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【北京特级教师】2014-2015学年人教A版数学必修三课后练习:古典概型]


古典概型课后练习
主讲教师:熊丹 北京五中数学教师 题一:一个盒子中装有 5 个编号依次为 1、2、3、4、5 的球,这 5 个球除号码外完全相同, 有放回的连续抽取两次,每次任意地取出一个球. (1)列举出所有可能结果. (2) 设第一次取出的球号码为 x, 第二次取出的球号码为 y, 写出 B=“点 (x, y) 落在直线 y=x+1 上方”这一事件包含的基本事件. 题二:一个盒子中装有 4 个编号依次为 1、2、3、4 的球,这 4 个球除号码外完全相同,先从 盒子中随机取一个球,该球的编号为 X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的 编号为 Y. (1)列出所有可能结果. (2)写出 A=“取出球的号码之和小于 4”这一事件包含的基本事件. (3)写出 B=“编号 X<Y”这一事件包含的基本事件. 题三:从 1、2、3、4 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 20 的概率 为 . 题四:一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字 1,2,3,4 的红色卡片和三张分别写有数 字 1,2,3 的蓝色卡片,卡片除颜色和数字外完全相同. (1)从中任意抽取一张卡片,求该卡片上写有数字 1 的概率; (2)将 3 张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内,然后在两个盒子内各任意抽取一 张卡片,以红色卡片上的数字作为十位数,蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数, 求这个两位数大于 22 的概率. 题五:某医院派出医生下乡医疗,一天内派出医生人数及其概率如下: 0 1 2 3 4 医生人数 5 人及以上 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 概率 求:(1)派出医生至多 2 人的概率;(2)派出医生至少 2 人的概率. 题六:袋中有若干小球,分别为红色、黑色、黄色、白色,从中任取一球,得到红球的概率 为

1 1 5 , 得到黑球或黄球的概率为 ,得到黄球或白球的概率为 . 试求任取一球, 得到黑球, 4 2 12

得到黄球,得到白球的概率各是多少? 题七:在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各 取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等.求取出的两个球上标号为相邻整数的概率. 题八:在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4,5 的五个球,现从甲、乙两个盒子 中各取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等.求事件“取出的两个球上标号之和能被 3 整 除”的概率. 题九:从 1,3,5,7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两位数是 5 的倍 数的概率为 .

题十:已知:a、b、c 为集合 A={1,2,3,4,5,6}中三个不同的数,通过如下框图给出的一 个算法输出一个整数 a,则输出的数 a=5 的概率是 .

题十一:假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为 40%. 现采用随机模拟的方法估计该运 动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数, 指定 1,2,3,4 表示命中靶心,5,6,7,8,9,0 表示未命中靶心;再以每两个随机数为一 组,代表两次的结果.经随机模拟产生了 20 组随机数: 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为 .

题十二:从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动. (1)求所选 2 人中恰有一名男生的概率;(2)求所选 2 人中至少有一名女生的概率. 题十三:已知射手甲射击一次,命中 9 环(含 9 环)以上的概率为 0.56,命中 8 环的概率为 0.22,命中 7 环的概率为 0.12. (1)求甲射击一次,命中不足 8 环的概率; (2)求甲射击一次,至少命中 7 环的概率. 题十四:有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组 的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 题十五:设集合 A={1, 2},B={1, 2, 3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面 上的一个点 P(a, b),记“点 P(a, b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn (2≤n≤5,n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( A.3 B.4 C.2 和 5 ) D.3 和 4

题十六:已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2?bx+1,设集合 P={1,2,3},Q={?1,1,2,3, 4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b. (1)求函数 y = f(x)有零点的概率; (2)求函数 y = f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.

古典概型 课后练习参考答案
题一: 见详解. 详解: (1)由题意知共有 25 种结果,用一对有序数对表示出可能出现的情况,第一个数字表示第一次抽到的 数字,第二个数字表示第二次抽到的数字,下面列举出所有情况: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3, 4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (2)满足条件的事件是点(x,y)落在直线 y=x+1 上方的有: (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) , (3,5)共 6 种. 题二: 见详解. 详解: (1)所有可能的结果共有: ( 1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、 (1,4) 、 (2,1) 、 (2,2) 、 (2,3) 、 (2,4) 、 (3,1) 、 (3,2) 、 (3,3) 、 (3,4) 、 (4,1) 、 (4,2) 、 (4,3) 、 (4,4) ,共计 16 个. (2)事件“取出球的号码之和小于 4”包含的结果有: (1,1) 、 (1,2) 、 (2,1) , 共计 3 个; (3)事件 B=“编号 X<Y”包含的结果有: (1,2) 、 (1,3) 、 (1,4) 、 (2,3) 、 (2,4) 、 (3,4) ,共计 6 个.

题三:

3 . 4

详解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, 试验发生所包含的事件是从 4 个数字中选两个数字进行排列,共有 4 ? 3 ? 12 种结果,两位数大于 20 的为: 21,23,24,31,32,34,41,42,43 共 9 种结果,因此概率为

9 3 ? . 12 4

题四: (1)

2 7 ; (2) . 7 12 2 . 7

详解: (1)∵在 7 张卡片中共有两张卡片写有数字 1, ∴从中任意抽取一张卡片,卡片上写有数字 1 的概率是 (2)组成的所有两位数列表为: 十位 个位 1 2 3 或列树状图为: 1 2 3 4

11 12 13

21 22 23

31 32 33

41 42 43

∴这个两位数大于 22 的概率为 题五: (1)0.56;(2)0.74.

7 . 12

详解:记事件 A 为“不派出医生”,事件 B 为“派出 1 名医生”,事件 C 为“派出 2 名医生”,事件 D 为“派出 3 名 医生”,事件 E 为“派出 4 名医生”,事件 F 为“派出不少于 5 名医生”. 则事件 A、B、C、D、E、F 彼此互斥, 且 P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04. (1)“派出医生至多 2 人”的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)“派出医生至少 2 人”的概率为 P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74, 或 1-P(A+B)=1-0.1-0.16=0.74.

题六:

1 1 1 , , . 3 6 4

详解:记“任取一球,得到红球,得到黑球,得到黄球,得到白球”分别为事件 A、B、C、D,则由题意可得

1 ? 1 ? ? P( A) ? 4 P( B) ? ? ? 3 ? 1 ? 1 ? P( B) ? P(C ) ? ? ,解得 ? P (C ) ? 2 ? 6 ? ? 5 1 ? P(C ) ? P( D) ? ? 12 ? ? P( D) ? 4 ? ? ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( D) ? 1
所以,任取一球,得到黑球,得到黄球,得到白球的概率各是

1 1 1 , , . 3 6 4

题七:

3 . 8

详解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y,用(x,y)表示抽取结果,则所有可能有(1, 1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4, 1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) ,共 16 种. 所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2) , (2,1) , (2,3) , (3,2) , (3,4) , (4,3) ,共 6 种.故 所求概率 P

?

6 3 ? . 16 8

题八:

9 . 25 ? 9 . 25

详解:基本事件总数为 5×5=25 种,记事件“取出两个球上标号之和能被 3 整除”为事件 A,事件包含(1,2) , (2,1) , (1,5) , (5,1) , (2,4) , (4,2) , (3,3) , (4,5) , (5,4)共 9 种.∴ P ( A)

题九:

1 . 4

详解:如下表,任意抽取两个不同数字组成一个两位数,共 12 种情况,其中是 5 的倍数的有 15,35,75 三

种,∴组成两位数能被 3 整除的概率为 1 1 3 5 7 故答案为: 31 51 71

3 1 ? . 12 4
3 13 5 15 35 53 73 75 7 17 37 57

1 . 4

题十:

3 . 10

详解:根据框图判断,本框图输出的 a 为输入的三个数 a,b,c 中的最大值. 最大值是 3 的情况,输入的三个数为 1,2,3;1 种情况. 最大值是 4 的情况,输入的三个数为 1,2,3 里两个以及 4;3 种情况. 最大值是 5 的情况,输入的三个数为 1,2,3,4 里两个数以及 5;6 种情况. 最大值是 6 的情况,输入的三个数为 1,2,3,4,5 里两个数及 6;10 种情况. a=5 的概率=

最大数为5的情况 6 3 3 ? = .故答案为 . 所有输出最大值的情况数 20 10 10

题十一:

1 . 2

详解:由题意知模拟两次投掷飞镖的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示两次投掷飞镖恰有一次命中的有:93,28,45,25,73,93,30,48,35 共 10 组随机 数,∴所求概率为

1 . 2

3 7 题十二: (1) ;(2) . 5 10 详解:设 2 名女生为 a1,a2,3 名男生为 b1,b2,b3,从中选出 2 人的基本事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2), (a1,b3), (a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共 10 种. (1) 设“所选 2 人中恰有一名男生”的事件为 A,则 A 包含的事件有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1), 6 3 (a2,b2),(a2,b3),共 6 种,∴P(A)= = , 10 5 3 故所选 2 人中恰有一名男生的概率为 . 5 (2)设“所选 2 人中至少有一名女生”的事件为 B,则 B 包含的事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3), (a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共 7 种, 7 7 ∴P(B)= ,故所选 2 人中至少有一名女生的概率为 . 10 10 题十三: (1)0.22; (2)0.90. 详解: (1)记“甲射击一次,命中不足 8 环”为事件 A,则 P(A)=1?0.56?0.22=0.22. (2)记“甲射击一次,至少命中 7 环”为事件 B,则 P(B)=0.56+0.22+0.12=0.90. 题十四: A. 详解:记三个兴趣小组分别为 1、2、3,甲参加 1 组记为“甲 1”,则基本事件为“甲 1,乙 1;甲 1,乙 2;甲 1, 乙 3;甲 2,乙 1;甲 2,乙 2;甲 2,乙 3;甲 3,乙 1;甲 3,乙 2;甲 3,乙 3”,共 9 个. 记事件 A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件 A 有“甲 1,乙 1;甲 2,乙 2;甲 3,乙 3”,共

3 1 3 个.因此 P(A)= = . 9 3 题十五: D. 详解:所有基本事件为(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3)共 6 个,所以

1 2 2 1 P(C2 ) ? , P(C3 ) ? , P(C4 ) ? , P(C5 ) ? . 6 6 6 6 所以 P (Cn ) 最大时的 n 值为 3 或 4.
题十六: (1)

2 13 ; (2) . 5 15

详解: (a,b)共有(1,?1) , (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,?1) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2, 4) , (3,-1) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4)15 种情况. 2 (1)满足△=b ?4a≥0,有(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)共 6 种情况. ∴函数 y =f(x)有零点的概率 P
2

?

6 2 ? . 15 5
? b , 2a

(2)二次函数 f(x)=ax ?bx+1 的对称轴 x

∵函数 y = f(x)在区间[1,+∞)上是增函数, ∴

b , (1,1) , (1,2) , (2,?1) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,?1) , (3, ? 1 ,有(1,?1) 2a ? 13 . 15

?1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) ,共 13 种情况. ∴函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率 P


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