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2015届高一年级数学周测及答案(必修一四精选)



2015 届高一级数学必修一、四周测试卷及参考答案
姓名:______________ 学号:________ 成绩:_______ 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 若 U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则 CU(M∪N)=( D ) A.{1,2,3} B.{2} C.{1,2,3} D.{4} 2. 已知 sin(π+α)=

4 且 α 是第三象限的角,则 cos(2π-α)的值是( B )
5

A. ? 4
5

B. ? 3
5

C. ? 4
5

D. 3
5

3. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y=-x3,x∈R B.y=sinx,x∈R C.y=x,x∈R

A



D. y ? ( ) ,x∈R
x

1 2

4. 若奇函数 f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值 0,则它在[-3,-1]上( D ) A.是减函数,有最小值 0 B.是增函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0 D.是增函数,有最大值 0 5. 函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点所在的区间为( B ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 6. 若 loga2=m,loga3=n,则 a2m+n 等于( D )A.7 B.8 C.9 D.12 7. sin15° cos75° +cos15° sin105° ( 等于 D ) 0 A. B D. [ B. 0.5 ) C.
3 2

D. 1

8. 函数 f ( x) ? sin x ? 1 ,x∈(0,2π)的定义域是( 2 A. [

? ? , ] 6 2

B. [

? 5?
6 , 6

]

C. [

? 5?
2 , 6

]

? 5?
3 , 3

]

4 3 9.若锐角 α、β 满足 cos α= ,cos(α+β)= ,则 sin β 的值是( C ) 提示:sinβ=sin[(α+β)- α] 5 5 17 3 7 1 A. B . C. D. 25 5 25 5 10..定义在 R 上的函数 y=f(x+1)的图象如图所示,它在定义域上是减函数,给出如下命 题:①f(0)=1;②f(-1)=1;③若 x>0,则 f(x)<0;④若 x<0,则 f(x)>0, 其中正确的是( B )

A.②③ B.①④ C.②④ D.①③ 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.对于任意的 a∈(1,+∞),函数 y=loga(x-2)+1 的图象恒过点 __(3,1) ______. 12.已知 a=30.2,b=0.32,c=log0.32,则 a,b,c 的大小关系为 ___ c<b<a _____. (用“<”连接) 13.已知函数

?2 ? x x ? 1 f ( x) ? ? 2 ,则 f(f(0))的值为___6_____ ?x ? x x ? 1
2

14. 将函数 y=sinx 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 1 ,得到函数 y=f(x)的图象,再将函数 y=f(x)的图象沿着 x 轴的正方向平移 ? 个单位长度,
6

得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式____ g ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) _____

三.解答题(每小题 15 分,共 30 分) 15. 已知函数 f(x)是实数集 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x+x-3.
(1)求 f(-1)的值; (2)求函数 f(x)的表达式; (3)求证:方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解. 解 (1) 因为函数 f (x) 是实数集 R 上的奇函数, 所以对任意的 x∈R, 都有 f (-x) (x) =-f .

所以 f(-1)=-f(1).因为当 x>0 时,f(x)=log2x+x-3,所以 f(1)=log21+1-3=-2. 所以 f(-1)=-f(1)=2. …(4 分) (2)当 x=0 时,f(0)=f(-0)=-f(0),解得 f(0)=0; 当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)=log2(-x)+(-x)-3=log2(-x)-x-3. 所以-f(x)=log2(-x)-x-3,从而 f(x)=-log2(-x)+x+3.

?? log2 (? x) ? x ? 3 x ? 0 ? 所以 f ( x) ? ?0 x ? 0 (10 分) ?log x ? x ? 3 x ? 0 ? 2
(3)证明:因为 f(2)=log22+2-3=0,所以方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有解 x=2. 又方程 f(x)=0 可化为 log2x=3-x. 设函数 g(x)=log2x,h(x)=3-x. 由于 g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,h(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数, 所以,方程 g(x)=h(x) 在区间(0,+∞)上只有一个解. 所以,方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解. …(15 分)
或用图像法解决

16.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深.
时刻 水深/m 0:00 5.0 3:00 8.0 6:00 5.0 9:00 2.0 12:00 5.0 15:00 8.0 18:00 5.0 21:00 2.0 24:00 5.0

(1) 若该港口的水深 y(m)和时刻 t(0≤t≤24)的关系可用函数 y=Asin(ωt)+b (其中 A>0,ω>0,b∈R)来近似描述,求 A,ω,b 的值; (2)若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m,安全条例规定至少要有 2.5m 的安全间隙(船底与海底的距离),试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口?

解:(1)由已知数据,易知 y=f(t)的周期 T=12,振幅 A=3,b=10, 所以 ? ?

2? ? ? ( 6 分) 12 6

(2) 由 (1) y ? 3 sin( ? t ) ? 5 (0 ? t ? 24) 由该船进出港时, 知 水深应不小于 4+2.5=6.5 m) ( , 6 ∴当 y≥6.5 时,货船就可以进港,即 3 sin( ? t ) ? 5 ? 6.5 6
sin(

?
6

t) ?
?
6 ?

1 2
t?

∵0≤t≤24,
5? 6

∴0≤

? t ≤4π 6
6



?
6

,或 11? ? ? t ? 17? ,
6 6

所以 1≤t≤5 或 13≤t≤17. 故该船可在当日凌晨 1:00~5:00 和 13:00~17:00 进入港口.(15 分)



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