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2.2.2直接证明与间接证明



2.2.2 反证法

嘉祥一中高二、一科数学组

温故迎新
1.直接证明的两种基本证法: 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点:
综合法: 已知条件 分析法: 结论

????? 结论 由因导果 ????? 已知条件 执果索因

3、在实际解题时,两种方法如何运用?

通常用分析法寻求思路, 再由综合法书写过程.

思考?
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎, C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎,为 什么?

分析:假设C没有撒谎,

则C真. 那么A假且B假;

由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.

引例
证明:在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个 不小于60°

已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个不小于60° 证明: 假设 ?ABC 的三个内角∠A, ∠ B, ∠ C都小于60°, 所以∠ A < 60°,∠B < 60°, ∠C < 60°

∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.

∴ 假设 不能成立,所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑推理, 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾, 说明假设不成立,从而得到原结论正确。

这种证明方法就是-----

一、探究定义
一般地,假设原命题不成立(即在原命题 的条件下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾。因此说明假设错误,从而证明 了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注:反证法是最常见的间接证法。

二、探究反证法的证明过程
否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤:反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立; 归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理,得出矛盾;

存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定原结论成立。

归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾;

(2)与假设矛盾或自相矛盾;
(3)与已有公理、定理、定义、事实矛盾.

反证法的思维方法:正难则反

三、典例剖析---类型一: 例1. 证明:如果a ? b ? 0, 则 a ? b
证明: 假设

b a 不大于 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以

否定要全面

(1)若 a < b ? a ? b 与已知a ? b ? 0矛盾
与已知a ? b ? 0矛盾 (2)若 a = b ? a = b, 所以假设错误,故 a ? b 成立
注:直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从 结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。

反思1:
用反证法证题的一般步骤是什么?
(1)假设命题的结论不成立;即假设结论的反面成立 。

(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确 。

例2 求证: 2 是无理数。
证:假设 2是有理数,

∴ m = 2n
2

m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n

∴ m = 2n
2 2

2

2

∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)

从而有4k = 2n ,即n = 2k ? n也是偶数 这与m,n互质矛盾!

2

假设不成立,故

2 是无理数。

二、典例剖析---类型二: 例3.证明: 2, 3, 5 不可能成等差数列
证明: 假设 2, 3, 5
两边平方得:
2

能成等差数列,则

2 3? 2? 5
化简得:

(2 3) ? ( 2 ? 5) 5 ? 2 10

2

两边平方得: 25 ? 40 此式显然不成立,所以假设错误

注:否定型命题(命题的结论是“不可能……”,
“不能表示为……”,“不是……”,“不存 在……” ,“不等于……”,“不具有某种性质” 等) 常用反证法

所以 2, 3, 5 不可能成等差数列

二、典例剖析----类型三
例4、已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一 个根。 分析:由于a≠0 ,因此方程至少 b 有一个根x= a 。从正面较难说 清为什么只有这个根,我们采 用反证法,即证明如果不只一 个根则会导致矛盾。

例4 已知a≠0, 证明:关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根, 不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x 2 则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0

x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0

∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立,结论成立。
注:唯一性命题(命题的结论是“有且只有”,“只 有一个,“唯一存在”等) 常用反证法。

二、典例剖析----类型四
例5:已知x>0,y>0,x+y>2,
求证:

分析:所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至

1 ? x 1 ? y 中至少有一个小于2。 , y x

1? x 1? y 1? x 1? y 与 证明: 假设 均不小于2,则 ? 2, ?2 y x x y ∵ x>0,y>0 ∴1+x≥2y,1+y≥2x

少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.

1? x 1? y 与 所以 中至少有一个小于2。 y x 注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法

将两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾,

归纳总结:
哪些命题适宜用反证法加以证明? (1)直接证明有困难 (2)否定性命题 (3)唯一性命题 (4)至多,至少型命题

正难则反!

牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”

三、归纳步骤
反证法的一般步骤
分清条件和结论 先假设命题的结论不成立

从假设出发,经过推理
得出矛盾

否定假设
肯定原命题

1、写出用“反证法”证明下列命题的 “假 设”.

六、巩固新知:

(1)互补的两个角不能都大于90°.
假设互补的两个角都大于90°.

(2)△ ABC 中 , 最多有一个钝角 假设△ABC中,至少有两个钝角
(3) “若a2≠ b2,则a ≠ b”
假设a=b


尝试练习
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.

证:

假设这个数是奇数,可以设为2k+1, 则有

k ? Z.

(2k ? 1)2 ? 4k 2 ? 4k ? 1



不是偶数 4k 2 ? 4k ? 1 (k ? Z) 这与原命题条件矛盾. 所以原命题成立

肯定条件

五、全课总结
1、知识小结: 反证法证明的思路:假设命题的结 论不成立→正确的推理,得出矛盾→否定 假设,肯定待证明的命题 2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准 确而全面的找出命题结论的反面。“至 少”的反面是“没有”,“最多”的反 面是“不止”。

常用的互为否定的表述方式: ≥1 <1
<3 至少有一个≥3 —— 一个也没有 ≥n <n 至多有两个 至少有三个——
≤1 至多有(n-1) >1 至少有n个—— 个 最多有一个—— 至少有两个

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
等于

否定词
不等于 不是 不都是 不大于 不小于

原词语 任意的
至少有一个

否定词
某个

是 都是 大于 小于

一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有(n-1)个 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某个x, 成立

对任何x, 对所有x, 存在某个x, 不成立 成立 不成立



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