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黑龙江省哈尔滨市第三中学2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题


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2016 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 理科数学答案 一、选择题 DABDD CCACC AD

二、填空题

13.

19 50

14 .

1

15. ①

16.

? 4

三.解答题 17.(1)由 an?1 ? 3an ? 2 有, an?1 ? 2
n

n ?1

? 3(an ? 2 n ) ,又 a1 ? 2 ? 3 ,

所以 a n ? 2

?

n

?是以 3 位首相,3 为公比的等比数列…………………..5 分
n n

(2)由(1)知 an ? 3 ? 2 ,……………………………………..6 分 又 3n ? 2 n ? 2 n (n ? 2) ,……………………………………9 分 故

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ?1? 3 ? ??? ? ? 2 ??? n ? 1? 2 ? 3 ??? n ? ? ? ? ? 2 n a1 a 2 an 1 3 ? 2 2 ?2? 2 3 ?2 2 2 2
……………………………….12 分

n

18.(1)

11 …………………………….4 分 14

(2)X 的可取值为 3,4,5……………………..5 分
1 C32 C2 5 ? ? ……………………………………………………..7 分 4 4 C8 C8 70

P( X ? 3) ?

P( X ? 4) ?

1 3 2 C2 C5 C 2 C52 30 ? ? ………………………………………………...9 分 4 70 C8 C84

P( X ? 5) ?

3 C7 35 ? ……………………………………………….11 分 4 C8 70

X 的分布列为

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X P

3

4

5

1 14

3 7

1 2

…………………12 分

19.(1)因为平面 PEF ? 平面ABD ,平面

PEF ? 平面ABD ? EF , PO ? PEF ,? PO ? ABD
则 PO ? BD ,又 AO ? BD, AO ? PO ? O, AO ? APO, PO ? APO,? BD ? APO

? AP ? APO,? BD ? PA ………………………………….6 分
(2)以 O 为原点, OA为x轴,OF为y轴,OP为z轴, 建立坐标系,则

O(0,0,0), A(3 3,0,0), P(0,0, 3), B( 3,2,0) ,……………………………8 分
设 n ? ( x, y, z)为平面OAP的一个法向量, 则 n ? (0,1,0) , m ? ( x, y, z)为平面ABP的一个法向量, 则 m ? (1, 3,3) …….10 分

?

?

?

?

? ? m?n 3 30 cos ? ? ? ? ? ,? tan ? ? …………………………..12 分 mn 3 13
20.(1)设 A( x0 , y 0 ), 则B(? x0 ,? y 0 ), M (

x0 ? 2 y 0 2 ? x0 ? y 0 , ), N ( , ) …………….2 分 2 2 2 2

? ? 1 2 1 2 2 2 ? y0 ? 5 ,…………………….4 分 OM ? ON ? 1 ? ( x0 ? y0 ) ? ? ,则 x0 4 4
所以 AB 的长为 2 5 ……………………………5 分 (2)设 l 方程为 y ? kx ,和椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 联立消元整理得 a2 a2 ? 4

x0 ?

2

a 2 (a 2 ? 4) a 2 (a 2 ? 4)k 2 2 , y ? , …………………7 分 0 a2 ? a2k 2 ? 4 a2 ? a2k 2 ? 4
2 0

a 2 (a 2 ? 4)(1 ? k 2 ) (a 2 ? 5)(a 2 ? 4) 3 2 ? 5, k ? ? ………….10 分 又 x ? y ? 5 ,则 2 a2 ? a2k 2 ? 4 a 2 (9 ? a 2 )
2 0

则 8 ? a 2 ? 9,2 2 ? a ? 3 ,长轴长范围是 4 2 ,6 …………………….12 分
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?

?

21. (1)解: f ?( x) ? e ? x ?
x

1 ,令 g ( x) ? f ?( x) ,则 g ?( x) ? e x ? 1 , 2

则当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0, f ?( x) 单调递减,当 x ? (0,??) 时, g ?( x) ? 0, f ?( x) 单调递 增. 所以有 f ?( x) ? f ?(0) ?

1 ? 0 ,所以 f ( x)在?-?, ? ??上递增…………………4 分 2

(2)当 x ? 0 时, f ?( x) ? e x ? x ? a ,令 g ( x) ? f ?( x) ,则 g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,则 f ?( x) 单调递 增, f ?( x) ? f ?(0) ? 1 ? a

? ??上递增, f ( x) ? f (0) ? 0 成立; 当 a ? 1 即 f ?( x) ? f ?(0) ? 1 ? a ? 0 时, f ( x)在?0,
当 a ? 1 时,存在 x0 ? (0,??) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,则 f ( x)在?0,x0 ?上递 减,则当 x ? (0, a) 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,不合题意.综上 a ? 1 ………………………….8 分 (3)? F ( x) ? e x ? e ? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x ? x ? e ?( x ? x ) ? e x ? x ? e ? x ? x ? e x ? x ? e ?( x ? x ) ? 2 ? e x ? x ? 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

? F (1) F (n) ? e n?1 ? 2 ,
F (2) F (n ? 1) ? e n?1 ? 2
……

F (n) F (1) ? e n?1 ? 2 .
由此得,

[ F (1) F (2) ? F (n)]2 ? [ F (1) F (n)] ? [ F (2) F (n ? 1)] ? ? ? [ F (n) F (1)] ? (e n?1 ? 2) n
故 F (1) ? F (2) ? ? ? F (n) ? (e n ?1 ? 2) 2 ( n ? N ? ).……………………….12 分 22.(1)连结 DC , 因为 ?PCE ? ?ACB ? ?ADB ,
n

E

C

A

?PCD ? ?ABD , 又因为 AB ? AD ,

P

D

B
.

O

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所以 ?ABD ? ?ADB , 所以 ?PCE ? ?PCD .·················3 分 由已知 ?PEB ? ?PAB , ?PDC ? ?PAB , 所以 ?PEC ? ?PDC , 且 PC ? PC , 所以 ?PEC ? ?PDC , 所以 PE ? PD .················5 分 (2) 因为 ?ACB ? ?PBA , ?BAC ? ?PAB 所以 ?ABC ∽ ?APB , 则 AB 所以 AP ? AB
2 2 2

? AP ? AC ? AP( AP ? PC ),

? AP ? PC ? PD ? PB ? PD(PD ? BD)

又因为 PD ? AB , AB ? 1 , 所以

AP 2 ? 2 AB 2 ? AB ? BD ?
所以 AP
2

3 ,················8 分

? 2?

3.

所以 AP ?

2 ? 2

6

.················10 分

23.(1)求圆 C 的直角坐标方程 ( x ? 2) ? y ? 4 ……………….3 分
2 2

? x ? 2? ? ? (2)设点 A、B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,将 ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 代入 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 整理得 2 t 2

?t1 ? t 2 ? ? 2 ,…………………..5 分 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ,则 ? ? t1? t 2 ? ?3
又|PA|+|PB|= t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1t 2 ? 14 ……………………..10 分
2

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24.(1)由 2 x ? m ? 1 有

m ?1 m ?1 ?x? ,……………………….2 分 2 2

m ?1 ? ?2 ? 2 ? 3 关于 x 的不等式 2 x ? m ? 1 的整数解有且仅有一个值为 3 ,则 ? ,即 5 ? m ? 7 , m ?1 ?3 ? ?4 2 ?
又 m 为整数,则 m ? 6 ……………………5 分 (2)由 4a 4 ? 4b 4 ? 4c 4 ? 6 有 a ? b ? c ?
4 4 4

3 , 2

由柯西不等式有 a ? b ? c
2 2

?

2 2

? ? ?1

2

? 12 ? 12 (a 2 ) 2 ? (b 2 ) 2 ? (c 2 ) 2 ?

??

?

9 2

当且仅当 a ? b ? c ?

4

1 时,等号成立,……………..8 分 2

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 的最大值为

3 2 …………………10 分 2

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