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2013石家庄市高中毕业年级质检一数学(文)试卷及答案



2013 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一) 高三数学(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)

A、

1 2

B、1

C、

3 2

D、2
?x

8、函数 f ( x) ? log a x 与 g ( x) ? b

(其中 a ? 0, a ? 1, ab ? 1) 的图象可能是

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题分,给出的选项中只有一项符合题目要求。 1、若集合 A={x|x>-2},B={x|-3<x<3},则 A ? B= A、{x|x>-2} B、{x|-2<x<3} C、{x|x>-3} D、{x|-3<x<3} 9、若 cos( 2、已知幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,8) ,则 f(3)的值为 A、9 B、27 C、54 D、16 2

7 ? ? 2 x) ? ? ,则 cos( ? x) 的值为 3 8 6 1 1 7 7 A、- B、± C、 D、± 4 4 8 8

?

3、一支田径队有男运动员 36 人,女运动员 24 人,若用分层抽样的方法从 该队的全体运动员中抽取一个容量为 20 的样本,则抽取男运动员的人数为 A 、9 B、12 C、15 D、18

10、 已知圆 x2+y2-2x-4y+a-5=0 上有且仅有两个点到直线 3x-4y-15=0 的距离为 1, 则实 数 a 的取值范围为 A、 (5,7) B、 (-15,1) C、 (5,10) D、 (- ? ,1)

4、如右上图中,矩形长为 6,宽为 4,向矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆内的黄豆数 204,则以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 A 、7.68 B、16.32 C、17.28 D、8.68

11、如图,棱长为 1 的正方体 ABC-A1B1C1D1 中,E,F 为 A1C1 上两动点,且 EF= 论中错误的是 A、BD⊥CE B、△CEF 的面积为定值 C、四面体 BCEF 的体积随 EF 的位置的变化而变化 D、直线 BE 与 CF 为异面直线 12、设 F1,F2 分别为双曲线

1 ,则下列结 2

5、如右图所示,程序框图输出的结果为 A、15 B、16 C、136 D、153

?x ?1 ? 0 ? 6、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 0 ,表示的 ?x ? y ? 4 ? 0 ?
平面区域的面积是 A、3

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的两个焦点,点 A 是以 F1 为圆心,b 为半径 a 2 b2

的圆与双曲线的一个交点,且 AF2 与圆相切,则该双曲线的离心率为 C、6 D、9 A、2 3 B、 3 C、2 5 D、 5

9 B、 2

7、已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、若 a, b ? R ,i 为虚数单位,且 a+2i=i(b+i) ,则 a+b=___。 14、某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为___ 15、定义运算 n 满足 其中θ 为向量 a,b 的夹角,若向量 m, m?n=-1,则 的值为____

20、 (本小题满分 12 分) 某班 B 两组各有 8 名学生,他们期中考试的美术成绩如下: A 组:66 68 72 74 76 78 82 84 B 组:58 62 67 73 77 83 88 92 (I) 补全下列茎叶图:

16、当 n ? N * 时,定义函数 N(n)表示 n 的最大奇因数,如

则 S(5)=____。 三、解答题(70 分) 17、 (本小题满分 10 分)已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 2a7 , S 4 ? 17 (1)求数列{ an }的通项公式。 已知椭圆 C: (2)求数列{ an }的前 n 项和 Sn学科网 的最大值。 18、 (本小题满分 12 分) 在一次抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,为测 量 A,B 两地的距离,救援人员在相距 l 米的 C,D 两地(A,B,C, D 在同一平面上) ,没得∠ACD=45°,∠ADC=75°,∠BCD=30°, ∠BDC=15°(如右图) 。考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因, 实际所需电线长度大约应该是 A,B 距离的 1.2 倍,问救援人员至少应该准备多长的电线? 19、 (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=1,AB= 2 ,点 E,F 分别为 AB,PC 中 点。 (I)求证:EF⊥PD; (II)求 EH 咪到平面 PDC 的距离。 22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (I)求实数 a 的值; (II) g ( x) ? ( x ? 3)e ? m (e 为自然对数的底数) ,若存在 x1 ? (0,2) ,对任意 x2 ? [2,3) ,
x

(II)分别计算这两组学生美术成绩的平均数、标准,并对它们的含义进行解释。 21、 (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点、上顶点分别为 M,N,过其左焦点 F 作直线 a 2 b2

l 垂直于 x 轴,且与椭圆在第二象限交于点 P, MN ? ? OP 。 (1)求证: a ? b ; (2)若椭圆的弦 AB 过点 E(2,0)并与坐标轴不垂直,设点 A 关于 x 轴的对称点 A1,直线 A1B 与 x 轴交于点 R(5,0) ,求椭圆 C 的方程。

???? ?

??? ?

2a ? 6ln x 在 x=2 处取得极值。 x

总有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥0,求实数 m 的取值范围。

高三数学(文科答案)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5 CBBBC 6-10 DCCBB 11-12CD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 1 14 3 15

根据正弦定理

CD sin 45? 6 AD CD ,∴ AD ? ? l, ? ? ? ? sin 60 3 sin 45 sin 60

……….4分

在 ?BCD 中, ?CBD ? 180 0 ? ?BCD ? ?BDC ? 135 0 , ?BCD ? 30 0

3

16

342

根据正弦定理BD=

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ?的公差为 d .

CD sin 30? 2 ? CD sin135? 2

, BD ?

CD sin 30? 2 ? l ? sin135 2

…………………….8分

又在 ?ABD 中, ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90 0 根据勾股定理有

?a1 ? 2d ? 2(a1 ? 6d ) ? 由已知 a3 ? 2a7 , S 4 ? 17 ,得 ? ,………………2 分 4?3 4a1 ? d ? 17 ? ? 2 ?a1 ? 5 ?n 11 ? 解得 ? ? .……………5 分 1 ,? an ? 2 2 ?d ? ? 2 ? ? S n ? 5n ? n(n ? 1) ? 1 ? 1? 21 ? 441 . ?? ? ? ? ?n? ? ? 2 ? 2? 4? 2? 16 ……………8 分
2

AB ? AD 2 ? BD 2 ?

2 1 42 ? CD = l 3 2 6
42 l 5

…………………………10分

实际所需电线长度约为 1.2 AB ?

所以救援人员至少应该准备

42 l 米的电线.………………………….12 分 5

(Ⅱ)法一:

19. (Ⅰ) 解:取 PD 中点 M,F 为 PC 中点,连结 AM, MF,

1 ? 当 n 取10或11时, S n 取最大值 27 .……………10 分 2
法二:? 数列 ?an ?的 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,? 此等差数列 ?an ?是首项为正数的递减数列. 当 n ? 11 时, an ?
?

? MF / /

1 DC , 2

11 ? n ? 0 ;所以当 1 ? n ? 11且n ? N ? 时,有 an ? 0; 2

1 DC ? MF / / AE ? AM / /EF ,……………3 分 2 P 又 PA ? AD ,? M 为 PD 中点,? AM ? PD , ? EF⊥PD.……………6 分
又 E 为 AB 的中点? AE / / (Ⅱ)法 一 : ? PA ? 平面ABCD,C D ? 平面 ABCD , M D A E .

F . C B

当 n ? 12且n ? N 时,有 an ? 0 .……………8 分 综 上 : 当 n 取 10 或 11 时 , S11 ? S10 ? 27

? PA ? C D , 又 AD ? CD
1 . 所 以 Sn 取 最 大 值 2
A

? CD ? 平面PAD , ? AM ? 平面PAD ,

1 27 .………………10 分 2 18. (本小题满分 12 分)
解:依题意, CD ? l , ?ACD ? 45 ,
0

? AM ? CD , 又 AM / /EF ,所 以 EF ? CD ,……………8 分
45 ? 30 ?

C

15?

75 ?

D

又 EF⊥PD , C D ? 平面PDC , PD ? 平面PDC ? EF ? 平面PCD 点 E 到 平 面 PC D 的 距 离 即 为 E F 的 长 度 , … … … … … 1 0 分

B
在 ?ACD 中, ?CAD ? 180 0 ? ?ACD ? ?ADC ? 60 0 ,

? EF ? AM ?

2 .……………12 分 2

法 二 : ? VP ? DCE ?

1 1 ?1 2 ? ,……………8 分 ? S ?DEC ? PA ? ? ? ? 2 ? 1? ? 1 ? 3 3 ?2 6 ?
2, PC ? 2 ,

? x ? ? c, b2 b2 ? 又由 ? x 2 y 2 ,得 P ( ?c, ) ,?OP ? ( ?c, ) a a ? 2 ? 2 ? 1. b ?a
由 MN ? ? OP ,得 ?? a ? ? 由 a 2 ? b2 ? c2 得 a ?

???? ?

??? ?

又 ?PAD, ?PAC 为直角三角形,由勾股定理得: PD ?
2 2 2

b2 ? b ? ?? c ? ? 0 ,化简得 b ? c ;……………….2 分 a
…………….4 分
2 2 2

? CD ? 2 , 所以 CD ? PD ? PC , ?PDC 是直角三角形, S ?PDC ? 1, ………………10 分
设 点 E 到 平 面 PD C 的 距 离 为 d , 由 VE ? PDC ? VP? DCE . 得d?

2b .

(Ⅱ)由(1) ,椭圆方程可设为 x ? 2 y ? 2b ; , ? 弦 AB 经 过 点 E ( 2,0 ) 并 与 坐 标 轴 不 垂 直 , ? 设 直 线
P

y
A N

2 .… … … … … 12 分 2

AB : y ? k ( x ? 2) ,
F1 E B A1

R M

x

? x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 2 2 2 2 2 由? 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2b ? 0 . y ? k ( x ? 2) ?
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

20 解: (Ⅰ)

A组 5 8 8 6 4 4
………6 分

B组 8 2 3 3 2 7 7 8
x1 ? x2 ?

8k 2 ? 2b 2 8k 2 , x1 x2 ? .…………①…….6 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

6 2 2

6 7 8 9

? 点 A 关于 x 轴的对称点为 A1,? A1 ( x1 , ? y1 ),
由 A1 , B, R 共线得 A1 R // BR , 又 A1 R ? (5 ? x1 , y1 ), BR ? (5 ? x 2 ,? y 2 )

? ?5 ? x1 ?(? y 2 ) ? y1 (5 ? x 2 ) ? 0
化简得 2 x1 x2 ? 20 ? 7( x1 ? x2 ) ② ……………… 10 分

(Ⅱ) x A =75, s A = 35 , x B =75, sB = 131.5 ,……………10 分 从平均数来看,A,B 两组的学生平均成绩相同;从标准差看,由于 s A < sB ,A 组学生的成绩比 B 组 学生较集中.………………12 分 21.解: (Ⅰ)由椭圆方程

8k 2 ? 2b 2 8k 2 ? 20 ? 7 ? 将①式带入②中得 2 ? .解得 b 2 ? 5 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 得 M、N 的坐标为 M (a, 0) ,N (0, b) ,则 a 2 b2

???? ? MN ? (? a, b) ,
又过椭圆左焦点 F 作直线 l 垂直 x 轴,设直线 l 方程: x ? ?c

x2 y2 ? ? 1 .……………………..12 分 10 5

22.解: (Ⅰ) x ? ?0,?? ? .

2a 6 ax 2 ? 6 x ? 2a , f ( x) ? a ? 2 ? ? x x x2
'

? 函数 f (x)=ax- x -6lnx 在 x ? 2 处取得极值

2a

? f ?(2) ? 0 ,即

a ? 2 2 ? 6 ? 2 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 2 …………2 分 4
2( x ? 1)( x ? 2) x2

检验: 当 a ? 2 时 f ' ( x) ?

? x ? ?1, 2 ? , f ?( x) ? 0 ; x ? ? 2, ?? ? , f ?( x) ? 0 ; ? 函数 f (x)在 x ? 2 处有极小值. 所以 a ? 2 . ……………4 分 4 2( x ? 1)( x ? 2) (Ⅱ)由(1)知,f (x)=2x- -6lnx, f ' ( x) ? x x2
当 x ? ? 0,1? 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 在 ?0,1? 上是增函数; 当 x ? ?1, 2 ? 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 在 ?1,2 ? 上减函数; 所以 f (x) 在 ?0,2 ? 上的最大值为 f (1) ? ?2 .………………7 分 因 为 g (x)=(x-3)e -m , 所以 g ( x) ? ( x ? 2)e ? 0 在[2,3]上恒成立
x

'

x

所以 g (x) 在 ?2,3? 上单调递增,其值域为 ? e ? m,? m ……………10 分
2

?

?

若存在 x1∈(0,2),对任意 x2∈[2,3],总有 f (x1)- g (x2)≥0 成立 即 f ( x) max ? g ( x) max , 也就是 ? 2 ? ? m , 即 m ? 2 .………………12 分



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