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1.2.3排列组合综合应用问题1



解决排列组合问题一般有哪些方法? 应注意什么问题?
(1)当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用分类法; (2)当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法; (3)当问题的反面简单明了时,可通过求差排除法; (1)当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用分类法; (1)当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用分类法; (4)排列中“相邻”问题可用捆绑法; (2)

当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法; (2)当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法; (5)排列中“分离”问题可用插空法(1)当问题分成互斥各类 (3)当问题的反面简单明了时,可通过求差排除法; (3)当问题的反面简单明了时,可通过求差排除法; 时,根据加法原理,可用分类法; (4)排列中“相邻”问题可用捆绑法; (4)排列中“相邻”问题可用捆绑法; (2)当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法; (5)排列中“分离”问题可用插空法. (5)排列中“分离”问题可用插空法 (3)当问题的反面简单明了时,可通过求差排除法; (4)排列中“相邻”问题可用捆绑法; (5)排列中“分离”问题可用插空法. 例:将6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲3 本,学生乙2本,学生丙1本; ⑵分给甲、乙、丙3人,其中1人得3本、1人得2 本、1 人 (1)当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用分类法; 得1 本; (2)当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法;

排列组合综合问题

例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (1)分为两组,一组7人,一组5人; (2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人;
把12 人分成两组,一组7人,一组5人与把12人分 成甲、乙两组,甲组7人,乙组5人,实质上是一样 的,都必须分成两步: 第一步:从12 人中选出7人组成一组(或甲组) 有C127种方法; 第二步:剩余的5人组成一组(或乙组) 有C55种方法. 所以总的分配种数为C127.C55种。 所以(1)、(2)分配种数都为C127.C55

排列组合综合问题

例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (3)分为甲、乙两组,一组7人,一组5人;
把12 人分为甲、乙两组,一组7人,一组 5人,与(1)(2)比较,有何相同和不同地方? 相同地方都是分成甲乙两组,一组7 人,一组5 人, 有C127.C55种;所不同的是一组7人,一组5人,并 没有指明甲、乙两组谁是7人,谁是5人,要考虑 甲乙的顺序,所以要再乘以A22 , 所以(3)总的种数为C127.C55.A22.

排列组合综合问题

点评:上述问题是非平均分组问题, (1)没 有指出组名;(2)给出了组名,而且指明了 谁是几个人.这在非平均分配中是一样的. 而 (3)虽然给出了组名,却没有指明谁是几 个人,所以这时必须考虑顺序问题. 必须注意到:题目中具体指明甲乙与没有 具体指明是有区别的,若在解题过程中不加 以区别,就会出现“重复”与“遗漏”问题, 这是解决排列组合时要特别注意的.

排列组合综合问题

例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (4)分为甲、乙两组,每组6人;
把12个人分为甲、乙两组,每组6人,可分成两步, 第一步:从12人中抽出6人给甲组,有C126种, 第二步:余下的6人给乙组,有C66种, 所以,共有C126.C66种.

排列组合综合问题

例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (5)分为两组,每组6人.
把12个人分为两组,每组6人,与把12个人分为甲、 乙两组,每组6人,相比较,显然分成甲、乙两组, 这里有顺序关系,如123456分在甲组与123456 分在乙组是不一样的,但作为分成两组却是一 样的,所以把 12个人分为两组,每组 6人的种数 为C126.C66 / A22种. 点评:上述(4)(5)属于平均分组问题,必须注意, 在平均分组问题中如果没有给出组名,一定要 除以组数的阶乘!

排列组合综合问题

练习1 有12 人,按照下列要求分配,求 不同的分法种数.
①分为三组,一组5人,一组4人,一组3人;
②分为甲、乙、丙三组,甲组5人,乙组4人,丙组3人;

③分为甲、乙、丙三组,一组5人,一组4人,一组3人; ④分为甲、乙、丙三组,每组4人;
⑤分为三组,每组4人. ⑥分成三组,其中一组2人,另外两组都是 5人.
答案
5 4 3 5 4 3 3 ①C125.C74.C33 ② C12 .C7 .C3 ③ C12 .C7 .C3 .A3 5 5 4.C 4.C 4 2.C10 .C5 ⑥C12 ④C124.C84.C44 ⑤ C12 83 4 A22 A3

排列组合综合问题

点评:例1与练习1说明了非平均分组、平均分组以 及部分平均分组问题。 非平均分组问题中,没有给出组名与给出组名是 一样的,但若给出了组名而没指明谁是几个,这时 又有顺序问题,所以必须乘以组数的全排列数. 平均分组问题中,若没给出组名,一定要除以组数的全 排列数. 部分平均分组问题中,先考虑不平均分组,剩下的就是 平均分组。这样分组问题就解决了.

排列组合综合问题

例2 求不同的排法种数. (1)6男2女排成一排,2女相邻;
(1)由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全 排列,有A77.A22种.——“捆绑法”

排列组合综合问题

例2 求不同的排法种数. (2)6男2女排成一排,2女不能相邻;
(2)把6男2女8人全排列,扣去 2 女“ 相邻” 就是2女“不相邻”, 所以有A88- A77.A22种——“排除法” (2)还可用“插空法”直接求解:先把6男 全排列,再在6男相邻的7个空位中排2女, 所以共有A66.A72种. 思考:对于不相邻的分离排列能否都用“排 除法”?若改5男3女排成一列,3女不相邻.行 吗? (反面不明了)

排列组合综合问题

例2 求不同的排法种数. (3)4男4女排成一排,同性者相邻;
4男4女排成一列,同性者相邻,把4男、4女 捆绑成一个排列,然后同性者之间再全排列, 所以共有A22.A44.A44种——“捆绑法”

排列组合综合问题

例2 求不同的排法种数. (4)4男4女排成一排,同性者不能相邻.
本例可否用排除法得排列总数为: A88- A22.A44.A44; 或用简单插空法得排列总数为:A44.A54? 错!∵用排除法时,反面要明了,而这里反面不 明了.用简单插空法可能出现两男或两女相邻 的情况.如“女男男女男女男女” . ∴同性不相邻必须男女都排好,即男奇数位,女 偶数位,或者对调.∴总排列数为A22.A44.A44种. 由此可见,分离排列问题,不能简单地用插空法 或排除法要根据具体的情况具体分析.

排列组合综合问题

练习2 某乒乓球队有8男7女共15名队 员,现进行混合双打训练,两边都必须要 1男1女,共有多少种不同的搭配方法.
分析:每一种搭配都需要2男2女,所以先要选出 2男2女,有C82.C72种; 然后考虑2男2女搭配,有多少种方法? 男女----------男女 ① Aa-------------Bb ② Ab-------------Ba ③ Bb-------------Aa 显然: ①与③; ②与④在搭配 ④ Ba-------------Ab 上是一样的。所以只有2种方法, 所以总的搭配方法有2 C82.C72种。

排列组合综合问题

练习3 高二某班要从7名运动员出4名组成 4×100米接力队,参加校运会,其中甲,乙两 人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?
从7人中选出4人分别安排在第一、二、三、四 棒这个事,一定与组合和排列有关,这里对甲、 乙又有特殊的要求,这就有几种不同的情况, 所以要分类考虑,先不考虑谁跑哪棒,先考虑4 人的选取有几类? 分三类:第1类,没有甲、乙,有C54种; 第2类,有甲无乙或有乙无甲,有2C53种; 第3类,既有甲又有乙,有C52种。

排列组合综合问题

在每一类中要如何安排棒数? (1)无甲乙:可把4人全排列,有A44 种; (2)甲乙只有一人:甲或乙先考虑有A21种余下的 三人全排列有A33种; (3)甲乙都在:先考虑甲乙有A22种,余下的有A22种.
所以,第一类有C54.A44种,第二类有2C53.A21.A32种, 第三类有C52.A22.A22种。 由加法原理;总的安排方法有 N= C54.A44+ 2C53.A21.A32+ C52.A22.A22(种) 注意:排列给合综合题在求解中的分类十分重 要,大家要认真体会,理解其思路和方法.

有条件限制的排列问题

例35个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (1)a,e必须排在首位或末位,有多少种排法?
分两步完成,把a,e排在首末两端有A22种, 再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种. 由乘法原理,共有A22. A33=12(种)排法. 点评:问题(1)是排列问题中某几个元素必须 “在”某些位置的问题,处理这类问题的原则 是:有条件限制的元素或位置优先考虑 .(优 限法)

有条件限制的排列问题

例3 5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (2)a,e既不在首位也不在末位,有多少种排法?
思路1) 先从b,c,d三个选其中两个排在首末两位, 有A32种,然后把剩下的一个与a,e排在中间三个 位置有A33种, 由乘法原理: 共有A32. A33=36(种)排列. 点评:上述运用了“优限法”,既有条件限 制的位置优先考虑的原则,这种解法是直接 法. 思路2)从反面考虑“排除法”,既间接法. A55是5 个元素的全排列数,减去a,e分别在排头、 排尾的4种情况有4A44种.但A55- 4A44=24种.

有条件限制的排列问题

上述解法哪个对,哪个错?错在哪里? 分析:减去a,e分别在排头、排尾的4种情况 用图示表示既:
减去a排头 a××××; 减去a排尾 ×××× a;
减去e排头 e××××; 减去e排尾 ×××× e;

由图看出:四种情况中a排头e排尾; e 排头a排 尾各多减了一次.(遗漏)必须补回,既加上2A33种. 所以,正确答案为:A55- 4A44+2A33(种)排法. 说明:在解题过程中,有时用“排一排”会使思 路更清楚.“具体排”是一种好方法,它是把抽象 转化为具体的一种思维方法

有条件限制的排列问题

例3 5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (3)a,e排在一起多少种排法?
思路) a,e排在一起,可以将a,e看成一个整体, 作为一个元素与其它3个元素全排列,有A44种; a,e两个元素的全排列数为A22种, 由乘法原理共有A44. A22(种)排列. 说明:相邻元素排在一起,相当捆绑起来,既 “捆绑法”,捆绑的元素还必须进行全排列.

有条件限制的排列问题

例3 5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (4)a,e不相邻有多少种排法?
思路) a,e不相邻的反面是a,e相邻,反面明了,可利 用“排除法”,即用5个元素的全排列数A55,扣除 a,e排在一起排列数A44. A22,则a,e不相邻的排列 总数为A55- A44. A22(种)排法. 对不相邻元素的排列问题,一般的还可以利用 “插空法”解决.即把a,e以外的三个元素全排 列有A32种,再把a,e插入三个元素排定后形成的 4个空位上有A42种,由乘法原理共有A32. A42 (种) 说明:对不相邻元素的排列问题,一般采用“插 空法”对反面明了的,可用“排除法”

有条件限制的排列问题

例3 5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (5)a在e的左边(可不相邻)有多少种排法?
思路) a在e的左边(可不相邻),这表明a,e只有 一种顺序,但a,e间的排列数为A22,所以,可把5个 元素全排列得排列数A55,然后再除以a,e的排列 数A22.所以共有排列总数为A55 / A22(种). 注意:若是3个元素按一定顺序, 则必须除以排列数 A33. 点评:排列应用题是实际问题的一种,其指导思 想:弄清题意,联系实际,合理设计,调动相关知 识和方法.本例是排列的典型问题,解题方法可借 鉴.排列问题思考比较抽象,“具体排”是一种把 抽象转化具体的好方法.

有条件限制的组合问题

例4 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}求含有5个元
素,且其中至少有两个是偶数的子集的个数. 法1:5个元素中至少有两个是偶数可分成三类: ①2个偶数,3个奇数;②3个偶数,2个奇数; ③4个偶数,1个奇数. 所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105(个) 法2:从反面考虑,全部子集个数为C95,而不 符合条件的有两类: ①5个都是奇数;②4 个奇数,1个偶数. 所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105

有条件限制的组合问题

例4 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}求含有5个元
素,且其中至少有两个是偶数的子集的个数. 下面解法错在哪里? 至少有两个偶数,可先由4个偶数中取2个偶数,然 后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且 满足至少有2个是偶数. 所以共有子集C42.C73=210(个)
用“具体排”来看一看是否重复.如C42中的一种选法 是:选4个偶数中的2,4,又C73中选剩下的3个元素6,1,3 组成集合{2,4,6,1,3};再看另一种选法:由C42 中选4 个偶数中的4,6,又C73中选剩下的3个元素不2,1,3组成 集合{4,6, 2,1,3}.显然这是两个相同和子集,所以重复了.重复的原

排列组合混合问题

例5 从6名男同学和4名女同学中,选出3名 男同学和2名女同学分别承担A,B,C,D,E5 项工作,一共有多少种分配方案.
解1:分三步完成,(1)选3名男同学有C63种, (2)选2名女同学有C42种,(3)对选出的5人分配5种 不同的工作有A55种, 根据乘法原理共有C63.C42. A55=14400(种). 那么下列的解法错在哪里? 从6名男的选出3名排列有A63种,又从4名女的选 出2名排列,有A42种,所以有A63. A42=1440(种).显 然少了,错在哪? 错在A63中排在哪3个位置,不明确.同理A42中 排在哪2位亦不明确,所以产生了遗漏现象.

排列组合混合问题

例5 从6名男同学和4名女同学中,选出3名 男同学和2名女同学分别承担A,B,C,D,E5 项工作,一共有多少种分配方案.
解2:把工作当作元素,同学看作位置,(1)从5种 工作中任选3种(组合问题)分给6个男同学中的3 人(排列问题)有C53.A63种,(2)将余下的2个工作 分给4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理 共有C53.A63. A42=14400(种). 亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工 作,分配方案有C52 . A42.A63=14400(种).
点评:对排列组合的混合问题,解题的关键是要合理分步: 在分步时一般先组合后排列,这样才能做到不重不漏.

课堂小结

排列组合应用题与实际是紧密相连的,但思 考起来又比较抽象.“具体排”是抽象转化为 具体的桥梁,是解题的重要思考方法之 一.“具体排”可以帮助思考,可以找出重复, 遗漏的原因.有同学总结解排列组合应用题的 方法是“想透,排够,不重不漏”是很有道理 的. 解排列组合应用题最重要的是,通过分析构 想设计合理的解题方案,在这里抽象与具体, 直接法与间接法,全面分类与合理分步等思维 方法和解题策略得到广泛运用.

课堂小结 解排列组合综合题一般应遵循: “先组后排”的原则. 解题时一定要注意“不重、不漏”. 解题方法: 互斥分类----------分类法 先后有序----------位置法 反面明了----------排除法 相邻排列----------捆绑法 分离排列----------插空法



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