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惠州市第一中学2016届高二下学期期中考试(文数)



惠州市第一中学 2016 届高二下学期期中考试 数学(文科)
考试用时:120 分钟

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,集合 A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4},则复数 z 等于( (A)

-4i (B)4i (C)-2i (D)2i )

2.以下四个命题: ①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标 检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则它们的相关系数的绝对 值越接近于 1;③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越 高;④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系”的把 握越大.其中真命题的序号是( A.①④ C.①③ ) B.②④ D.②③ )

3-ai 3.“复数 z= 在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( i A.充分不必要条件 C.充要条件 4.下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R ,使得 e C. ?x ? R, 2 ? x
x 2
x0

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. sin x ?

?0

1 ? 2( x ? kπ, k ? Z ) sin x

D.a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分不必要条件

4 4 2 2 3 3 b b 5..已知 2 + =2 , 3 + =3 , 4 + =4 ,…,依此规律,若 8 + =8 , 3 3 8 8 a a 15 15

则 a,b 的值分别是() A.65,8 B.63,8 C.61,7 D.48,7 )

6.如图是一算法的程序框图,若输出结果为 S=720,则在判断框中应填入的条件是(

1

A.k≤6? C.k≤8?

B.k≤7? D.k≤9?

2S 7.设三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c,面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= ; a+b+c 类比这个结论可知:若四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径 为 r,四面体 SABC 的体积为 V,则 r=( V A. S1+S2+S3+S4 3V C. S1+S2+S3+S4 8. 已知抛物线 y 2 ? 8x 与双曲线 )

2V B. S1+S2+S3+S4 4V D. S1+S2+S3+S4

x2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 M , F 为抛物线的焦点,若 a2


MF ? 5 ,则该双曲线的渐近线方程为(

(A)、 5x ? 3 y ? 0 (B)、 3x ? 5 y ? 0 (C)、 4 x ? 5 y ? 0 (D)、 5x ? 4 y ? 0 9.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得 到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 4 90 5 84 6 83 7 80 8 75 9 68

^ ^ 由表中数据,求得线性回归方程为y=-4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回 归直线左下方的概率为( 1 A. 6
2 10.已知 f ( x ) ? ax ?

) 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3

b ( a ? 0 ,b ? 0) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 处的切线经过点 x

3 1 1 1 ( , ) ,则 ? 有 2 2 a b
A.最小值 9 B.最大值 9 C.最小值 4 D.最大值 4 11.已知 f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且 a+b>0,a+c>0,b+c>0,则 f(a)+f(b)+f(c)的值一定
2

A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都可能 12. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则不等式

f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为(
A. (?1,1)

) C. (??, ?1) D. (??, ??)

B. ? ?1, ?? ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。 第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 若复数

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为. 1 ? 2i

14.执行下面的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n ? .

1 2n

开始

输入 p

n ?1, S ? 0

S? p?


S ?S?

n ? n ?1

2 15. 阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a2 ,那么 a1+ 结束 a2≤ 2.证明:构造函数 输出 1+a2=1 n

f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以 Δ≤0,
2 从而得 4(a1+a2)2-8≤0,所以 a1+a2≤ 2.根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 a2 1+a2+…

+a2 n=1 时,你能得到的结论为______________. 16.已知 F1,F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点,点 A 是椭圆的右顶点,

O 为坐标原点, |MA|=|MO|, 若椭圆上的一点 M 满足 MF1⊥MF2, 则椭圆的离心率为________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 8 ,前 6 项的和 S6 ? 66 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

2 , Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求 Tn 。 (n ? 1)an

3

18.(本小题满分 12 分) 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调了 50 人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表:

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为以 45 岁为分 界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异;

(Ⅱ)若对年龄在,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答 时请写清题号。

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P.
2 (Ⅰ)求证:PM =PA?PC;

(Ⅱ)若⊙O 的半径为 2

,OA=

OM,求 MN 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

4

? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 ,曲线 C 的极坐标方程为 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ? 2 ?y ? 1 t ? ? 2

? ? ? 2 2 cos(? ? ) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系.
4
(1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ? 2 ? m) . (Ⅰ)当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

5

参考答案
A D A D B BCABA AB 13. 16. 17.解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

?6

14.

4

15. a1+a2+…+an≤ n

a2 ? 8

得: a1 ? d ? 8 ①

由 s6 ? 66 得 : 6a1 ? 15d ? 66 即 2a1 ? 5d ? 22 ② 联定①② ?

? a1 ? 6 ?an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 4 ………6 分 ?d ? 2
1 ? 1 1 ? n ?1 n ? 2

(2)由(1)得 bn ?

? n ? 1?? n ? 2?

1 ? ?1 1? ?1 1? ? 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? 2 ?
? 1 1 ? ………12 分 2 n?2
18.解:(Ⅰ)2 乘 2 列联表 年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合 计 年龄低于 45 岁的人数 合计 32 18 50 ……………………………2 分

a?3
b?7
10

c ? 29
d ? 11
40

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 ? 6.27 < 6.635 ………………4 分 ? 3 ? 7 ?? 29 ? 11?? 3 ? 29?? 7 ? 11?

所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ………………5 分

(Ⅱ)设年龄在时,f(x)= +xlnx≥1 恒成立,等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立,

6

2 记 u(x)=x﹣x lnx,所以 a≥u(x)max,u′(x)=1﹣x﹣2xlnx,可知 u′(1)=0,

当 x∈( ,1)时,1﹣x>0,2xlnx<0,则 u′(x)>0,∴u(x)在 x∈( ,2)上单调 递增; 当 x∈(1,2)时,1﹣x<0,2xlnx>0,则 u′(x)<0,∴u(x)在(1,2)上单调递减; 故当 x=1 时,函数 u(x)在区间,上取得最大值 u(1)=1, 所以 a≥1,故实数 a 的取值范围是[1,+∞).………7 分 22. (Ⅰ)证明:连接 ON,因为 PN 切⊙O 于 N, ∴∠ONP=90° , ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON, ∴∠OBN=∠ONB 因为 OB⊥AC 于 O, ∴∠OBN+∠BMO=90° , 故∠BNP=∠BMO=∠PMN,PM=PN
2 2 ∴PM =PN =PA?PC

(Ⅱ)∵OM=2,BO=2 ∵BM?MN=CM?MA=(2 ∴MN=2

,BM=4 +2)(2 ﹣2)(2 ﹣2)=8,

23. (1) ? ? 2 2 cos(? ? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) , 即 ? ? 2 ? ? cos
2

π 4

? ? ? sin ? ? ,可得 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,
2 2

故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 . (2) C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 由(1)知曲线 C2 是以 (1,1) 为圆心的圆,
7

且圆心到直线 C1 的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 , 2

∴动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 . 2

24.解:(Ⅰ)当 m ? 7 时,函数 f ( x) 的定义域即为不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 7 ? 0 的解集.[来 由 于?

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ,或 ? , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0 ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0
所以 x ? ?3 ,无解,或 x ? 4 .

或?

?x ? 2 . ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0

综上,函数 f ( x) 的定义域为 (??, ?3) ? (4, ??) (Ⅱ)若使 f ( x) ? 2 的解集是 R ,则只需 m ? ( x ? 1 ? x ? 2 ? 4)min 恒成立. 由于 x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 4 ? ?1 所以 m 的取值范围是 (??, ?1] .

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