9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

绝对值三角不等式



绝对值三角不等式

绝对值的定义及几何意义

? a, a ? 0 ? |a|= ?0, a ? 0 ? ? a, a ? 0 ?

|a|

O 几何意义: 表示数轴上坐标为a的点A到 原点的距离.

A a

x

|a-b| B A

?a ? b, a ? b x a b ? |a?b|= ?0, a ? b 几何意义: ?b ? a, a ? b 表示数轴上实数a, b对应的点A,B ?
之间的距离,即线段AB的长度

用恰当的方法在数轴上把 |a|, |b|, |a+b|表示出来,
同学们观察能发现它们之间有什么关系? ab>0 O a
? ?

a + b ? ? b

x

a+ b ?

?

b

?

a O a+b
?

?

x

b

?

a+b
?

O a

?

?

ab<0 x

? ?

a O

b

?

x

定理1: 如果a, b是实数,
则 | a + b | ? | a | + | b |,

当且仅当 ab ? 0 时,等号成立.

? ? 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 a , b,
能得出什么结果?

定理1的几何意义
在不等式| a + b | ? | a | + | b | 中, 绝对值三角不等式
用向量

? ? 当向量 a b 不共线时,则由向量加法的
三角形法则,

? ? a、b 分别替换实数a,b,

? ? ?? 向量 a、b、a+b 构成三角形,

? ? ? a?b b ?

y

a

x

O

故可得向量形式的不等式:

? ? ? ? |a ? b|?|a | ? |b|

? ? 当向量a b 共线呢?

故该定理的几何意义为:

三角形的两边之和大于第三边.

绝对值三角不等式: |a+b|?|a|+|b|
证明: 当ab?0时, ab=|ab|

|a+b| ? ? a ? b ?
2
2

2

? a ? 2ab ? b

2
2

? | a | ?2 | ab | ? | b |
?
2

?| a | ? | b |? ? a ? b

当 ab < 0 时, ab ? ?|ab|,
|a+b| ? ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b
2

2

2

? | a | ?2 | ab | ? | b |
2

2

? a 2 ? 2 | ab | ?b 2
? | a | ?2 | ab | ? | b |
2 2

?

?| a | ? | b |?

2

?| a | ? | b |
故 | a + b | ? |a| + |b|, 当且仅当 ab ? 0时, 等号成立.

类似的还可以得到 |a| ? |b| ≤ | a + b | | |a| ? |b| | ≤ | a + b | |a| ? |b| ≤ | a – b | ≤ |a| ? |b| | |a| ? |b| | ≤ | a – b | ≤ |a| ? |b|

由于 a – c = ( a – b ) + ( b – c ),故得 定理2 如果 a, b, c 是实数,那么 |a–c|≤|a–b|+|b–c| 当且仅当 ( a – b )( b – c ) ≥ 0 时,等号成立.

定理2的几何意义
在数轴上, a, b, c所对应的点分别为A, B, C,
A B ? ? a b
?

C ? c

x

(1)当点B在点 A, C 之间时, |a ? c | = | a ? b | + | b ? c | (2)当点B在点A, C之外时, |a ? c | < | a ? b | + |b ? c |

A ? a
?

C B x ? ? c b A C ? ? a c

B ? b

x

应用举例
例1:已知? > 0 , |x?a| < ? , |y?b| < ?, 求证: | 2x + 3y ? 2a ? 3b | < 5? . 证明: | 2x ? 3y ? 2a ? 3b | =| (2x ? 2a) + (3y ? 3b) | ? |2(x ? a)| + |3(y ? b)| = 2|x?a| + 3|y?b| < 2? + 3? = 5 ? 故 | 2x ? 3 y ? 2 a ? 3 b | < 5 ?

例2 已知

x?a ?

?
2M

,0 ? y ?b ?

?
2a

, y ? ? 0, M ? ,

xy ? ab ? ? . 求证:

证明: xy ? ab ? xy ? ya ? ya ? ab ? y ? x ? a ? ? a ? y ? b ?

? y x?a ? a y?b ? M?

?
2M

?a?

?
2a

? ?.

练习
1. ①已知 x ? r
1 1 ? 0, a ? 0 ,求证 ax ? a r .

②已知 an ? l ? 1, 求证 an ? l ? 1 .

2. 已知

ε ε A? a ? , B ?b ? , 2 2

求证: ① ? A ? B? ? ?a ? b? ? ? ; ② ? A ? B? ? ?a ? b? ? ? .

a?b 例3. 已知 | a | ? 1, | b | ? 1, 求证 ?1 1 ? ab
a ?b (a ? b)2 证明: ?1? ?1 2 1 ? ab (1 ? ab)

? a2 ? 2ab ? b2 ? 1 ? 2ab ? a2b2

? 1? a ? b ? a b ? 0
2 2 2 2

? (1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0
2 2 (1 ? a )(1 ? b ) ? 0 成立, 由| a | ? 1, | b | ? 1, 可知

a?b 所以 ?1 1 ? ab

例 4: 两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工 , 这两个地点分别位于公路路牌的 第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区 , 每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次 , 要使两个施工 队每天往返的路程之和最小, 生活区应该建于 何处?

分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工队 每天往返的路程之和为S(x) km.

那么S(x) = 2( |x-10| + |x-20| )
故实际问题转化为数学问题: 当 x 取何值时,函数S(x) = 2( |x?10| + |x?20| ) 取得最小值. 解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处, 两个施工队

每天往返的路程之和为S(x) km,则:
S(x) = 2( | x ? 10 | + | x ? 20 | )

我们先来考察它的图像:

60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S 60 40
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

0<x?10

20
4x-60

10<x?20
x>20

20 O 10 20 30 x

S(x)=2(|x-10|+|x-20|) |x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| ?|(x-10)+(20-x)|=10

60 40 2

S
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

当且仅当(x-10)(20-x)?0时取
等号.

0O 10 20 30

x

又解不等式: (x-10)(20-x)?0 得:10?x?20
故当10?x?20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.

课堂练习:

1.(1)“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y, a,m∈R)的( A ) A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

解析 ∵|x-a|<m,|y-a|<m,
∴|x-a|+|y-a|<2m,

又∵|(x-a)-(y-a) | ≤|x-a|+|y-a|,
∴|x-y|<2m,但反过来不一定成立,

如 取 x = 3 , y = 1 , a = - 2 , m = 2.5 , |3 - 1| <
2×2.5,但|3-(-2)|>2.5,|1-(-2)|>2.5,

∴|x-y|<2m不一定有|x-a|<m且|y-a|<m,故
“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y, a,m∈R)的充分非必要条件. 答案 A

(2)以下四个命题:
①若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;

②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;
x 2 ③若|x|<2,|y|>3,则| |< ; y 3 |A|+|B| 1 ④若 AB≠0,则 lg ≥ (lg |A|+lg |B|). 2 2

其中正确的命题有( A ) A. 4 个 B.3个 C. 2 个 D. 1 个

2 .对于 |a| - |b|≤|a + b|≤|a| + |b| ,下列结论正确的 是( ) B

A.当a,b异号时,左边等号成立 B.当a,b同号时,右边等号成立 C.当a+b=0时,两边等号均成立 D.当a+b>0时,右边等号成立;当a+b<0时,

左边等号成立

3.若两实数x,y满足xy<0,那么总有( A )

A.|x+y|<|x-y|
C.|x-y|<|x|-|y|

B.|x+y|>|x-y|
D.|x+y|<|y|-|x|

解析:当xy<0时, |x+y|=||x|-|y||, |x-y|=|x|+|y|,

因为|x|+|y|>||x|-|y||,
所以|x+y|<|x-y|.

4.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-

5 . 2y+1|的最大值为________
解析 ∵ |x - 2y + 1| = |(x - 1) - 2(y - 1)|≤|x - 1| + 2|(y-2)+1|≤|x-1|+2|y-2|+2, 再由 |x - 1|≤1 , |y - 2|≤1 可得 |x - 1| + 2|y - 2| + 2≤1

+ 2+ 2 = 5,
故|x-2y+1|的最大值为5.

5.若a,b为实数,证明 |a+b|≤|a|+|b|. 证明 |a+b|≤|a|+|b|?|a+b|2≤(|a|+|b|)2

?(a+b)2≤|a|2+2|a||b|+|b|2
?a2+2ab+b2≤a2+2|a||b|+b2?ab≤|ab|. ∴原不等式成立.当且仅当ab≥0时等号成立.



更多相关文章:
课题:绝对值三角不等式
6页 免费 绝对值三角不等式 23页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
1.4绝对值三角不等式教案 新人教A版选修4-5
课教学目标: 题: 第 04 课时 绝对值三角不等式 教学札记 1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简 单的应用。 2:充分...
绝对值的三角不等式典型例题
绝对值三角不等式典型例题_初一数学_数学_初中教育_教育专区。主要是一些典型三角不等式,例如|a|-|b|<=|a+b|<=|a|+|b|1.4...
绝对值三角不等终极版
绝对值三角不等式》复习说课稿 绝对值三角不等式》复习说课稿今天我说课的题目是人教版选修 4-5 第一章绝对值三角不等式第一课时 下面我将就 1 教材分析 2 ...
绝对值型不等式和三角不等式类型
绝对值型不等式和三角不等式类型_数学_高中教育_教育专区。绝对值型不等式和三角不等式定理 1 如果 a, b 是实数,则 |a+b|≤|a|+|b|(当且仅当 ab≥0 ...
绝对值三角不等式
教学设计:绝对值三角不等式一、内容介绍:本节是在学习了必修 5《不等式》及选修 4-5 第一节“不等式”的基础上继 续学习的一部分内容“绝对值不等式”中的...
绝对值不等式的证明及练习
绝对值不等式的证明及练习_数学_高中教育_教育专区。绝对值不等式的证明知识与技能: 1. 理解绝对值三角不等式, 2.应用绝对值三角不等式. 过程方法与能力: ...
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式_高二数学_数学_高中教育_教育专区。太原北辰双语学校高二年级第二学期数学学科作业题课题:绝对值三角不等式班级: 姓名: 命题日期: 3 月 13 日 ...
4三角绝对值不等式证明
4三角绝对值不等式证明_高三数学_数学_高中教育_教育专区。绝对值三角不等式证明题型一。含绝对值不等式的判断与证明 s s s 例 1 已知|A-a|< ,|B-b|< ...
2015-2016学年高中数学 1.2.1绝对值三角不等式练习 新人教A版选修4-5
2015-2016学年高中数学 1.2.1绝对值三角不等式练习 新人教A版选修4-5_数学_高中教育_教育专区。1.2 1.2.1 绝对值不等式 绝对值三角不等式 1.理解绝对值...
更多相关标签:
绝对值不等式    绝对值三角不等式公式    绝对值三角不等式证明    三角不等式    无限猴子定理    绝对值不等式的解法    牟合方盖    绝对值三角不等式ppt    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图