B .4 C.

10 3

16 3

D.6

【答案】C 【解析】因为 ?

? ?x ? 4 ? y? x 的解为 ? ,所以两图像交点为 (4 , 2) ,于是面积 y ? 2 y ? x ? 2 ? ? ?

S ? ? [ x ? ( x ? 2)] dx ?
0

4

4 1 4 16 2 3 x 2 ? ( x 2 ? 2 x) ? ,故选 C 0 2 0 3 3

15.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程 的方法,可以求出过点 A(-3,4),且法向量为 n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y -4)=0,化简得 x-2y+11=0。类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点 A(1,2,3)且法向量为 n =(-1,-2,1)的平面的方程为( ) A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0 C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0 【答案】A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0 即 x+2y-z-2=0 16.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表。设 ai j (i,j∈N*) 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a42=8,若 ai j =2 013,则 i 与 j 的和为( ) A.107 B.108 C.109 D.110 【答案】C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数构成的数列,偶数行为偶数构成的数列,2 013=2×1 007-1,所以 2 013 为第 1 007 个奇数,又前 31 个奇数行内数的个数的和为 961,前 32 个奇数行内数的个 数的和为 1 024,故 2 013 在第 32 个奇数行内,所以 i=63,因为第 63 行的第一个数为 2×962-1=1 923, 2 013=1 923+2(m-1),所以 m=46,即 j=46,所以 i+j=109. 【填空题】 17.在 Rt ?ABC 中,若 ?C ? 90 , AC ? b, BC ? a, 则三角形 ABC 的外接圆半径 r ?
0

a2 ? b2 ,把此结 2

论类比到空间,在空间四面体 P-ABC 中,若 PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA= a ,PB= b ,PC= c , 请写出类似的结论 。 18.已知长轴长为 2 a ,短轴长为 2b 椭圆的面积为 ?ab ,则 19.

?

3

?3

2 1?

x2 dx = 9



?

3 0

9 ? x2 dx =


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石嘴山市光明中学 潘学功

20.已知等式 2 ?

4 4 2 2 3 3 ? 2 , 3? ? 3 , 4 ? ? 4 ,?? , 3 3 8 8 15 15

若 8?

a a ( a , t 均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a , t 的值,则 a ? t =_________. ?8 t t

【答案】 ?55 【解析】类比等式可推测 a ? 8 , t ? 63 ,则 a ? t ? ?55

【解答题】 21.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?1 与 x ? 2 处都取得极值。
3 2

(1)求 a , b 的值及函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对 x ?[-2,3],不等式 f ( x) ?

3 c ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围。 2

22. (1)比较 6 ? 5 与 5 ? 2 的大小,并说明理由; (2)根据(1)的结果,猜想 当n ? N?时,n ? 2 ? n ? 1与 n ? 1 ? n 的大小关系,并证明。

23.已知 正数 a, b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,求证:

1 1 1 , , 不可能是等差数列。 a b c

24.设 S n ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? 2 3 4

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? , Tn ? 2n ? 1 2n n ?1 n ? 2 n ? 3

?

1 (n ? N * ) 2n

(1) 求 S1 , S2 , T1 , T2 的值;猜想 Sn 与 Tn 的关系,并用数学归纳法证明。 (1) S1 = T1 = (2) S = T n n

1 7 37 , S2 = T2 = , S3 = T3 = 2 12 60

25.已知 a ? 1 , b ? 1,试用分析法证明: 1 ? ab ? a ? b 。 证明: (分析法)欲证

1? a b ? a ? b

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只需 只需 只需 只需

(1 ? ab)2 ? (a ? b)2
1 ? 2ab ? a2b2 ? a2 ? 2ab ? b2 1 ? a 2b 2 ? a 2 ? b 2 ? 0

??3 分 ??5 分 ??7 分 ??9 分

(1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0

而根据题意, a ? 1 , b ? 1 ? a2 ? 1 b2 ? 1

?
所以,原命题成立 26.设 f (n) ? 1 ?

(1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0 成立
??12 分

1 1 ? ? 2 3

1 ? ( n? N* ) 。 n

求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? 证明: (用数学归纳法)

? f (n ? 1) ? n [ f (n) ?1] ( n ? 2 n ? N * ) 。
1 ? 1) ? 1 2
??3 分

①、当 n ? 2 时,左边 ? f (1) ? 1 , 右边 ? 2(1 ? 所以,左边=右边,等式成立 ②、假设 n ? k (k ? 2, k ? N * ) 时结论成立 即 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 则当 n ? k ? 1 时,

? f (k ? 1) ? k [ f (k ) ?1]

??5 分

f (1) ? f ( 2? ) f

(? 3)

? f k? (

? 1) f k ( ?) k f [k ? ( )? 1 f ]?? k 7 (分 )
1 1 ?) k ?1 ?] k
??10 分

? (k ? 1 )f (k ) ? k ? (k ? 1 ) f[ k(?

? (k ? 1 )f ( k ? 1) ? k( ? 1? ) k (? 1 f) [ k ? (

?1 ) 1 ] ??12 分

所以,当 n ? k ? 1 时,等式仍然成立 ??13 分 由①、②及数学归纳法原理知该等式成立。 ??14 分 27.设函数 f(x)=ax3-3x2 (a∈R),且 x=2 是 y=f(x)的极值点, 求函数 g(x)=ex· f(x)的单调区间。 解: f ′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). ??2 分

因为 x=2 是函数 y=f(x)的极值点. 所以 f ′(2)=0,即 6(2a-2)=0,因此 a=1, 经验证,当 a=1 时,x=2 是函数 f(x)的极值点, 所以 g(x)=ex(x3-3x2), g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x) =ex(x3-6x)=x(x+ 6)(x- 6)ex ??6 分 ??8 分 ??10 分 ??4 分 ??5 分

g ?( x ) 与 g ( x) 随 x 变化情况如下表:
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x
g ?( x )
g ( x)

(?? , ? 6)
?
单调递 减

? 6
0

(? 6 , 0)

0

(0 , 6)
?
单调 递减 0

6

( 6 , ? ?)

?
单调 递增

0

?
单调 递增 ??13 分

所以 y=g(x)的单调增区间是(- 6,0)和( 6,+∞); 单调减区间是(-∞,- 6)和(0, 6). ??14 分

28.函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行。 (1)求 a,b; (2)求函数 f (x)在[0,t ] ( t > 0 ) 内的最大值和最小值. 解: (1)f ′(x)=3x2+2ax ??1 分 ??3 分

? ?f?1?=0, 由已知条件? ?f′?1?=-3, ? ?a+b+1=0, ?a=-3, ? ? 即? 解得? ?2a+3=-3, ?b=2. ? ?

??5 分

(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2, f ′(x)=3x2-6x=3x(x-2), f ′(x)与 f(x) 随 x 变化情况如下: x f ′(x) f(x) (-∞,0) + 单调递增 0 0 2 (0,2) - 单调递减 2 0 -2 (2,+∞) + 单调递增 ??8 分 由 f(x)=f(0)解得 x=0,或 x=3 因此根据 f(x)的图象(右图) ①、当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f (0)=2 最小值为 f (t)= t ? 3t ? 2 ; ??10 分
3 2

??6 分

②、当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f (0)=2, 最小值为 f (2)=-2; ??12 分
3 2

③、当 t>3 时,f(x)的最大值为 f (t)= t ? 3t ? 2 , 最小值为 f (2)=-2. ??14 分

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29.已知函数 f ( x) ? a( x2 ?1) ? ln x 。 (1)若 y ? f ( x) 在x = 2处取得极小值,求a的值; (2)若 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,求a的取值范围; (3)求证:当 n ? 2 且 n ? N * 时,

1 1 1 3n 2 ? n ? 2 。 ? ? ... ? ? ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? 2n
1 x
??1分

解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 2ax ?

∵ f ( x ) 在 x ? 2 处取得极小值,∴ f ?(2) ? 0 ,即 a ? 此时,经验证 x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点,故 a ? (Ⅱ)∵ f ?( x ) ? 2ax ?

1 8

??3分

1 . 8

??4分

1 , x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减, ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾.???6分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ?

2ax 2 ? 1 x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 1 ; f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2a 2a

(ⅰ)当

1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, 2 2a 1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递减,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾. 2a

x ? (1,

(ⅱ)当

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, 2 2a

x ? [1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递增,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 满足题意.
综上, a ?

1 . 2

???9分

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知令 a ?

1 1 2 ,当 x ? [1, ??) 时, ( x ? 1) ? ln x ? 0 (当且仅当 x ? 1 时取“ ? ”) 2 2
??11分

? 当 x ? 1 时,

1 2 ? 2 ln x x ? 1
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即当 x ? 2,3, 4,

, n, 有

1 1 ? ? ln 2 ln 3

?

1 1 1 ? 2( 2 ? 2 ? ln n 2 ?1 3 ?1

?

1 ) n ?1
2

1 1 1 ? 2( ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5
1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 2 4 3 5

?

1 ) (n ? 1) ? (n ? 1)
?( 1 1 3n2 ? n ? 2 ? )] ? n ?1 n ? 1 2n 2 ? 2n

??14 分

30.已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x ? 1)e x ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R 。 (1)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (3)若 a ? 0 ,证明:对于任意 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 ,都有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? e 成立。 x2 ? x1

31.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos17 ;
2 2 0 2 0 0 0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos15 ;
0 2 0 0 0

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin 2 (?18?) ? cos2 48? ? sin(?18?)cos 48? ; (5) sin (?25 ) ? cos 55 ? sin(?25) cos55 。
2 0 2 0 0 0

(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。 参考公式: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,

sin 2? ? 2sin ? cos ? , cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 , cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? 。
解: (I)选择(2) :

1 3 sin 2 150 ? cos 2 150 ? sin150 cos150 ? 1 ? sin 300 ? 2 4
(II)推广的三角恒等式为:

………………4 分

sin 2 ? ? cos 2 (300 ? ? ) ? sin ? cos(300 ? ? ) ?
证明如下:
0 sin 2 ? ? cos 2(30 0? ? ) ? sin ? cos(30 ? ?)

3 4

………………7 分

3 1 3 1 cos ? ? sin ? ) 2 ? sin ? ( cos ? ? sin ? ) 2 2 2 2 3 3 3 ………………12 分 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4 4 4 ? sin 2 ? ? (
32. 某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一次调查, 并用如图所示的茎叶图表示 30 人的饮食指数。 (说
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明:图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人,饮食以肉类为主。)

(1)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属 30 人的饮食习惯; (2)根据以上数据完成下列 2×2 的列联表: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 (3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析。 附:K =
2

主食肉类

合计

n(ad ? bc) 2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

P(K 2 ? k0 )

k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

解:(1) 在 30 位亲属中,50 岁以上的人多以食蔬菜为主,50 岁以下的人多以食肉为主。 ?????????3 分 (2)2×2 的列联表如下: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 4 16 20 主食肉类 8 2 10 合计 12 18 30

?????????8 分 (3)因为 K =
2

30×120×120 30 ? (8 ? 128)2 = =10>6.635, 12 ?18 ? 20 ?10 12×18×20×10

所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关。???????12 分

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珠海一中 2013-2014 学年度下学期期中考试 高二年级 文科数学答案
一、选择题(每题 5 分,共 10 题,满分 50 分)
题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题(每题 5 分,共 4 题,满分 20 分) 11、(2,4) 或写成 ? 2, 4 ? 12、 (0,1), (?2, 0) 13、805 14、 5

三、解答题(共 6 题,满分 80 分) 15、解(1)

f ( x) 是偶函数,? f (2) ? f (?2) ? log2 8 ? 3

3分

设 x ? 0, 则-x ? 0 ,所以 f (? x) ? log2 (2 x ? 4) 又

f ( x) 是偶函数,所以 f ( x) ? f (? x) ? log 2 (2 x ? 4)
7分

即在 ? 0, ??? 上, f ( x) ? log2 (2 x ? 4) (2)由(1)可知 f ( x) ? ?

? ?log 2 (?2 x ? 4) x ? 0 ? ? log 2 (2 x ? 4) x ? 0

当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 (?2 x ? 4) ? 3 ,得 x ? ?2 当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 (2 x ? 4) ? 3 ,得 x ? 2 故不等式 f ( x) ? 3 的解集是 (??,?2) ? (2,??) 12 分

16、解:因为 6 ? 5 ?

1 , 6? 5

5 ?2 ?

1 5?2



1 1 ? 6? 5 5?2

所以 6 ? 5 ?

5 ?2

4分

(2)猜想: n ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ? n 证明如下:

n ? N ?时, n ? 2 ? n ? 1 ?

1 , n ? 2 ? n ?1

n ?1 ? n =

1 n ? 1+ n

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而 n ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ? n ,所以

1 1 ? n ? 2 ? n ?1 n ?1 ? n
12 分

即 n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 ? n

2 2 17、解: (1)由 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0, 又 a ? 1 ,代入解得 1 ? x ? 3 ,

即 p 为真时实数 x 的范围是 1 ? x ? 3

? x ?1 ? 2 ? 由?x?3 ?x?2 ? 0 ?

解得 2 ? x ? 3

即 q 为真时实数 x 的范围是 2 ? x ? 3 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的范围是 ? 2,3? (2)由(1)知 p : a ? x ? 3a ,则 ?p : x ? a 或 x ? 3a , 7分 9分 11 分 12 分 14 分

q : 2 ? x ? 3 ,则 ?q : x ? 2 或 x ? 3 ,
?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 ?p ? ?q ,且 ?q ? ? ?p ,
?0 ? a ? 2, ∴? 解得 1 ? a ? 2 ,故实数 a 的取值范围是 (1, 2] . ?3a ? 3,

18、解 (1) 由题可得 ?

? x ? 1 ? 0且2 ? x ? 0
2 ?3 ? 4 x ? x ? 0
x

可解得M ? [ ?1,1)

4分

(2)? f ( x) ? a ? 2 x ? 2 ? 3 ? 4 x = 3(2 ?

2a 2 4 2 ) ? a 3 3 1 2 a x ?2 又 ? 2 ? 2 , a ? ?3 ,? ? 2 3 3 3 2a 1 ①若 ? ? ,即 a ? ? 时, f ( x) min = f (?1) = 2 a ? , 4 4 3 2 1 2a 3 ? 2 ,即 ? 3 ? a ? ? 时, ②若 ? ? 2 3 4 2 2a 4 x ) 时, f ( x) min = ? a 2 所以当 2 ? ? a, 即 x ? log 2 (? 3 3 3

6分 7分 10 分

13 分

? f ( x) min

3 3 ? 2a ? (a ? ? ) ? ? 4 4 ?? 4 ?? a 2 (?3 ? a ? ? 3 ) ? 4 ? 3

14 分

19、解: (1)不妨令 2 ? a ? b ? 0 , 2

a ?b

?1 ? 0 ,
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宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

高中数学新课标复习讲座之导数推理统计案例

石嘴山市光明中学 潘学功

因为

f (a ) ? f (b) ? 0 ,所以 f (a) ? f (b) ? 0 2 a ?b ? 1

所以 f ( x ) 在 [0, 2] 上单调递减, 又因为 f ( x ) 是定义在 [?2, 2] 上的偶函数 所以 f ( x ) 在 [?2, 0] 上单调递增 即

f ( x) 在 [?2, 0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减

4分

(2)根据 f ( x ) 的单调性, f ( x ? 1) ? f (2 x) 等价于

??2 ? x ? 1 ? 2 ? ? ?2 ? 2 x ? 2 解得 ? x ?1 ? 2x ?

?1 ? x ? ?

1 3

即不等式 f ( x ? 1) ? f (2 x) 的解是 ? ?1, ? ?

? ?

1? 3?

9分

(3)因为 f ( x ) 在 [?2, 0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减

f ( x)max ? f (0) =2
因为 f ( x) ? m2 ? 2tm ? 3 对任意 x ? [?2, 2] 恒成立 只需 2 ? m ? 2tm ? 3 ,即 m ? 2tm ? 5 ? 0
2 2

令 g (t ) ? ?2tm ? m2 ? 5 ,依题有 g (t ) ? ?2tm ? m2 ? 5 ? 0 对任意 t ?[?2, 2] 恒成立,

? g (?2) ? m2 ? 4m ? 5 ? 0 只需 ? ,解得 m ? 5或m ? ?5 2 ? g (2) ? m ? 4m ? 5 ? 0
故 m 的取值范围为 m ? 5或m ? ?5 14 分

20、 解: (1)因为 f ( x) ? ( x 2 ? x ?1)e x , 所以 f ?( x) ? (2 x ? 1)e x ? ( x 2 ? x ? 1)e x ? ( x 2 ? 3x)e x , 所以曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e . 又因为 f (1) ? e , 所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 . (2) f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x ?1)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x]e x ,
宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 11 页 共 12 页

1分 2分

4分

高中数学新课标复习讲座之导数推理统计案例

石嘴山市光明中学 潘学功

1 2a ? 1 ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a 2a ? 1 当0 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . a 2a ? 1 2a ? 1 ,?? ) ;单调递增区间为 [0,? ]. 所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,0] , [ ? 6分 a a 1 1 2 x ②若 a ? ? , f ?( x) ? ? x e ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) . 7分 2 2 2a ? 1 1 ③若 a ? ? ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a 2a ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 当? a 2a ? 1 2a ? 1 ] , [0,??) ;单调递增区间为 [? ,0] . 9 分 所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ?? ,? a a
①若 ? (3)由 a ? 0 ,得 f ( x) ? ( x ?1)e x 因为 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 ,要证

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?e x2 ? x1

只需证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ex2 ? ex1 ,即 f ( x2 ) ? ex2 ? f ( x1 ) ? ex1 因为 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 ,只需证明 g ( x) ? f ( x) ? ex ? ( x ?1)e x ? ex 在 (1, ??) 递增 因为 x ? 1 ,所以 g ?( x) ? xe x ? e ? e x ? e ? 0 ,故 g ( x) 在 (1, ??) 递增, 即证。 14 分

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