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2013年浙江高考理科数学试题及答案解析


2013 年浙江高考理科数学试题及答案解析 (word 版)

浙江卷数学(理)试题答案与解析
选择题部分(共 50 分)
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1.已知 i 是虚数单位,则(?1+i)(2?i)= A.?3+i B.?1+3i C.?3+3i D.?1+i 【命题意图】本题考查复数的四则运算,属于容易题 【答案解析】B 2.设集合 S={x|x>?2},T={x|x2+3x?4≤0},则(? RS)∪T= A.(?2,1] B.(?∞,?4] C.(?∞,1] D.[1,+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算,属于容易题 【答案解析】C 因为(? RS)={x|x≤?2},T={x|?4≤x≤1},所以(? RS)∪T=(?∞,1]. 3.已知 x,y 为正实数,则 A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy C.2lgx ? lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx ? 2lgy D.2lg(xy)=2lgx ? 2lgy

【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质,属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则,易知选项 D 正确 π 4.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ?R),则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性,属于中档题 π 【答案解析】B 由 f(x)是奇函数可知 f(0)=0,即 cosφ=0,解出 φ= 2 +kπ,k?Z,所以选项 B 正确 9 5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则 5 A.a=4 C.a=6 【答案解析】A 6.已知 α?R,sin α+2cos α= A. 4 3 10 ,则 tan2α= 2 3 B. 4 4 D.? 3 B.a=5 D.a=7
开始 S=1,k=1 是

k>a? 否 1 S=S+ k(k+1)

k=k+1

【命题意图】本题考查算法程序框图,属于容易题
输出 S

结束 (第 5 题图)

3 C.? 4

【命题意图】本题考查三角公式的应用,解法多样,属于中档题

2013 年浙江高考理科数学试题及答案解析 (word 版)
2 2 αcos α 10 ? 10? 可得sin α+4cos2 α+4sin 【答案解析】C 由(sin α+2cos α) = = ,进一步整理可 sin α+cos2α 4 ? 2 ? 2 2

1 2tan α 3 得 3tan2α?8tan α?3=0,解得 tan α=3 或 tan α=? ,于是 tan2α= =? . 3 1?tan2α 4 1 →→ → 7.设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 P0B= AB,且对于 AB 上任一点 P,恒有 PB ? PC ≥P0B 4 → ?P0C,则 A.?ABC=90? B.?BAC=90? C.AB=AC D.AC=BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义,不等式恒成立的有关知识,属于中档题 → → 【答案解析】D 由题意,设| AB |=4,则|P0B|=1,过点 C 作 AB C 的垂线,垂足为 H,在 AB 上任取一点 P,设 HP0=a,则由 → → → → → 数 量 积 的 几 何 意 义 可 得 , PB ? PC =| PH || PB |=( | PB | → →→ → → →→ →→ ?(a+1))| PB |, P0B?P0C=?|P0H||P0B|=?a, 于是 PB ? PC ≥P0B?P0C B P0 → → → A P H 恒成立,相当于 (| PB | ?(a+1))| PB |≥?a 恒成立,整理得 | PB → |2?(a+1)| PB |+a≥0 恒成立, 只需?=(a+1)2?4a=(a?1)2≤0 即可, 于是 a=1, 因此我们得到 HB=2, 即 H 是 AB 的中点,故△ABC 是等腰三角形,所以 AC=BC 8.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1,2),则 A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念,属于中档题 【答案解析】C 当 k=1 时,方程 f(x)=0 有两个解,x1=0,x2=1,由标根法可得 f(x)的大致图 象,于是选项 A,B 错误;当 k=2 时,方程 f(x)=0 有三个解,x1=0,x2=x3=1,其中 1 是二 重根,由标根法可得 f(x)的大致图象,易知选项 C 正确。
k=1 k=2

0

1

0

1

x2 9.如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1与双曲线 C2 的公共焦 4 点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若 四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率为 A. 2 B. 3 3 6 C. D. 2 2 【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质, 属于中档题

y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

【答案解析】 D 由题意, c= 3 , |AF2|+|AF1|=4??①, |AF2|?|AF1|=2a??②, ①+②得|AF2|=2+a,

2013 年浙江高考理科数学试题及答案解析 (word 版)
c 6 ①?②得|AF1|=2?a,又|AF1|2+|AF2|2=| F1F2|2,所以 a= 2,于是 e= = . a 2 10.在空间中,过点 A 作平面 π 的垂线,垂足为 B,记 B=fπ(A).设 α,β 是两个不同的平面, 对空间任意一点 P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有 PQ1= PQ2,则 A.平面 α 与平面 β 垂直 C.平面 α 与平面 β 平行 B.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 45? D.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 60?

【命题意图】本题考查新定义问题的解决,重在知识的迁移,属于较难题 【答案解析】A 用特殊法立即可知选项 A 正确

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:每小题 4 分,共 28 分. 1? 11.设二项式? ? x? 3 ? 的展开式中常数项为 A,则 A= x? ? 【命题意图】考查二项式定理,属于容易题 【答案解析】?10 12.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的 体积等于 【答案解析】24 三棱锥所得 cm . 由题意,该几何体为一个直三棱柱截去一个
俯视图 (第 12 题图)
3 5



4 3 2 正视图 3

3

侧视图

【命题意图】本题考查三视图和体积计算,属于容易题

? ? x+y?2 ≥ 0 , 13.设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x?2y+4≥0,若 z 的最大值为 12,则实数 k= ? 2 x?y?4 ≤ 0 . ?
【命题意图】本题考查线性规划,属于容易题 【答案解析】2 作出平面区域即可 14. 将 A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排, 且 A, B 均在 C 的同侧, 则不同的排法有 (用数字作答) . 【命题意图】本题考查排列组合,属于中档题 【答案解析】480





第一类,字母 C 排在左边第一个位置,有 A5 5种;第二类,字母 C 排在

3 2 3 2 3 左边第二个位置,有 A2 4A3种;第三类,字母 C 排在左边第三个位置,有 A2A3+ A3A3种,由 2 3 2 3 2 3 对称性可知共有 2?( A5 5+ A4A3+ A2A3+ A3A3)=480 种。

15.设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 F(?1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点.若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于 . 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题 ?y=k(x+1), 【答案解析】 ±1 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 联立? 2 消去 y 得 k2x2+(2k2?4)x+k2=0, ? y =4x. 2k2?4 x A+ x B 2 2 由韦达定理,xA+ xB =? 2 ,于是 xQ= = 2?1,把 xQ 带入 y=k(x+1),得到 yQ= ,根据 k 2 k k |FQ|=

? 22?2? +?2? =2,解出 k=±1. ?k ? ?k?

2

2

2013 年浙江高考理科数学试题及答案解析 (word 版)
1 16.在△ABC,?C=90?,M 是 BC 的中点.若 sin?BAM= ,则 sin?BAC= 3 【命题意图】本题考查解三角形,属于中档题 【答案解析】 = 6 3 设 BC=2a, AC=b, 则 AM= a2+b2, AB= 4a2+b2, sin?ABM= sin?ABC= AC AB .

b BM AM a 在△ABM 中, 由正弦定理 = , 即 = 2 2 , 1 sin ? BAM sin ? ABM 4 a +b 3 BC = AB 2a 6 = . 4a2+b2 3

a2+b2 , 解得 2a2=b2, b 4a2+b2

于是 sin?BAC=

π |x| 17.设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y?R.若 e1,e2 的夹角为 ,则 的最大值 6 |b| 等于 . 【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题,属于较难题 |x| |x| |x| 1 1 【答案解析】2 = = = 2 = 2 2 2 2 2 |b| (xe1+ye2) x +y + 3xy x +y + 3xy ?y? + 3y+1 x2 ?x? x 1 |x| = ,所以 的最大值为 2 2 |b| ? y? 3 ? + 1 ?x 2 ? 4 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 18. (本小题满分 14 分)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等 比数列 (Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|. 【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念,等差数列通项公式、求和公式等基础 知识,同时考查运算求解能力。 【答案解析】 (Ⅰ)由题意 5a3? a1=(2a2+2)2, 即 d2?3d?4=0. 故 d=?1 或 d=4. 所以 an=?n+11,n?N*或 an=4n+6,n?N* (Ⅱ)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0,由(Ⅰ)得 d=?1,an=?n+11.则 当 n?11 时, 1 21 |a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn=? n2+ n 2 2 当 n?12 时,

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1 21 |a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=?Sn+2S11= n2? n+110 2 2 综上所述, 1 2 21 ? ??2n + 2 n, n?11, |a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=? 1 21 2 ? ? 2n ? 2 n+110,n?12. 19. (本题满分 14 分)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球 得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (Ⅰ)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球, 记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; (Ⅱ) 从该袋子中任取 (每球取到的机会均等) 1 个球, 记随机变量 η 为取出此球所得分数. 若 5 5 Eη= ,Dη= ,求 a∶b∶c. 3 9 【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念, 同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 【答案解析】 (Ⅰ)由题意得 ξ=2,3,4,5,6 故 3?3 1 P(ξ=2)= = , 6?6 4 2?3?2 1 P(ξ=3)= = , 6?6 3 2?3?1+2?2 5 P(ξ=4)= = , 18 6?6 2?2?1 1 P(ξ=5)= = , 6?6 9 1?1 1 P(ξ=6)= = , 6?6 36 所以 ξ 的分布列为 ξ P 2 1 4 η P 所以 Eη= a 2b 3c 5 + + = a +b +c a +b +c a +b +c 3 3 1 3 1 a a +b +c 4 5 18 2 b a + b +c 5 1 9 3 c a +b +c 6 1 36

(Ⅱ)由题意知 η 的分布列为

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5 a ? 5? b ? 5? c 5 Dη= ? 1 ? ? ? ? 3? a+b+c+?2?3? ?a+b+c+?3?3? ?a+b+c=9 化简得
?2a?b?4c=0, ? ?a+4b?11c=0
2 2 2

解得 a=3c,b=2c,故 a∶b∶c=3∶2∶1 20. (本题满分 15 分)如图,在四面体 A?BCD 中,AD?平面 BCD, BC?CD,AD=2,BD=2 2.M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点, 点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC. (Ⅰ)证明:PQ∥平面 BCD; (Ⅱ)若二面角 C?BM?D 的大小为 60?,求?BDC 的大小. 【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,二面角等基 础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解 能力。 【答案解析】 (Ⅰ)取 BD 的中点 O,在线段 CD 上取点 F,使得 DF=3FC, 连接 OP,OF,FQ. 因为 AQ=3QC,所以 1 QF∥AD,且 QF= AD 4 因为 O,P 分别为 BD,BM 的中点,所以 OP 是△BDM 的中位线,所以 1 OP∥DM,且 OP= DM 2 又点 M 是 AD 的中点,所以 1 OP∥AD,且 OP= AD 4 从而 OP∥FQ,且 OP=FQ 所以四边形 OPQF 是平行四边形,故 PQ∥OF 又 PQ?平面 BCD,OF?平面 BCD,所以 PQ∥平面 BCD. (Ⅱ)作 CG?BD 于点 G,作 GH?BM 于点 HG,连接 CH,则 CH?BM,所以?CHG 为二 面角的平面角。设?BDC=θ. 在 Rt△BCD 中, CD=BDcos θ=2 2cos θ, CG=CDsin θ=2 2cos θsin θ, BG=BCsin θ=2 2sin2θ
C (第 20 题图) B P Q D A

M

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在 Rt△BDM 中, HG= 在 Rt△CHG 中, tan?CHG= 所以 tan ?= 3 从而 CG 3cos θ = = 3 HG sin θ BG?DM 2 2sin2θ = BM 3

?=60?
即?BDC=60?. x2 y2 21. (本题满分 15 分)如图,点 P(0,?1)是椭圆 C1: 2+ 2=1 a b l1 (a>b>0)的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2: x2+y2=4 的直径. l1, D B l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A, B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D. O x (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. P 【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置 A 关系,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析 l2 几何的基本思想方法和综合解题能力 (第 21 题图) 【答案解析】 (Ⅰ)由题意得 ?b=1, ? ?a=2. 所以椭圆 C 的方程为 x2 2 +y =1. 4 (Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k,则 直线 l1 的方程为 y=kx?1. 2 2 又圆 C2:x +y =4,故点 O 到直线 l1 的距离 1 d= 2 , k +1 所以 4k2+3 |AB|=2 4?d2=2 . k2+1 又 l1?l2,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. 由 ky+k=0, ?x+2 ? x +y2=1. ? 4 消去 y,整理得 (4+k2)x2+8kx=0
y

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故 x0=? 所以 |PD|= 设△ABD 的面积为 S,则 1 8 4k2+3 S= |AB|?|PD|= , 2 4+k2 所以 S= ? 13 4k2+3+ 2 4k2+3 32 32 4k2+3 ? 13 4k2+3 = 16 13 , 13 8 k2+1 . 4+k2 8k . 4+k2

当且仅当 k=±

10 时取等号 2 所以所求直线 l1 的方程为 y=±

10 x? 1 2 22. (本题满分 14 分)已知 a?R,函数 f(x)=x3?3x2+3ax?3a+3 (Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当 x?[0,2]时,求|f(x)|的最大值. 【命题意图】本题考查导数的几何意义,导数应用等基础知识,同时考查推理论证能力,分 类讨论等分析问题和解决问题的能力 【答案解析】 (Ⅰ)由题意 f ?(x)=3x2?6x+3a,故 f ?(1)=3a?3.又 f(1)=1,所以所求的切线方程为 y=(3a?3)x?3a+4 (Ⅱ)由于 f ?(x)=3(x?1)2+3(a?1),0x?2.故 (ⅰ)当 a?0 时,有 f ?(x) ?0,此时 f(x)在[0,2]上单调递减,故 |f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3?3a (ⅱ)当 a?1 时,有 f ?(x) ?0,此时 f(x)在[0,2]上单调递增,故 |f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}= 3a?1 (ⅲ)当 0<a<1 时,设 x1=1? 1?a,x2=1+ 1?a,则 0< x1< x2<2,f ?(x)=3(x? x1)(x? x2) 列表如下:
x f ?(x) f (x) 3?3a 0 (0,x1) + 单调递增 x1 0 极大值 f (x1) (x1,x2) ? 单调递减 x2 0 极小值 f (x2) (x2,2) + 单调递增 2

3 a ?1

由于 f(x1)=1+2(1?a) 1?a,f(x2)=1?2(1?a) 1?a, 故 f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)?f(x2)=4(1?a) 1?a>0 从而 f(x1)>| f(x2)|. 所以

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|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)} 2 (1)当 0<a< 时,f(0)>|f(2)|. 3 又 f(x1)? f(0)=2(1?a) 1?a?(2?3a)= 故 |f(x)|max= f(x1)=1+2(1?a) 1?a. 2 (2)当 ?a<1 时,|f(2)|=f(2),且 f(2)?f(0). 3 又 f(x1)? |f(2)|=2(1?a) 1?a?( 3a ?2)= 所以 2 3 ①当 ?a< 时,f(x1)> |f(2)|.故 3 4 |f(x)|max= f(x1)=1+2(1?a) 1?a. 3 ②当 ?a<1 时,f(x1) ? |f(2)|.故 4 |f(x)|max=| f(2)|= 3a?1. 综上所述,
a2(3?4a) 2(1?a) 1?a+ 3a ?2 a2(3?4a) >0 2(1?a) 1?a+2?3a

|f(x)|max

? ?1+2(1?a) =? ? ?3a?1,

3 ?3 a ,

a? 0 ,
3 1?a, 0<a< , 4 3 a? . 4


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