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高中数学 第二章 平面向量 2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4



第二章 平面向量 §2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 学习目标 1.会用坐标表示平面向量的数量积. 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角. 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系. 课前热身 1.平面向量数量积的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=________.即两个 向量的数量积等于________. 2.向量的模与两点间距离公式 (1)设a=(x,y),则|a|=________. (2)如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2, y2),那么|a|=________. 3.两向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?______________. 4.向量的夹角公式 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其夹角为θ,则cosθ= ________. 1.x1x2+y1y2 自 2.(1) x2+y2 它们对应坐标的乘积的和 我 (2) ?x1-x2?2+?y1-y2?2 校 3.x x +y y =0 1 2 1 2 对 x1x2+y1y2 4. 2 2 2 2(0≤θ≤π) x1+y1 x2+y2 思考探究 什么? 用向量的数量积的坐标表示求数量积的优势是 提示 优势是不需求向量的模和夹角,直接求数量积,简 化了运算. 名师点拨 1.向量内积的坐标运算 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2,即两个 向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.两个向量垂直的条件 若a⊥b,则x1x2+y1y2=0;反之,若x1x2+y1y2=0,则a⊥ b. 运用向量垂直的条件,既可以判定两向量是否垂直,又可 以由垂直关系去求参数. 3.向量的长度、距离和夹角公式 2 已知a=(x1,y1),则|a|= x1 +y2 1 ,即向量的长度等于它的 坐标平方和的算术平方根. 如果A(x1,y1),B(x2,y2),那么 → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 事实上这就是解析几何中两点间的距离公式. 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),设这两个向量的夹角为θ, 则 x1x2+y1y2 cosθ= 2 2 2 2. x1+y1· x2+y2 用坐标表示向量,利用向量的数量积可以解决有关垂直的 问题,还可以求向量的长度、夹角,从而可以发现向量与解析 几何、三角函数有密切的联系. 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 典例剖析 一 数量积的坐标运算 已知向量a与b同向,b=(1,2),a· b=10. 【例1】 (1)求向量a; (2)若c=(2,-1),求(a· b)· c及a· (b· c). 【分析】 算. 本题主要考查共线向量与向量数量积的坐标运 (1)由于a与b同向,可设a=λb(λ>0),结合a· b=10,可以求 出a. (2)可按向量的运算进行. 【解】 (1)∵a与b同向,又b=(1,2), ∴a=λb=(λ,2λ)(λ>0). 又a· b=10, ∴1×λ+2×2λ=10,∴λ=2>0. ∴a=(2,4). (2)∵a· b=10, ∴(a· b)· c=10(2,-1)=(20,-10). 而b· c=(1,2)· (2,-1)=1×2+2×(-1)=0, ∴a· (b· c)=a· 0=0.


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