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【北师大版】2017年高中数学必修2精品讲学案:2.3-空间直角坐标系程(含答案)


第 1 课时 空间直角坐标系及点的坐标 [核心必知] 1.空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系. 在空间直角坐标系中,四指先指向 x 轴正方向,然后让四指沿握拳方向 旋转 90° 指向 y 轴正方向,此时大拇指指向 z 轴正向,这样的坐标系称右手系. (2)坐标系中相关概念. 如图所示的坐标系中,O 叫作原点,x,y,z 轴统称为坐标轴.由每两个坐标轴确定的 平面叫坐标平面,分别记为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.空间直角坐标系中点的坐标 (1)空间中任一点 P 的坐标都可用一个三元有序数组(x,y,z)来表示,第一个是 x 坐标, 第二个是 y 坐标,第三个是 z 坐标. (2)空间中的点与一个三元有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系. [问题思考] 1.画空间直角坐标系时,是否任意两坐标轴都画成夹角为 90° ? 提示:不是.空间直角坐标系中,任意两坐标轴的夹角都是 90° ,但在画直观图时通常 画∠xOy=135° ,使 x 轴、y 轴确定的平面水平,∠yOz=90° ,以表示 z 轴竖直. 2.确定点(x0,y0,z0)的位置的方法有哪些? 提示:确定点的位置一般有三种方法: (1)在 x 轴上找点 M1(x0,0,0), 过 M1 作与 x 轴垂直的平面 α; 再在 y 轴上找点 M2(0, y0,0), 过 M2 作与 y 轴垂直的平面 β;再在 z 轴上找点 M3(0,0,z0),过 M3 作垂直于 z 轴的平面 γ, 于是 α,β,γ 交于一点,该点即为所求. (2)确定点(x0,y0,0)在 xOy 平面上的位置,再由 z 坐标确定点(x0,y0,z0)的位置. (3)以原点 O 为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与 x0, y0,z0 的符号一致),则长方体中与原点 O 相对的顶点即为所求的点. ?讲一讲 1.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AD=3,AB=5,AA1=4,建立适当的坐标系写出此 长方体各顶点的坐标. [尝试解答] 如图,以 DA 所在直线为 x 轴,以 DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz. ∵长方体的棱长 AD=3,DC=AB=5,DD1=AA1=4, 显然 D(0,0,0),A 在 x 轴上,∴A(3,0,0); C 在 y 轴上,∴C(0,5,0);D1 在 z 轴上, ∴D1(0,0,4);B 在 xOy 平面内, ∴B(3,5,0); A1 在 xOz 平面内,∴A1(3,0,4);C1 在 yOz 平面内, ∴C1(0,5,4). 由 B1 在 xOy 平面内的射影为 B(3,5,0), ∴B1 的横坐标为 3,纵坐标为 5, ∵B1 在 z 轴上的射影为 D1(0,0,4), ∴B1 的竖坐标为 4, ∴B1(3,5,4). 1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的对称性. 2.求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找 出它在另一轴上的射影,(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. ?练一练 1.如图,棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 AB 的中点,F 是 BB1 的中点,G 是 AB1 的中点,试建立适当的坐标系,并确定 E,F,G 三点的坐标. 解:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所

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