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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(5)



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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(五)
姓名: 班级 : 分数 :

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1. 数列 {an } 满足: 且 an?2 ?| an?1 | ?an (n ? N * ) . 记 {a

n } 前 n 项的和为 S n , a1 ? 1, a2 ? 3 , 则 S100 ? .

2.在△ ABC 中,已知 ? B 的平分线交 AC 于 K.若 BC=2,CK=1, BK ? 面积为 .

3 2 ,则△ ABC 的 2

3 .设 n ? 100 ,则使得 (a ? b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n 为 . 4.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出 3 个数,使它们的和能被 3 整除,不同的取法 种数为 . 5.若 x, y , z 均为正实数,且 x ? y ? z ? 1,则 S ?
2 2 2

( z ? 1) 2 的最小值为 2 xyz



6 .设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4


?F1MF2 ? 2? ,△ MF1F2 的内心为 I,则 | MI | cos? ?
1 2

3 2 7 . 对 于 一 切 x ? [ ?2, ] , 不 等 式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

为 . 8. 将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上, 且任意三个相邻的数之和不小于 58. 所 有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 . 二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ? N ,有
*

(n ? 1)an 1 ,且 a n ?1 ? 4 n ? an

(n ? 2,3,4,?) .

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

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10.设 P ? x ? 6 x ? 11x ? 3x ? 31,求使 P 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

11.已知直线 y ? x 与椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾斜角 16 11

为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程.

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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(五) 详细解答
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 an?2 ?| an?1 | ?an (n ? N * ) .记 {an } 前 n 项的 和为 S n ,则 S100 ? 89 .

2. 在△ ABC 中, 已知 ? B 的平分线交 AC 于 K. 若 BC=2, CK=1,BK ?

3 2 , 则△ ABC 2

的面积为

15 7 16



0 0 , 3. 设n ?1 则使得 (a ? b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n
为 98 . 4.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出 3 个数,使它们的和能被 3 整除,不同的 取法种数为 327 .
2 2 2 5 . 若 x, y , z 均 为 正 实 数 , 且 x ? y ? z ? 1 , 则 S ?

( z ? 1) 2 的最小值为 2x y z

3? 2 2



6.设椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,M 为椭圆上异于长轴端点的一点, 4
2? 3


?F1MF2 ? 2? ,△ MF1F2 的内心为 I,则 | MI | cos? ?
1 2

3 2 7.对于一切 x ? [ ?2, ] ,不等式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为

? 10 ? a ? ?1



8.将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小 于 58.所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 26 .

二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ?

1 ,且 4

an?1 ?

(n ? 1)an n ? an

(n ? 2,3,4,?) .

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(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ? N ,有
*

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?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

解 (1)由已知,对 n ? 2 有

n ? an 1 n 1 , ? ? ? an?1 (n ? 1)an (n ? 1)an n ? 1

两边同除以 n,得

1 1 1 , ? ? nan ?1 (n ? 1)a n n(n ? 1)
……………………4 分



1 1 1 1 ? ? ?( ? ), nan ?1 (n ? 1)a n n ?1 n

于是,

? ? ka
k ?2

n ?1

? 1 ?
k ?1

?

n ?1 ? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?(1 ? ), ? ? ? (k ? 1)a k ? k? n ?1 k ?2 ? k ? 1



1 1 1 ? ? ?(1 ? ), n ? 2 , (n ? 1)an a2 n ?1
1 1 1 1 3n ? 2 ,n ? 2 . , an ? ? ? (1 ? )? 3n ? 2 (n ? 1)an a2 n ?1 n ?1

所以

又 n ? 1 时也成立,故 a n ? (2)当 k ? 2 ,有
2 ak ?

1 ,n ? N *. 3n ? 2

……………………8 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,………………12 分 2 (3k ? 4)(3k ? 1) 3 3k ? 4 3k ? 1 (3k ? 2)

所以 n ? 2 时,有
n 1? 1 1 1 1 1 1 ? 2 2 a ? 1 ? ak ? 1 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? k 3? 2 5 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? ? k ?1 k ?2 n

1?1 1 ? 1 7 ? 1? ? ? ? ? 1? ? . 3 ? 2 3n ? 1 ? 6 6
2 又 n ? 1 时, a1 ? 1 ?

7 . 6

故对一切 n ? N ,有
*

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

……………………16 分

10.设 P ? x ? 6 x ? 11x ? 3x ? 31,求使 P 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

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解 P ? ( x 2 ? 3x ? 1) 2 ? 3( x ? 10) .

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2 所以,当 x ? 10 时, P ? 131 是完全平方数.

……………………5 分

下证没有其它整数 x 满足要求. (1)当 x ? 10 时,有 P ? ( x 2 ? 3x ? 1) 2 , 又 P ? ( x 2 ? 3x) 2 ? 2x 2 ? 3x ? 31 ? 0 ,所以 P ? ( x 2 ? 3x) 2 , 从而 ( x 2 ? 3x) 2 ? P ? ( x 2 ? 3x ? 1) 2 . 又 x ? Z ,所以此时 P 不是完全平方数. ……………………10 分

(2)当 x ? 10 时,有 P ? ( x 2 ? 3x ? 1) 2 .令 P ? y 2 , y ? Z , 则 | y |?| x 2 ? 3x ? 1 | ,即 | y | ?1 ?| x 2 ? 3x ? 1 | , 所以 y 2 ? 2 | y | ?1 ? ( x 2 ? 3x ? 1) 2 , 即

? 3( x ? 10) ? 2 | x 2 ? 3x ? 1 | ?1 ? 0 .

解此不等式,得 x 的整数值为 ? 2,?1,0,?3,?4,?5,?6 ,但它们对应的 P 均不是完全平 方数. 综上所述,使 P 为完全平方数的整数 x 的值为 10.

……………………20 分

11.已知直线 y ? x 与椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾 16 11

斜角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程. 解 (1)直线 MN 的倾斜角为 ? ,记 ?MFO ? ? ,则 ? ? ? ? ? ,

| MN |?

2ab2 2ab2 ? . a 2 ? c 2 cos2 ? a 2 ? c 2 cos2 ?

而 AB 与 MN 所成的角为

?
4

? ? ,则四边形 MANB 面积

S MANB ?
2

1 ? sin ? ? cos ? | AB | ? | MN | sin( ? ? ) ? 2 | OA | ?ab 2 ? 2 .…………5 分 2 4 a ? c 2 cos 2 ?
2 2

而 a ? 16, b ? 11 , c ? 5 ,A 点坐标为 ?

? 4 33 4 33 ? ? ,且 | OA |? 4 66 , , ? 9 9 9 ? ? ?

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从而, S MANB ?

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352 33 sin ? ? cos? 352 33 sin ? ? cos? , ? ? ? 9 9 16 ? 5 cos2 ? 16 ? 5 cos2 ?

其中 0 ? ? ? arctan

4 33

4 33 ? 9 5

或 arctan

4 33

4 33 ? 9 5

? ? ? ? .……………10 分

(2) 记 f (? ) ?

? ? sin ? ? cos ? 4 33 ,? ? , 而 f (? ) 只可能在 ? ? ?arct an 2 ? 时才 16 ? 5 c o s ? 4 33 ? 9 5 ? ?

可能取到最大值.对 f (? ) 求导数得到:

f ?(? ) ?

(cos? ? sin ? )(16 ? 5 cos2 ? ) ? (sin? ? cos? )(10cos? sin ? ) . (16 ? 5 cos2 ? ) 2

令 f ?(? ) ? 0 ,则有

(1 ? tan? )(16 tan2 ? ? 11) ? (tan? ? 1)(10 tan? ) ? 0 .
化简得到 所以 而

……………………15 分

16 tan3 ? ? 6 tan2 ? ? 21tan? ? 11 ? 0 .

(2 tan? ? 1)(8 tan2 ? ? tan? ? 11) ? 0 .
8 tan2 ? ? tan? ? 11 ? 0 无实根,则 tan ? ? ?
1 . 2

经检验 tan ? ? ?

? ? 1 4 33 ,? ? ,符合 ? ? ?arct an . 2 4 33 ? 9 5 ? ? ?

故所求直线 l 的方程为: y ? ?

1 5 . x? 2 2

……………………20 分



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